Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Acciones de Grupos»

<b>Proposición 1.</b> <i>Sea <math>\phi : X \longrightarrow Y</math> un <math>G</math>-morfismo. Entonces, el grupo de isotropía de <math>x</math> está contenido en el grupo de isotropía de <math>\phi(x).</math> Además, dichos grupos coincidirán, cuando <math>\phi</math> sea inyectiva.

</i>

 

Sean <math>X</math> un <math>G</math>-conjunto, <math>x,</math> <math>y</math> elementos de <math>X,</math> y <math>z</math> un elemento en las órbitas de <math>x</math> y <math>y.</math> Entonces, podremos hallar <math>g,</math> <math>g'</math> en <math>G</math> tales que <math>z = gx = g'y.</math> Por lo que, <math>x = g^{-1}g'y;</math> lo que implica que <math>x</math> está en la órbita de <math>y</math> y viceversa. Por lo tanto, las órbitas o son iguales o no se intersecan. Es decir, las órbitas de la acción de <math>G</math> definen una partición de <math>X.</math> En otras palabras: