Matemáticas/Álgebra/Ecuaciones/Ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones de primer grado son del tipo: $ax+b=0$, siendo a y b números reales.

Su resolución se basa en operaciones simples: sumas y restas, multiplicaciones y divisiones. Vamos a ver un método general para su resolución que pasa por despejar la x.

Tenemos que: $ax+b=0$, teniendo en cuenta que $b-b=0$, restamos b a ambos lados de la ecuacion: $ax+b-b=-b$, así llegamos a: $ax=-b$, como $a/a=1$, dividiendo ambos términos de la ecuación por a, obtenemos: $x=-b/a$, siendo esta la solución general para la ecuación de primer grado.

La razón por la que toda operación es realizada a ambos lados de la ecuación es lógica, pues debemos mantener la igualdad.

Resolución de ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones polinómicas de primer grado se resuelven en tres pasos: transposición, simplificación y despeje, desarrollados a continuación mediante un ejemplo.

Dada la ecuación:

$9x-9+108x-6x-92=16x+28+396$

Transposición

Primero se agrupan todos los monomios que incluyen la incógnita x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente en el izquierdo; y todos los términos independientes (los que no tienen x o la incógnita del problema) en el otro miembro. Esto puede hacerse teniendo en cuenta que:

Si se suma o se resta un mismo monomio en los dos miembros, la igualdad no varía.

En términos coloquiales, se dice que: si un término está sumando (como 16x en el miembro de la derecha) pasa al otro lado restando (–16x a la izquierda); y si está restando (como el –9 de la izquierda), pasa al otro lado sumando (+9 a la derecha)

La ecuación quedará entonces así:

${9x+108x-6x-16x}={28+396+9+92}$

Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser solo constantes numéricas, han quedado a la derecha.

Simplificación

El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta. Si se efectúa la simplificación del primer miembro:

$9x+108x-6x-16x=(9+108-6-16)x=95x$

Y se simplifica el segundo miembro:

$28+396+9+92=525$

La ecuación simplificada será:

$95x=525$

Despeje

Ahora es cuando se llega al objetivo final: que la incógnita quede aislada en un miembro de la igualdad, para lo cual se recuerda que:

Si se multiplican o se dividen ambos miembros de una ecuación por un mismo número diferente de cero, la igualdad no varía.

En términos coloquiales: Para despejar la x, si un número la está multiplicando (ejemplo: 5x) y no hay ningún otro término sumando o restando en ese mismo miembro, se pasa dicho número al otro lado dividiendo (${\tfrac {n}{5}}$) sin cambiar su signo. Y, si un número la está dividiendo (ejemplo: ${\tfrac {x}{2}}$), entonces se lo pasa al otro lado multiplicando (n × 2) sin cambiar su signo.

Al pasar el 5 dividiendo al otro lado, lo que se está haciendo en realidad es dividir ambos miembros entre 5. Entonces, en el miembro donde estaba el 5 se obtiene ${\tfrac {5}{5}}$, que se anula quedando solo la x (se dice que el 5 que multiplicaba desaparece del primer miembro). En el otro lado, en cambio, el 5 que se agrega dividiendo no puede anularse (se dice que aparece dividiendo como si hubiera pasado de un lado a otro, con la operación convertida en su inversa).

Volviendo al ejemplo, hay que pasar entonces el número 95 al otro miembro y, como estaba multiplicando, lo hará dividiendo, sin cambiar de signo:

$x={\frac {525}{95}}$

El ejercicio está teóricamente resuelto, ya que se obtuvo una igualdad en la que x equivale al número ${\tfrac {525}{95}}$. Sin embargo, es necesario simplificar.

Se puede resolver la fracción (numerador dividido entre denominador) si el resultado fuera exacto; pero, como en este caso es decimal (525 ÷ 95 = 5,52631578947), se simplifica, y esa es la solución:

$x={\frac {105}{19}}$

Ejemplo de problema

Pongamos el siguiente problema: el número de canicas que tengo, más tres, es igual al doble de las canicas que tengo, menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una ecuación:

${\color {Red}x}+{\color {Blue}3}={\color {Sepia}2x}-{\color {Green}2}$

Donde x es la incógnita: ¿cuántas canicas tengo?

La ecuación se podría leer así: El número de canicas que tengo, más tres que me dan, es igual al doble de mis canicas, quitándome dos.

El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento: Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:

$x-2x=-2-3$

Que, simplificado, resulta:

$-x=-5$

Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que esta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por –1 obtendremos:

$x=5$

El problema está resuelto.