Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Funciones»

se dice ''función'' de <math>x</math> en <math>y</math>. Para indicar que <math>f</math> es una función de un conjunto <math>x</math> en otro <math>y</math>, es común escribir <math>f:x\longrightarrow y</math>.

Sean dos conjuntos <math>x</math> e <math>y</math>, y sea <math>f:x\longrightarrow y</math> una función de <math>x</math> en <math>y</math>. Si <math>(a,b)\in f</math> se dice que <math>a</math> es ''antecedente'' de <math>b</math> por medio de <math>f</math>, y que <math>b</math> es \''imagen'' de <math>a</math> por medio de <math>f</math>. Por definición, un elemento <math>a\in x</math> no puede tener ni más ni menos que una sola imagen <math>b\in y</math>, que representaremos por <math>f(a)$ </math> (de modo que <math>b=f(a) </math> si y solo si <math>(a,b)\in f</math>). El conjunto <math>x</math> se dice ''dominio'' de la función <math>f</math>, y se representa comúnmente por <math>\mathrm{dom}(f) </math>, mientras que el subconjunto <math>y'\subseteq y</math> tal que para todo <math>b\in y'</math> existe <math>a\in x</math> tal que <math>b=f(a)</math> (i.e. el subconjunto de <math>y</math> que contiene solo las imágenes de los elementos de <math>x</math> por medio de <math>f</math>) se dice ''rango}'' de la función <math>f</math>, y se representa por <math>\mathrm{ran} (f) </math>.

que envía un elemento <math>i</math> de <math>I</math> con un subconjunto de <math>x</math>, se denomina ''familia'' de subconjuntos de <math>x</math> indicada por <math>I</math>. El conjunto <math>I</math> se denomina en este caso conjunto de ''índices'' (por lo que cada <math>i\in I</math> se dice un ''índice''), y la imagen de cualquier <math>i\in I</math> por medio de esta función se representa por <math>x_i</math>.

es decir, si cualesquiera distintos elementos de <math>x</math> tienen distintas imágenes en <math>y</math>, se dice que <math>f</math> es una función ''inyectiva'' o que es una ''inyección''.

es decir, si <math>\mathrm{ran}(f)=y</math> (i.e. si todo <math>b\in y</math> es imagen), se dice que <math>f</math> es una función ''sobreyectiva'' (o ''suprayectiva''), que es una función de <math>x</math> ''sobre'' <math>y</math>, o que es una ''sobreyección''.

<p>(F-5) Una función que es a la vez inyectiva y sobreyectiva se dice función biyectiva o ''biyección''.</p>

se dice ''imagen'' del subconjunto <math>x_1</math> por <math>f</math>. Es decir, <math>f\left[x_1\right] </math> es el conjunto de todos los <math>b\in y</math> que son imagen de algún elemento de <math>x_1</math>. Así pues,

y se llama a este conjunto ''imagen recíproca'' de <math>y_1</math> por <math>f</math>. Así pues,

'''Demostración:''' Sea pues <math>x_1\subseteq x_2</math>. Si <math>b\in f\left[x_1\right] </math>, entonces, por definición (véase ¿?), existe <math>a\in x_1</math> tal que <math>b=f(a) </math>, pero en tal caso <math>a\in x_2</math>, pues <math>x_1\subseteq x_2</math>, de modo que <math>b\in f\left[x_2\right] </math>. QED

'''Demosracón:''' Si <math>a\in f^{-1}\left[y_1\right] </math>, entonces <math>f(a)\in y_1</math>, puesto que <math>y_1\subseteq y_2</math>, se tiene <math>f(a)\in y_2</math>, luego <math>a\in f^{-1}\left[y_2\right] </math>, y así <math>f^{-1}\left[y_1\right]\subseteq f^{-1}\left[y_2\right] </math>. QED

'''Demostración:''' Sea <math>a\in x_1</math>. La imagen de <math>a</math> por <math>f</math>, <math>f(a) </math>, está en el conjunto <math>f\left[x_1\right]</math>, y así <math>a\in f^{-1}\left[f\left[x_1\right]\right] </math>. QED

'''Demostración:''' Si <math>b\in f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right] </math>, entonces <math>b</math> es la imagen de algún <math>a\in f^{-1}\left[y_1\right] </math>, y así <math>b\in y_1</math>. QED

'''Demostración:''' En vista de (d), solo queda demostrar que, si <math>y_1\subseteq f\left[x_1\right] </math>, entonces <math>y_1\subseteq f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right] </math>. Esto es fácil considerando que <math>f\left[x_1\right]</math> solo contiene elementos que son imágenes, y por tanto esto también es cierto para <math>y_1</math>, de modo que si <math>f(a)\in y_1</math>, <math>a\in f^{-1}\left[y_1\right] </math>, luego <math>f(a)\in f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right] </math>, con lo que la prueba termina. QED

'''Demostración:''' Sea <math>a\in f^{-1}\left[\mathcal{C}_{y}y_1\right] </math>. Así, existe <math>b\in\mathcal{C}_{y}y_1</math> tal que <math>b=f(a) </math>, pero en ese caso <math>b\notin y_1</math>, de modo que <math>a\notin f^{-1}\left[y_1\right]</math>, y con esto <math>a\in\mathcal{C}_xf^{-1}\left[y_1\right]</math>. Solo falta demostrar que <math>\mathcal{C}_xf^{-1}\left[y_1\right]\subseteq f^{-1}\left[\mathcal{C}_{y}y_1\right] </math>, lo que consiste de seguir los pasos anteriores en el sentido opuesto. QED

'''Demostración:''' Sea <math>b\in f\left[\mathcal{C}_{x}x_1\right] </math>. Entonces, puesto que <math>f</math> es inyectiva, existe un único <math>a\in\mathcal{C}_{x}x_1</math> tal que <math>b=f(a) </math>. Luego, <math>a\notin x_1</math>, de modo que <math>b\notin f\left[x_1\right] </math>, y así <math>b\in\mathcal{C}_{y}f\left[x_1\right] </math>. QED

'''Demostración:''' Si <math>b\in\mathcal{C}_{y}f\left[x_1\right] </math>, tenemos que <math>b\notin f\left[x_1\right] </math> , por lo que <math>b</math> no tiene ningún antecedente en <math>x_1</math>. Notemos que, por ser <math>f</math> una sobreyección, <math>b</math> tiene por lo menos un antecedente en <math>x</math>. Sea <math>a</math> cualquiera de estos antecedentes de <math>b</math>, es decir, sea <math>b=f(a) </math>. Tenemos que <math>a\in\mathcal{C}_{x}x_1</math>, por lo que <math>b\in f\left[\mathcal{C}_{x}x_1\right] </math>, lo que demuestra lo que se quería. QED

se dice ''restricción'' de <math>f</math> a <math>x_1</math>. Esto es,

por lo que la restricción de <math>f</math> a <math>x_1</math> es una función que resulta de `'recortar' el dominio de <math>f</math>. Es claro que <math>f|_{x_1}\subseteq f</math>.

Sea <math>\{x\}_{i\in I}</math> una familia de subconjuntos de un conjunto <math>x</math>. Es común llamar simplemente ''unión'' de <math>\{x\}_{i\in I}</math> a la unión de los conjuntos del rango de <math>\{x\}_{i\in I}</math>, que se representa por <math>\bigcup_{i\in I}x_i</math> y que se define (véase 1.3.4) naturalmente por

<center><math>\bigcup_{i\in I}x_i</math><math>=\{a\mid</math>\ \mathrm{existe}\ <math>i\in I</math>\ \mathrm{tal}\ \mathrm{que}\ <math>a\in x_i\}</math>.</center>

Por otra parte, la intersección de los conjuntos del rango de la familia <math>\{x\}_{i\in I}</math>, que se representa por <math>\bigcap_{i\in I}x_i</math>, se dice simplemente ''intersección'' de <math>\{x\}_{i\in I}</math>. Así pues (véase 1.3.5),

<center><math>\bigcap_{i\in I}x_i</math><math>=\{a\mid</math> \mathrm{para}\ \mathrm{todo}\ <math>i\in I,\quad a\in x_i\}</math>.</center>

se dice ''composición'' de <math>f</math> y <math>g</math>. Esto es, <math>f\circ g</math> resulta de aplicar <math>f</math> seguida de <math>g</math>, por lo que si <math>f</math> envía un elemento <math>a\in x</math> con un elemento <math>b\in y</math> y <math>g</math> envía a <math>b\in y</math> con un elemento <math>c\in z</math>, entonces <math>f\circ g</math> envía directamente el elemento <math>a\in x</math> con el elemento <math>c\in z</math> (Refiérase a la figura de abajo).

para todo <math>a\in x</math>, y que por tanto envía cada elemento de <math>x</math> consigo mismo, se llama función ''identidad''.

Si <math>f:x\longrightarrow y</math> es una función biyectiva, puede definirse la función <math>f^{-1}</math>, llamada ''función inversa'' de <math>f</math>, por