Sistemas de Control

Sistemas de Control/Introducción

Este es, más que un libro, un manual acerca de la ingeniería de control. El orden esta basado en la estructura de un curso de control, comenzando con algunos conceptos de sistemas y modelado, siguiendo después con el control en el espacio de estados y después con la teoría clásica de control.

Cada tema comienza con un ejercicio, a manera de acercamiento práctico, y porque a veces, en opinión del primer editor de este wikilibro, una imagen puede transmitir los conceptos mejor que mil palabras (aunque en ocasiones las mil palabras son también necesarias para aclarar una imagen). Así que después del ejercicio, se ahonda más en los conceptos teóricos de cada sección. Este orden puede parecer contrario a la manera en que un estudiante se acercaría al tema, pero como se mencionó, esta wiki busca ser un manual y se asume que la persona que llega consultando este material, probablemente tenga ya algún conocimiento de los temas expuestos, y esté buscando sólo clarificaciones de conceptos.

Prefacio

La ingeniería de control y los sistemas de control automático son un área de aplicación interdisciplinaria dentro de la ingeniería. En diferentes áreas se pueden encontrar sistemas que requieren el cumplimiento de especificaciones de desempeño, velocidad de reacción o alguna otra variable de interés.

Circuitos eléctricos, reactores químicos y sistemas mecánicos y físicos, son tan sólo algunos ejemplos de sistemas que pueden requerir la adición de una estrategia de control para llevarlos o mantenerlos en un estado para controlar la duración, temperatura, velocidad o voltaje de algún componente, o la salida del sistema. O la manera en que el sistema reacciona a entradas de diferentes tipos. Tal vez una sobrecarga o la bajada del nivel de una sustancia necesaria para una reacción deben ser tomadas en cuenta al diseñar el sistema.

La ingeniería de control se ocupa del modelado de estos sistemas, de su parametrización, evaluación y posterior diseño de sistemas y estrategias de control, que permiten alcanzar el comportamiento deseado.

Contenidos

• Prefacio

Modelado de Sistemas

En esta sección se modelan diferentes tipos de sistemas. Se analizan circuitos eléctricos, sistemas mecánicos como diferentes combinaciones de masa-resorte, péndulos y sistemas físicos, sistemas de reactores químicos con uno ó dos tanques.

Los temas que se analizan son el modelado matemático de los sistemas mediante diferentes métodos, como diagramas de cuerpo libre y balance de energías. Se analiza posteriormente el estado estable del sistema, así como el concepto de operabilidad y la transformación de las ecuaciones obtenidas al espacio de estados.

Métodos de Control Clásico

-Transformada de Laplace La Transformada de Laplace de una función matemática f(t) definida para todos los números reales t ≥ 0 es la función F(s), definida por:

   F ( s ) = L { f ( t ) } = ∫ 0 − ∞ e − s t f ( t ) d t . {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.} {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

   F B ( s ) = { L f } ( s ) = ∫ − ∞ ∞ e − s t f ( t ) d t . {\displaystyle F_{B}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f\right\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.} {\displaystyle F_{B}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f\right\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}

La transformada de Laplace F(s) tipicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

Gracias a la transformada de Laplace se pueden resolver muchos circuitos (siempre que sean "Laplace-transformables"), los cuales son muy difíciles de resolver en el dominio del tiempo. Un ejemplo de esto son los circuitos con múltiples inductancias y condensadores, ya que por cada uno de estos componentes que se agregue, la ecuación resultante es una ecuación diferencial de mayor orden. Al transformar este tipo de circuitos al dominio de Laplace las ecuaciones se simplifican considerablemente y es posible resolverlas en ese dominio, para después llevarlas al dominio del tiempo resueltas. -Fourier Dada una función matemática f ( x ) {\displaystyle f(x)} {\displaystyle f(x)} en el "dominio del tiempo", se denomina transformada de Fourier de f {\displaystyle f} f a la función f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} {\displaystyle {\hat {f}}} definida por

   f ^ ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x , {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx,} {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx,}

la cual está definida para una función integrable f {\displaystyle f} f tal que

   ∫ − ∞ ∞ | f ( x ) | d x < ∞ . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|dx<\infty .} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|dx<\infty .}

Ésta se utiliza para pasar al "dominio de la frecuencia" para obtener información que no es evidente en el dominio del tiempo.

La transformada f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} {\displaystyle {\hat {f}}} es una función continua y acotada. Si f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} {\displaystyle {\hat {f}}} también satisface ∫ − ∞ ∞ | f ^ ( ξ ) | d ξ < ∞ , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|d\xi <\infty ,} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|d\xi <\infty ,} la transformada inversa de Fourier está dada por:

   f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ^ ( ξ ) e 2 π i ξ x d ξ {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi i\xi x}d\xi } {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi i\xi x}d\xi }.

Debido a las propiedades

   d f d x ^ ( ξ ) = 2 π i ξ f ^ ( ξ )  y  x f ^ ( ξ ) = − 1 2 π i d d ξ f ^ ( ξ ) , {\displaystyle {\widehat {\frac {df}{dx}}}(\xi )=2\pi i\xi {\hat {f}}(\xi )\quad {\mbox{ y }}\quad {\widehat {xf}}(\xi )=-{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {d}{d\xi }}{\hat {f}}(\xi ),} {\displaystyle {\widehat {\frac {df}{dx}}}(\xi )=2\pi i\xi {\hat {f}}(\xi )\quad {\mbox{ y }}\quad {\widehat {xf}}(\xi )=-{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {d}{d\xi }}{\hat {f}}(\xi ),}

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