Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Subgrupos normales»
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Agrego material. Quedan pendientes las demostraciones de los teoremas 1.29 y 1.30 |
Completo la demostración de los teoremas 1.29 y 1.30 |
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Línea 18:
<font size=3>'''Teorema 1.29:'''</font> Sea <math>G</math> un grupo y <math>N\trianglelefteq G</math>. Entonces <math>(G/N)</math> es un grupo, llamado '''grupo cociente''' de <math>G</math> por <math>N</math>, con la operación de grupo dada por
Línea 24:
{{Proof|1=Debemos probar que la operación en <math>(G/N)</math> dada por <math>aNbN=abN.</math> tiene sentido, es decir, que si <math>a'\in aN</math> y <math>b'\in N</math>, entonces <math>abN=a'b'N</math>. Tenemos que
{{Eqn|<math>(ab)^{-1}a'b'=b^{-1}a^{-1}a'b'=b^{-1}a^{-1}a'(bb^{-1})b'=b^{-1}(a^{-1}a')b(b^{-1}b')</math>}}
con <math>a^{-1}a=n_1\in N</math>, <math>b^{-1}b\in N</math> así que <math>(ab)^{-1}a'b'=b^{-1}n_1bn_2</math>, pero como <math>N\trianglelefteq G</math>, también <math>b^{-1}n_1b=n_3\in N</math>, luego <math>(ab)^{-1}a'b'=n_3n_2\in N</math>, y entonces <math>ab\equiv a'b'\ (\mbox{mod}\ m)</math>, lo que prueba que <math>abN=a'b'N</math>. Hemos probado que la operación definida en <math>(G/N)</math> tiene sentido. Esta operación es asociativa. La identidad de <math>(G/N)</math> es <math>N</math>, y el inverso de todo <math>aN</math> de <math>(G/N)</math> es <math>a^{-1}N</math>. Con esto queda probado que <math>(G/N)</math> es un grupo.}}
Si <math>f:G\longrightarrow H</math> es un homomorfismo de grupos, entonces <math>\ker f\trianglelefteq G</math>. En efecto, pues si <math>n\in\ker f</math> y <math>a\in G</math>, entonces
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{{Eqn|<math>~n=a(a^{-1}na)a^{-1}\in a(\ker f)a^{-1},</math>}}
lo que demuestra que <math>~a(\ker f)a^{-1}=\ker f</math> y así <math>\ker f\trianglelefteq G</math>.
Línea 41 ⟶ 48:
{{Proof|1=La primera parte del teorema ya ha sido probada. Si <math>N</math> es un subgrupo normal
{{Eqn|<math>\phi(a)=aN</math>}}
es claramente un epimorfismo, llamado '''proyección canónica'''. Puesto que <math>a\in N</math> si y sólo si <math>aN=N</math>, tenemos que <math>N=\ker\phi</math>.}}
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