Fundamentos de la Matemática/Grupo

Sea un conjunto: A y una ley de composición interna: $\circledcirc$, definida:

${\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}$

Dado que se cumple:

$\forall (a,b)\in A\times A\,,\quad \exists !c\in A\;:\quad c=a\circledcirc b$

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

El par $(A,\circledcirc )$ es una estructura definida en un único conjunto con una sola ley de composición. Si ademas cumple la propiedad asociativa, tiene elemento neutro y tiene elemento simétrico, $(A,\circledcirc )$ se denomina grupo. Si este grupo cumple la propiedad conmutativa se dice que es un grupo conmutativo o abeliano.

grupo monoide semigrupo magma conjunto ley de composición interna asociativa elemento neutro elemento simétrico

Suma de números enteros

Dado el conjunto: $\mathbb {Z}$ de los números enteros y la ley de composición interna: $+\,$, suma, definida como:

${\begin{array}{rccl}+:&\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a+b\end{array}}$

1) - se cumple que:

$\forall (a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \,,\quad \exists !c\in \mathbb {Z} \;:\quad c=a+b$

Para todo par ordenado (a,b) en $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$, se cumple que existe un único c en $\mathbb {Z}$, tal que c = a + b. La operación suma de números enteros es interna.

2) - se cumple que:

$\forall a,b,c\in \mathbb {Z} \;:\quad (a+b)+c=a+(b+c)$

Para todo a, b, c números enteros, sumar a y b y el resultado sumarlo con c es igual a sumar a al resultado de sumar b y c. La operación suma de números enteros es asociativa.

3) - se cumple que:

$\forall a\in \mathbb {Z} \;,\;\exists 0\in \mathbb {Z} \;:\;0+a=a+0=a$

Para todo a número entero, existe un 0, cero, número entero que cumple que: 0 + a = a + 0 = a. La operación suma de números enteros tiene elemento neutro y este elemento neutro es el 0, el cero.

4) - se cumple que:

$\forall a\in \mathbb {Z} \;,\;\exists -a\in \mathbb {Z} \;:\;a+(-a)=(-a)+a=0$

Para todo a número entero, existe -a número entero, que cumple que a más -a es igual a -a más a e igual a 0, siendo 0 el elemento neutro, todo número entero tiene elemento simétrico para la suma, el elemento simétrico para la suma se suele llamar elemento opuesto.

Por lo tanto la suma de números enteros: $(\mathbb {Z} ,+)$ es un grupo.

5) - se cumple que:

$\forall a,b\in \mathbb {Z} \;:\;a+b=b+a$

Para todo a, b números enteros se cumple que la suma de a más b es igual a la suma de b más a, cumpliendo la propiedad conmutativa. La suma de números enteros es un grupo conmutativo o abeliano.

Multiplicación de números racionales

Dado el conjunto: ${\mathbb {Q} }^{*}$ de los números racionales menos el 0, ${\mathbb {Q} }^{*}=\mathbb {Q} -\{0\}$, y la ley de composición interna: $\cdot \,$, producto, definida como:

${\begin{array}{rccl}\cdot :&{\mathbb {Q} }^{*}\times {\mathbb {Q} ^{*}}&\longrightarrow &{\mathbb {Q} }^{*}\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\cdot b\end{array}}$

Véase también

• Álgebra Abstracta/Grupos
• w:Grupo (matemática)

Bibliografía

1. Paul Dubreil (1975) (en Español). Teoría de grupos. Reverte. ISBN 978-84-291-5071-1. 
2. Pavel Sergeevich Alexandrov (2005) [1980]. Domingo Martín Ricoy. ed (en Español). Introducción a la teoría de grupos. Editorial URSS. ISBN 5-354-01129-9.