Introducción a Señales, Sistemas y Control

Introducción

Este texto está diseñado para el primer o segundo año de ingeniería con especialidad en comunicaciones (telecomunicaciones), computadores, software o en el área de la electricidad/electrónica. Se cubre la manipulación básica de señales, propiedades de las señales, convolución, trasformadas de Fourier y otro material apropiado para nivel de principiantes en el Análisis de Señales.

La meta de todo esto, es aprender acerca del diseño de sistemas eléctricos. Todos los métodos en este libro son concernientes a encontrar la salida de un sistema para una entrada dada. La convolución puede ser pensada como un método de fuerza bruta para lograr esto, mientras que los otros métodos convierten la señal desde el dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, donde calcular la salida es mucho más fácil.

Una vez que todo este material básico ya esté cubierto, entonces se cubrirá el material restante(por cierto más interesante), por ejemplo filtros, el dominio de la frecuencia, la relación entre ancho de banda y el dominio del tiempo, la compresión de audio, porqué los cd muestrean a 44.1 KHz, etc.

Mi objetivo al igual que Mr. Wilkinson es crear un libro básico de señales y sistemas, a lo que agrego algunos tópicos de control automáticos que me parezcan interesantes. Este texto es un primer aporte y pido, por anticipado disculpas por todos los errores que en él se encuentren, errores que espero corregir con el tiempo. Igualmente pido disculpas a Mr. Wilkinson por haber usado el material que él ha escrito como punto de partida. Por ahora el texto solamente corresponde a una traducción del original en inglés, en una segunda etapa de desarrollo me permitiré cambiar el orden y los tópicos que en él se utilicen para mejorarlo lo maximo que pueda.

Herramientas Básicas

En esta sección encontrará algunos detalles acerca de los términos utilizados en este libro. También encontrará algunos enlaces de interés a libros externos o sitios web que cubren algunos tópicos más profundamente de lo que se tratan aquí.

Terminología

Funciones de Singularidad

Las funciones de singularidad son un grupo de funciones que están relacionadas con la función impulso. Aparte de la función impulso están la función escalón y la función rampa unitaria.

Función Impulso

La función impulso es más un concepto matemático que una función, que se define de la siguiente manera:

$\delta (t)=\left\{{\infty , \atop {0,}}{t=0 \atop {t\neq 0}}\right.$

$\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (t)dt=1$

• La función es cero para cualquier valor de t, excepto cero.
• Cuando la t es cero el valor de la función es infinito
• Por definición el área de esta función es igual a uno

Función Delta

La función impulso posee algunas propiedades que pueden resultar útiles.

$\delta (t-\tau )=0,t\neq \tau$

También es importante para posteriores desarrollos la propiedad de desplazamiento o corrimiento.

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-\tau )f(t)dt=f;\int _{\tau ^{-}}^{\tau ^{+}}\delta (t-\tau )f(t)dt=\int _{\tau ^{-}}^{\tau ^{+}}\delta (t-\tau )f(\tau )dt=$

$f(\tau )\int _{\tau ^{-}}^{\tau ^{+}}\delta (t-\tau )dt=f(\tau )\cdot 1=f(\tau )$

Fisicamente existen efectos en la naturaleza a los que se puede asociar esta función como por ejemplo la fuerza aplicada en un lapso muy corto, como cuando un martillo golpea un clavo, o la presencia de un voltaje por un instante muy corto que en terminos de esta función como:

$f(t)=5delta(t)$

Función Escalón Unitario

La función escalón unitario se define como la integral de la función impulso desde el infinito negativo hasta el tiempo t. La integral de la función impulso es 0 si el tiempo t es menor que 0, y 1 si el tiempo t es mayor que 0. Se define exactamente el escalón unitario como:

$u(t)=\left\{{0, \atop {1,}}{t<0 \atop {t>0}}\right.$

el tipo de escalón unitario corresponde a una salida. El valor de la función en t=0, es indefinido. Otros textos lo pueden definir como 1 o 0. Así pues ésta nos representa la corriente continua disipada en nuestro dispositivo.

Función Escalón Unitario o Heaviside

En el caso de la función escalón, fisicamente representa un cambio instantáneo que se produce a t=0, es una suposición el hecho de representar una función con tiempos negativos (lo cual no existe), en cambio sirve para representar el caso de un interruptor que permanece abierto hasta que en un instante se cierra, estableciendo el máximo voltaje a una carga.

Función Rampa

La función rampa es la integral de la función escalón. Si consideramos que estamos sumando toda el área bajo la función escalón a hasta un tiempo t. Si t < 0 (cero), el valor de la integral será 0 (cero). Si es mayor que 0 (cero) , entonces el valor será igual a la integral de 1 desde el tiempo 0 hasta el tiempo t, la cual también tiene el valor t, es decir:

$\operatorname {r} (t)=\left\{{t, \atop {0,}}{t>0 \atop {t<0}}\right.$

Relación existente entre estas señales

Relación Impulso / Escalón

Tal como se puede fácilmente demostrar, la función escalón y la función impulso están relacionados de la siguiente manera:

$u(t)=\int _{-\infty }^{t}\delta (\tau )d\tau$

y

$\delta (t)={\cfrac {d}{dt}}u(t)$

Relación Escalón / Rampa

Visto desde el punto de vista matemático una es la derivada de la otra puesto que; la función rampa se deriva de la función escalón, y ésta a su vez de la impulso. Análogamente igualmente se demuestra que

$r(t)=\int _{-\infty }^{t}u(\tau )d\tau$

y

$u(t)={\frac {d}{dt}}r(t)$

Señales

Las señales son parte integrante de todo. Las señales no tienen significado sin sistemas que las interpreten, y los sistemas son inútiles sin señales que procesar.

Este capítulo profundiza en las señales: ¿qué son?, ¿cuáles son? y ¿cuáles son sus propiedades? Estas propiedades se usan para describir características de las señales. También se cubren temas de transformaciones de señales, estas transformaciones son sólo matemáticas (conceptualmente se transforman la señal, no se diseñará un sistema para hacerlo). Por ejemplo la inversión en el dominio del tiempo es una transformación.

Una señal es cualquier fenómeno que puede ser representado de manera cuantitativa mediante una función continua (cuyo dominio es los números reales) o discreta (cuyo dominio es los números enteros). Como ejemplos de señales se tienen: La variación de la presión de aire a la salida de un parlante. La variación de la intensidad electromagnética que llega a una antena receptora. La variación de la temperatura máxima tomada diariamente. Los colores de una imagen digitalizada (pixeles).

Señales Continuas

Una señal continua es una señal "suave" que está definida para todos los puntos de un intervalo determinado del conjunto de los números reales. Por ejemplo, la función seno es un ejemplo continuo, como la función exponencial o la función constante. Una parte de la función seno en el rango de tiempos de 0 a 6 segundos también es contínua. Si deseamos ejemplos de la naturaleza tenemos la corriente, el voltaje, el sonido, la luz, etc.

Señales Discretas

Una señal discreta es una señal discontinua que está definida para todos los puntos de un intervalo determinado del conjunto de los números enteros. Su importancia en la tecnología es que, los computadores y microchips que son utilizados en este nuevo mundo "Digital" en el que vivimos, sólo manejan señales discretas. Una señal discreta en la naturaleza podría ser el pulso cardíaco, el rebotar de una pelota al caer libremente, etc.

Si para todos los valores de una variable existe un valor, estamos hablando de una señal continua.

Parte Par e Impar de una señal

Cualquier señal se puede poner como la suma de una señal par y una señal impar.

Par

Una función par es una función en donde $x(t)=x(-t)\,\!$. Es decir, esta función presenta una simetría en torno al eje $y$.

Impar

Una función impar es una función en donde $x(t)=-x(-t)\,\!$. Es decir, esta función presenta una simetría respecto al origen del sistema de coordenadas. (Espejo a través de la recta $y=-x\,\!$)

Periódica

Una función periódica es aquella que muestra una repetición constante, y no evoluciona con el tiempo $T\,\!$ cumpliéndose que $x(t+T)=x(t)\,\!$. Por ejemplo, una onda cuadrada o sinusoidal son ondas periódicas, en tanto que la función $x(t)=t\,\!$ no es periódica.

Transformaciones de Señales Continuas Simples

Escala de la amplitud

Amplificación, Atenuación, Limitación, (falta definir cada una de éstas).

.Amplificación: Una amplificación de una señal es una manipulación de la misma. Esto se logra al multiplicar afuera del argumento por una constante mayor a 0 esto dará como resultado un amplificación en el caso contrario si multiplicas por una constante menor a 0 tendrás una atenuación de la señal.

Transformaciones Temporales

Compresión, Expansión y Escalamiento Temporales (falta definir cada una de éstas).

Inversión de Signo de la Señal

Una inversión de signo voltea la señal a lo largo del eje de amplitud. Asi, "los últimos serán los primeros y los primeros serán los últimos." Las tres funciones básicas se modifican como sigue:

• La función impulso $\delta (t)\,\!$ queda igual
• La función escalón $u(t)\,\!$ se transforma en $u(-t)\,\!$
• La función rampa $r(t)\,\!$ se transforma en $r(-t)\,\!$

Causalidad, Anti-causalidad, No-causalidad

Esta propiedad de las señales esta relacionada con los valores que tomará una señal después de atravesar un sistema.

Causal

Una señal se denomina causal cuando no depende de sus valores en el futuro, y depende de sus valores presentes y/o pasados. Ej: $y(t)=x(t-1)+x(t)$

En la naturaleza la mayoria de las señales son causales.

Anti-causal

Una señal se denomina anti-causal cuando no depende de sus valores en el pasado. Ej: $y(t)=6x(t)$

No-causal

Una señal se denomina no-causal cuando sus valores dependen de una señal futura. Ej: $y(t)=x(-t)$

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI)

Se dice que un sistema lineal es invariante en el tiempo si un desplazamiento en el tiempo de la entrada resulta en un desplazamiento idéntico de la salida sin que cambie la forma de onda o perfil de la señal. Esto se puede enunciar en la forma siguiente:

Un sistema lineal es invariante en el tiempo si para cualquier desplazamiento $\tau \,\!$ se verifica que

${\delta (t+\tau )}=h(t+\tau )\,\!$,

y como consecuencia, para cualquier señal $x(t)\,\!$ y desplazamiento $\tau \,\!$,

${x(t+\tau )}=y(t+\tau )\,\!$.

Por consiguiente, en un Sistema Lineal Invariante en el Tiempo (LIT), la respuesta impulsional dependerá únicamente de la diferencia $(t-\tau )\,\!$, es decir,

$h(t,\tau )=h(t-\tau )\,\!$

La respuesta de un LIT es entonces el producto de convolución de la excitación con la respuesta impulsional del sistema.DISCRETOS

en el caso de las señales peridodicas se pueden tratar como LIT siempre que el despalzamiento coincida con su periodo.

Convolución

Se define como la integral del producto de dos señales después de ser desplazada una distancia τ.

$y(t)=x(t)*h(t)=\int x(\tau )h(t-\tau )d\tau$ los limites de la integral dependen de la posición de las distintas señales respecto al tiempo. En los siguientes casos a la resolucion que se llega es que cuando las señales nos dan algún valor positivo no se avanzarán o las señales se quedaran truncas y no procede este problema.

Grafica convolución.

y(t) es la salida.

x(t) es una señal de entrada.

h(t) es otra señal de entrada.

Convolución de Señales en Sistemas Continuos LTI

Se define a la integral de convolución $y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )h(t-\tau )d\tau$ Y la respuesta de un sistema lineal estacionario a una entrada arbitraria se obtiene como la convolucion entre la entrada y la respuesta al impulso.

Si el sistema es no-causal

$y(t)=\int _{-\infty }^{0-}u(\tau )h(t-\tau )d\tau +\int _{0}^{\infty }u(\tau )h(t-\tau )d\tau$ donde la primera intregral depende de valores futuros y la segunda de valores pasados y presentes.

si el sistema es casual

la convolución queda definida como $y(t)=\int _{0}^{\infty }u(\tau )h(t-\tau )d\tau$ de valores pasados y presentes.

Ejemplos

Convolución de una rampa con un pulso(señal de impulso o escalón)

$y(t)=r(t)*u(t)$

$y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }r(\tau )u(t-\tau )d\tau$

luego como la rampa r(t)=t*u(t) reemplazamos en la integral

$y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\tau u(\tau )u(t-\tau )d\tau$

y como $U(\tau )$ vale 0 en los valores negativos ya tenemos uno de los límites de integración y si aparte consideramos que a $u(t-\tau )$ lo despejamos y lo corremos t veces el otro límite de integracion queda definido por el valor t. quedando la fórmula de esta manera

$y(t)=\int _{0}^{t}\tau d\tau$ la cual es muy fácil de integrar obteniendo así

$y(t)={\frac {(t^{2})}{2}}$

Series y Transformadas de Fourier

Series de Fourier

Muchas aplicaciones de ingeniería involucran el procesamiento de señales aleatorias. Algunos ejemplos de estas aplicaciones son: predicción, donde obtenemos futuros valores de una señal usando valores pasados de la misma; filtrado, donde buscamos recuperar los valores de una señal que ha sido alterada por ruido; modulación, donde convertimos señales de información de bajas frecuencias en señales de transmisión de alta frecuencia que se transmiten más fácilmente en el medio de transmisión. En todos estos casos, el procesamiento de las señales involucra convertir una señal en otra. Es decir que se efectúa una transformación o mapeo de una función del tiempo (la señal de entrada) en otra función del tiempo (la señal de salida). Esta transformación está representada por un sistema dinámico. En estas notas estamos interesados en describir las propiedades estadísticas de la señal de salida cuando el sistema es lineal e invariante en el tiempo, y la señal de entrada es estacionaria en sentido amplio. Somero repaso de Señales y Sistemas Un sistema dinámico es una transformación entre el espacio de señales de entrada y el espacio de señales de salida. pendiente por que no aparece la explicacion de espacio dinamico

Soluciones de Fourier en el Dominio de la Frecuencia

Ejemplos

11 las derivadas de las señales sinousidales dependen del número de frecuencia de forma analogica segun la señal si es discreta y continua, que básicamente una señal discreta también cuenta con una señal continua.

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es una transformación matemática. Nos ayuda a resolver sistemas complejos mediante la transformación de dichos sistemas en ecuaciones algebraicas sencillas. Por ejemplo, en vez de usar ecuaciones diferenciales, mediante la transformada de Laplace, convertimos dichas ecuaciones en polinomios, que son de menor dificultad resolutiva.

Tabla de Transformadas de Fourier

Función	                g(t)	G(w)	G(f)	
Pulso exponencial		 	 	
Delta de Dirac	 		
Escalón unitario		 	 	
Coseno			 	
Seno	 		 	
Rectangular	 			
Triangular	 			
Signo			 	
Impulso const.en t=to			 	
Sinc	 			
Fasorial				
Senoide				
Gaussiana				
Exponencial, unilateral				
Exponencial, bilateral				
Tren de impulsos

Wikilibros relacionados

• Sistemas de Control
• Problemario de Señales y Sistemas
• Signals and Systems (Wikilibro en Ingles)

Enlaces Externos

Procesamiento Digital de senales-Richard G. Lyons