Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 239c»
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:Man ist durch „Schieben“ nie imstande, A mit A', B mit B' usw. zugleich zur Deckung zu bringen. Wohl aber im R<sub>2</sub> durch „Drehung“. Im R<sub>2</sub> gilt dasselbe etwa bei symmetrischen Dreiecken, die man zur Kongruenz in den R<sub>n + 1</sub> also den R<sub>3</sub> heben und dort „umklappen“ muß. Bei symmetrischen körperlichen Ecken im R<sub>3</sub>, die etwa dadurch entstehen, daß man alle, die Ecke bildenden Geraden über den Scheitel hinaus verlängert und dadurch eine „Scheitel-Ecke“ gewinnt, ist kein Mensch je imstande, diese zwei Ecken, wenn man sie auseinandernimmt, zur Kongruenz zu bringen. Es fehlt der R<sub>4</sub> für das „Hinausnehmen“ und „Umklappen“. Es gibt nur ein Umdrehen in sich wie beim Handschuh, das Kongruenz ermöglicht. So wie man etwa auch ein symmetrisches Dreieck in der Ebene in sich umwenden und dadurch kongruent machen könnte. Schließlich könnten wir uns ja auch die Gerade mit den Teilpunkten etwa in der Art eines unendlich dünnen Schlauches in sich umgedreht denken, wodurch Kongruenz entstände.
:Die Polyeder selbst sind einander dann kongruent, wenn ihre Flächen und Ecken bezüglich kongruent sind. Eine einzige, bloß symmetrisch gleiche Ecke würde die Kongruenz zerstören. Das Rechts-Links-Problem, das sowohl im R<sub>1</sub> als im R<sub>2</sub> stets durch die höheren Räume aufgehoben werden kann, gewinnt im R<sub>3</sub> einen absoluten Charakter, was jeder nachfühlen wird, der knapp vor der Abreise in einer Schuhschachtel zwei rechte oder zwei linke Schuhe entdeckt, bei denen ein „Umdrehen“ à la Handschuh untunlich ist. Wir werden in den Schlußkapiteln noch staunenswerte Dinge über rechts und links erfahren.
:Jetzt aber wenden wir uns der Inhaltsmessung im Raume zu, dem letzten Untersuchungsgegenstand, den wir in der Stereometrie näher betrachten. Wie die Fläche in Quadraten der Längeneinheit ausgemessen wird, so wird der Raum in Würfeln der Längeneinheit gemessen. Aus der Quadratur wird die Kubatur und es bedarf keiner Erläuterung, daß etwa 5 Schichten von Würfeln, die in einer Länge von 8 und in einer Breite von 3 Längeneinheiten aufeinandergebaut sind, <math>5 \cdot 8 \cdot 3 = 120</math> Würfel enthalten müssen. Wie beim Rechteck Länge mal Breite, so ist im Raume Länge mal Breite mal Höhe die Grundformel der Messung. Nun ist es aber ein Kreuz der Geometriker, daß sich eine durchaus strenge Überleitung vom Flächeninhalt zum Rauminhalt nicht finden läßt. Wir müssen da entweder mit primitiven oder mit höchst komplizierten Vorstellungen arbeiten, die eigentlich in die höhere Mathematik gehören, so plausibel sie an und für sich sein mögen. Wir meinen in erster Linie den Satz von Cavalieri, der als Fundamentalsatz der Raummessung angesprochen werden darf. <br style="clear:both;" />
[[File:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 353 picture cutout.jpg|thumb|400 px]]
:Wir hätten eine Reihe verschieden geformter Plättchen, die alle den gleichen Flächeninhalt haben, was wir als Voraussetzung behaupten. Es ist wohl ohne jede Erläuterung klar, daß unsere verschiedenen mehr oder weniger schiefen „Türme“ alle den gleichen Rauminhalt haben, da sie aus gleichviel flächengleichen Plättchen aufgebaut sind. Nun ist das aber doch wieder nicht so klar, als es auf den ersten Augenblick erscheint. Denn wir wissen nur, daß unsere Plättchen einander und jede Art von Plättchen untereinander flächengleich sind. Wir müssen uns also die Plättchen wieder in dünnere und stets dünnere Plättchen zerlegt denken, bis wir endlich bei unendlich dünnen Plättchen sagen können, sie seien untereinander wirklich gleich. Nun ist es aber paradox, aus unendlich dünnen Plättchen „Türme“ bauen zu wollen. Denn wir wissen nicht einmal, ob selbst unendlich viele unendlich dünne Plättchen einen Turm erzeugen können. Wieder befinden wir uns in einer Antinomie oder Gegengesetzlichkeit, die mit dem Problem der Stetigkeit und des Diskreten zu tun hat. Wir dürfen aber trotzdem dem Satz Cavalieris vertrauen, da ihn bisher jede Erfahrung und jede indirekte mathematische Probe bestätigt hat. Er lautet: „Wenn bei mehreren Körpern ein Schnitt durch eine und dieselbe parallel zur Grundfläche gelegte Ebene stets flächengleiche Schnittflächen ergibt, in welcher Höhe immer
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