Fundamentos de la Matemática/Grupo

Sea un conjunto: A y una ley de composición interna: , definida:

Dado que se cumple:

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

El par es una estructura definida en un único conjunto con una sola ley de composición. Si ademas cumple la propiedad asociativa, tiene elemento neutro y tiene elemento simétrico, se denomina grupo. Si este grupo cumple la propiedad conmutativa se dice que es un grupo conmutativo o abeliano.

grupo
monoide
semigrupo
magma
conjunto
ley de composición
interna
asociativa
elemento neutro
elemento simétrico


Suma de números enteros

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Dado el conjunto:   de los números enteros y la ley de composición interna:  , suma, definida como:

 

1) - se cumple que:

 

Para todo par ordenado (a,b) en  , se cumple que existe un único c en  , tal que c = a + b. La operación suma de números enteros es interna.

2) - se cumple que:

 

Para todo a, b, c números enteros, sumar a y b y el resultado sumarlo con c es igual a sumar a al resultado de sumar b y c. La operación suma de números enteros es asociativa.

3) - se cumple que:

 

Para todo a número entero, existe un 0, cero, número entero que cumple que: 0 + a = a + 0 = a. La operación suma de números enteros tiene elemento neutro y este elemento neutro es el 0, el cero.

4) - se cumple que:

 

Para todo a número entero, existe -a número entero, que cumple que a más -a es igual a -a más a e igual a 0, siendo 0 el elemento neutro, todo número entero tiene elemento simétrico para la suma, el elemento simétrico para la suma se suele llamar elemento opuesto.

Por lo tanto la suma de números enteros:   es un grupo.

5) - se cumple que:

 

Para todo a, b números enteros se cumple que la suma de a más b es igual a la suma de b más a, cumpliendo la propiedad conmutativa. La suma de números enteros es un grupo conmutativo o abeliano.

Multiplicación de números racionales

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Dado el conjunto:   de los números racionales menos el 0,  , y la ley de composición interna:  , producto, definida como:

 

Véase también

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Bibliografía

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  1. Paul Dubreil (1975) (en Español). Teoría de grupos. Reverte. ISBN 978-84-291-5071-1. 
  2. Pavel Sergeevich Alexandrov (2005) [1980]. Domingo Martín Ricoy. ed (en Español). Introducción a la teoría de grupos. Editorial URSS. ISBN 5-354-01129-9. 

Referencias

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