Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Grupos»
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===Semigrupos, monoides y grupos===
'''Definición:''' Sea <math>S</math> un conjunto. Una aplicación▼
▲'''<font size=3>Definición 1.1:</font>''' Sea <math>S</math> un conjunto. Una aplicación
{{Eqn|<math>*:S\times S\longrightarrow S</math>}}
se dice una '''operación binaria''' (o '''ley de composición interna''') en <math>S</math>. La imagen de cualquier par <math>(a,b)</math> bajo la operación <math>*</math> se representa por <math>a*b</math>. Cuando el símbolo que representa la operación es <math>\cdot</math>, entonces la imagen de <math>(a,b)</math> bajo la operación <math>\cdot</math> suele representarse también por <math>ab</math>.
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Con estas definiciones, se cumple el
'''<font size=3>Teorema 1.2 (Ley asociativa general):</font>''' Sea <math>G</math> un monoide y <math>a_1,\ldots, a_m,</math> <math>a_{m+1},\ldots, a_{m+n}</math> elementos de <math>G</math>. Entonces
{{Eqn|<math>
\prod_{i=1}^m a_i\cdot\prod_{j=1}^n a_{j+m}=\prod_{i=1}^{m+n}a_i.
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Se dice que un monoide <math>G</math> es '''conmutativo''' si su operación es conmutativa.
'''<font size=3>Teorema 1.3 (Ley conmutativa general):</font>''' Sea <math>G</math> un monoide conmutativo y <math>a_1\ldots a_n</math> elementos de <math>G</math>. Sea <math>\phi</math> una aplicación del conjunto <math>\{1,\ldots,n\}</math> sobre sí mismo. Entonces
{{Eqn|<math>\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)}=\prod_{i=1}^n a_i</math>}}
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'''<font size=3>Definición 1.4:</font>''' Sea <math>G</math> un monoide. Un elemento <math>a</math> de <math>G</math> se dice '''invertible por la izquierda''' (resp. '''invertible por la derecha''') si existe un elemento <math>b</math>, llamado '''inverso izquierdo''' de <math>a</math> (resp. '''inverso derecho''' de <math>a</math>), tal que <math>ba=1</math> (resp. <math>ab=1</math>). Se llama '''invertible''' a un elemento <math>a</math> que es invertible por ambos lados.
Si un elemento <math>a</math> de un monoide <math>G</math> es invertible, entonces su inverso izquierdo y su inverso derecho coinciden. En efecto, pues si <math>b</math> y <math>c</math> son, respectivamente, el inverso izquierdo y el inverso derecho de <math>a</math>, entonces <math>b=b\cdot1=b(ac)=(ba)c=1\cdot c=c</math>.
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El teorema siguiente recoje algunos hechos básicos a cerca de los grupos.
'''<font size=3>Teorema 1.5:</font>''' Sea <math>G</math> un grupo y <math>a,b,c</math> elementos de <math>G</math>. Se cumplen
:'''(G-1)'''<math>aa=a</math> implica <math>a=1</math>
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Los dos teoremas siguientes muestran las condiciones que debe cumplir un semigrupo para ser un grupo.
'''<font size=3>Teorema 1.6:</font>''' Un semigrupo <math>G</math> es un grupo si y sólo si
# existe una identidad por la izquierda <math>1</math> tal que para todo elemento <math>a</math> de <math>G</math>, <math>1a=a</math>;
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se deduce que <math>aa^{-1}=1</math>, por lo que <math>a^{-1}</math> es también inverso de <math>a</math> por la derecha. Además, <math>a\cdot 1=a(a^{-1}a)=(aa^{-1})a=1\cdot a=a</math>, por lo que 1 es también una identidad por la derecha en <math>G</math>, luego <math>G</math> es un grupo.
'''<font size=3>Teorema 1.7:</font>''' Un semigrupo <math>G</math> es un grupo si y sólo si para cualesquiera <math>a</math> y <math>b</math> de <math>G</math> las ecuaciones
{{Eqn|<math>ax=b\qquad\mbox{y}\qquad ya=b</math>}}
tienen soluciones únicas en <math>G</math>.
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