Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Conjuntos»
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Lo principal para nuestro desarrollo de la teoría (intuitiva) de conjuntos es aceptar que es posible ‘comprimir’ o ‘substancializar’ una colección o conjunto (que para este caso son lo mismo) de cualesquiera objetos y, así, poder considerarla como un todo o, mejor dicho, como una única cosa que tratar. Los objetos de un conjunto se llaman elementos de dicho conjunto.
1.1.1. Desde luego, la relación más básica de la teoría de conjuntos es esa que existe entre los elementos y su conjunto: la relación de pertenencia. Como es la regla hoy en día, escribiremos
<center><math>a\in x</math></center>
para indicar que el objeto <math>a</math> es uno de los elementos del conjunto <math>x</math>. Es decir, el símbolo ‘<math>\in</math>, una versión de la letra griega <math>\epsilon</math> (épsilon), lo usaremos para representar la relación de pertenencia. Así, puede decirse que los primeros argumentos de la relación <math>\in</math> pertenecen al universo de los elementos, mientras que los segundos argumentos de esta misma relación pertenecen al universo de los conjuntos. Si aceptamos que todo es un conjunto (algo que, por ciertas razones que se verán en su momento, haremos cuando se desarrolle la teoría axiomática de conjuntos), entonces los primeros y segundos argumentos de <math>\in</math> pertenecen al mismo universo.
La negación de $a\in x$ la escribiremos
<center> <math>a\notin x</math>.</center>
1.1.2. Diremos que dos conjuntos <math>x</math> e <math>y</math> son iguales, lo que se representa por <math>x=y</math>, si y solo si <math>x</math> e <math>y</math> consisten de los mismos elementos. Así pues, <math>x=y</math> siempre que
<center><math>a\in x</math> si y solo si <math>a\in x</math></center>
para todo elemento <math>a</math> (id est, si todo elemento de <math>x</math> es elemento de <math>y</math> y, recíprocamente, si todo elemento de <math>y</math> es elemento de <math>x</math>).
1.1.3. Por otra parte, como un hecho más general que la igualdad, un conjunto <math>x</math> es subconjunto de otro <math>y</math>, lo que se representa por
<center><math>x\subseteq y</math>, </center>
siempre que
<center><math>a\in x</math> implica <math>a\in y</math></center>
para cualquiera que sea el elemento <math>a</math> (id est, si todo elemento de <math>x</math> es elemento de <math>y</math>). Claramente
<center><math>x\subseteq x</math></center>
para todo conjunto <math>x</math>, por lo que se dice que la relación <math>\subseteq</math> es reflexiva. También tenemos que
<center><math>x\subseteq y</math> y <math>y\subseteq x</math>si y solo si <math>x=y</math>,</center>
y que
<center><math>x\subseteq y</math> y <math>y\subseteq z</math> implica <math>x\subseteq z</math></center>
para cualesquiera conjuntos <math>x</math>, <math>y</math> y <math>z</math>. Estos dos hechos muestran, respectivamente, que la relación <math>\subseteq</math> es antisimétrica y transitiva.
1.1.4. Si <math>x\subseteq y</math> y <math>x\neq y</math> (id est, si <math>y</math> tiene por lo menos un elemento más que <math>x</math>) se dice que <math>x</math> es subconjunto ''propio'' de <math>y</math>, lo cual se representa por
<center><math>x\subset y</math>.</center>
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