Matemáticas/Álgebra/Ecuaciones/Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado completa es aquella que tiene expresión canónica general:

$ax^{2}+bx+c=0,\quad {\mbox{para}}\;a\neq 0$

donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente.

Deducción de las soluciones

Solución mediante cambio de variable

Una manera sencilla de resolver una ecuación de segundo grado (también de los grados tercero y cuarto) consiste en aplicar un cambio de variable. En el caso de la ecuación de segundo grado del tipo $ax^{2}+bx+c=0\,$, el cambio de variable se efectúa mediante $x=t+n\,$.

Aplicando el cambio de variable anterior se obtiene la ecuación $a(t+n)^{2}+b(t+n)+c=0\,$

Desarrollándola queda $at^{2}+(2an+b)t+an^{2}+bn+c=0\,$ (1).

Ahora se debe reducir la ecuación obtenida a un caso conocido del cual se conozca su solución. Es evidente que las ecuaciones de segundo grado del tipo $x^{2}=K\,$ se resuelven directamente extrayendo la raíz cuadrada de ambos términos, cuya solución general es $x=\pm {\sqrt {K}}\,$.

Para transformar la ecuación (1) en una ecuación con el término de primer grado igual a cero se debe forzar que $2an+b=0\,$, es decir $n=-{\frac {b}{2a}}\,$

Sustituyendo en (1) queda $at^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c=0\,$. (2)

Esta nueva ecuación está en la forma $t^{2}=K\,$, que es lo pretendido mediante el cambio de variable, y que −como se expresó− su solución es inmediata, del tipo $t=\pm {\sqrt {K}}\,$

Por tanto, despejando la variable $t\,$ en la ecuación (2), queda $t=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$

Dado que $x=t+n\,$, y que $n=-{\frac {b}{2a}}\,$, se obtiene la solución de la ecuación original con variable en $x\,$, que es

$x=-{\frac {b}{2a}}\ \pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$

El artificio de esta demostración consiste en aplicar un cambio de variable que reduce la ecuación de segundo grado general a otra ecuación más sencilla y de solución inmediata.

Solución por descomposición de factores

Un modo fácil y sencillo de resolver una ecuación de 2º grado es mediante el método de factorización o Descomposición en factores. A continuación se explica paso a paso este método, según el libro de Álgebra de A. Baldor.

Pasos

• Simplificar la ecuación y ponerla en la forma

$x^{2}+bx+c=0\,$

• Factorice el primer miembro de la ecuación
• Iguale a cero los factores obtenidos para obtener el valor de x

Ejemplo: Resolver

$x^{2}+5x-16=8\,$

      Paso No.1    $x^{2}+5x-16-8=0\,$   ---->    $x^{2}+5x-24=0\,$

      Paso No.2       $x^{2}+5x-24=(x+8)(x-3)\,$ 
      Paso No.3       $x+8=0\,$   --->   $x=-8\,$  
                      $x-3=0\,$   --->   $x=3\,$ 

Nota. En caso de que dude del resultado multiplique ambos factores. Ejemplo: (x + 8 )(x - 3 ) = (x)(x) - 3(x) + 8(x) - 24 --> x2 - 3x + 8x - 24 --> x2 + 5x - 24

Obviamente le regresará el valor de la ecuación.