Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Grupos»

 

Un grupo <math>G</math> en el que se verifica la propiedad conmutativa, es decir, en el que <math>ab=ba</math> para cualesquiera <math>a</math> y <math>b</math> de <math>G</math>, se dice grupo '''abeliano'''.

 

El teorema siguiente recoje algunos hechos básicos a cerca de los grupos.

 

'''Demostración:''' (G-1) Si <math>aa=a</math>, entonces <math>a=a(aa^{-1})=(aa)a^{-1}=aa^{-1}=1</math>. (G-2) Si <math>ab=ac</math>, entonces al multiplicar ambos lados de la ecuación por <math>a^{-1}</math> se obtiene <math>b=c</math>. (G-3) <math>(a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}(a^{-1}a)=((a^{-1})^{-1}a^{-1})a=1\cdot a=a</math>. (G-4) <math>(b^{-1}a^{-1})(ab)=b^{-1}(a^{-1}a)b=b^{-1}\cdot 1\cdot b=b^{-1}b=1</math>, de modo que <math>b^{-1}a^{-1}</math> es inverso de <math>ab</math>, pero éste es único, así es que ha de ser <math>b^{-1}a^{-1}=(ab)^{-1}</math>. La prueba de (G-5) se realiza por inducción.

 

Los dos teoremas siguientes muestran las condiciones que debe cumplir un semigrupo para ser un grupo.