Diferencia entre revisiones de «Precálculo/Introducción»

Los conjuntos se simbolizan con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas. Si un elemento <math>a</math> pertenece a un conjunto <math>A</math>, lo representamos matemáticamente como <math>a \in A</math>, lo cual se leélee: "a pertenece a A"; y si un elemento <math>b</math> no pertenece a un conjunto <math>A</math>, lo expresamos como <math>b \not\in A</math> y lo leemos como: "b no pertenece a A".

'''Ejemplo 2.6.''' Tomemos al conjunto de todos los animales como nuestro universo (el reino animalia en biología). Entonces el conjunto de todos los leones es un subconjunto del conjunto de todos los felinos. A su vez el conjunto de todos los felinos es un subconjunto del conjunto de todos los mamíferos. ENEn consecuencia podemos afirmar que el conjunto de todos los leones es un subconjunto del conjunto de todos los mamíferos.

=== Operaciones con conjutosconjuntos. ===

'''Definición 2.11. Intersección de conjuntos.''' La intersección de dos conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> es el conjunto de todos los elementos que pertenecen simultaneamentesimultáneamente a <math>A</math> y a <math>B</math>:

<math>A \cap B = \{ x : x \in A \ \and \ x \in B \}</math>. La intersección de varios conjuntos (cero, uno, dos o más), simbolizada como <math>\cap_i A_i,</math> es el conjunto conformado por todos los elementos que pertenecen simultaneamentesimultáneamente a cada conjunto <math>A_i.</math>

'''Definición 2.14. Complemento de un conjunto.''' El complemento de un conjutoconjunto <math>A</math>, representado como <math>A^c</math>, es el conjutoconjunto conformado por todos los elementos que no pertenecen a <math>A</math>, respecto al conjunto universal:

# Sean <math>M := \{ x:</math> x es un mamifero<math>\}</math> \cupy <math>V = \{y : y</math> es un ave<math>\}</math>, entonces <math>M \cup V = U,</math>, es decir, el conjunto universal de todos los animales de Villa Fantasía. Además <math>M \cap V = \phi</math>, i.e. <math>M</math> y <math>V</math> son disjuntos.

'''Ejemplo 2.68. El plano cartesiano.''' Cuando <math>A = B = \mathbb{R}</math> los pares ordenados <math>(a,b)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R}</math> se representan gráficamente como puntos o coordenadas en el plano cartesiano (ver Figura 1).

'''Definición 2.16. Conjuntos producto generalizados.''' El concepto de conjunto producto puede generalizarse de manera natural para cualquier número finito de conjuntos. El conjunto producto de los conjuntos <math>A_1, A_2 \ldots , A_n</math>, representado como <math>A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n</math>, es el conjutoconjunto de todas las '''n-adas''' ó '''n-uplas''' de elementos de cada conjunto respectivo, i.e.

'''Definición 2.17. Función.''' Una '''función''' ó '''aplicación''' es una relación o regla entre dos conjuntos ''A'' y ''B'' que asocia a cada elemento del conjutoconjunto ''A'' un "<u>único</u>" elemento del conjutoconjunto ''B, y se denota por''

'''Ejemplo 2.79. Función cuadrática.''' La función <math>f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ x \mapsto f(x) = x^2</math>que asigna a cada número real su cuadrado, es decir, <math>y = f(x) = x^2,</math> tiene como dominio y codominio a <math>\mathbb{R}</math>, sin embargo posee como imagen o rango a los reales positivos mas el cero, es decir: <math>\mathbb{R}^+ \cup \{0\}</math>. Además, se ´presenta a continuación una tabla donde se evalúa a <math>f</math> en algunos valores y se muestra su gráfica (ver Figura 3).

'''Definición 2.21. Igualdad de funciones.''' Dos funciones <math>f,g:A \rightarrow B</math> son iguales, lo que se expresa como <math>f = g</math>, si <math>f(a) = g(a), \forall a \in A;</math> en caso contrario se dice que <math>f</math> y <math>g</math> son distintas, es decir si <math>\exist a \in A \ t.q. \ f(a) \neq f(b),</math> lo cual se representa como <math>f \neq g</math> (ver figura 4).

'''Ejemplo 2.810. Función constante.''' La función de variable real <math>f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},</math> definida como <math>x \mapsto f(x) = 1,</math>es una función constante (ver Figura 5).

'''Definición 2.24. Restricción y prolongación de''' <math>f</math>. Sean <math>f: A \rightarrow B</math> y <math>C \subset A</math>. La restricción de <math>f</math> a <math>C,</math> simbolizada como <math>f|_C</math>, es la función definida como <math>f|_C : (C \subset A) \rightarrow B,</math> i.e. el dominio de <math>f|_C</math> queda restringido al subconjunto <math>C</math> de <math>A.</math> De igual forma, dada una función <math>g: C \rightarrow B</math>, ysi definimos alguna <math>f : A \rightarrow B</math>, con <math>A \supset C</math>, tal que <math>f|_C = g,</math> entonces se dice que <math>f</math> es una prolongación de <math>g.</math>

'''Definición 3.3. Estructura algebraica.''' Una estructura algebraica es un par ordenado <math>(A, (*,\circ,\star,\ldots)),</math> siendo <math>A</math> un conjunto y <math>(*,\circ,\star)</math> unaun conjunto de operaciónoperaciones binariabinarias definidadefinidas sobre <math>A</math> que cumplecumplen con una lista de propiedades. LasLa cantidad de operaciones binarias así como las propiedades partícularesparticulares que se cumplan determinará el tipo de estructura algebraica.

# Existencia del elemento neutro: <math>\exist e \in G \ t.q. \forall a \in G, \ a+e = e+a = a.</math> Al elemento <math>e</math> se le llama elemento neutro o elemento identidad.

# Existencia del elemento inverso: <math>\forall a \in G \ \exist b \in G, t.q. a*b = b*a = e.</math> El elemento inverso se suele representar como <math>a^{-1}.</math>

# <math>\forall l, m, n \in \mathbb{Z}, (l+m)+n = l+(m+n)=l+m+n</math> (asociatividad).

# <math>\forall m, n \in \mathbb{Z}, m+n = n+m</math> (conmutatividad).

* Además, para las operaciones <math>+</math> y <math>\cdot</math> combinadas tendremos una propieadadpropiedad más: <math>(F,+,\cdot)</math> satisface la propiedad distributiva:

'''Definición 3.2. Construcción de los números naturales.''' El conjuto vacío es equipotente con sigoconsigo mismo. Además, todo conjunto de un elemento ha de ser equipotente con el segundo elemento de la sucesión. De la misma forma todo conjunto de dos elementos es equipotente con el tercer elemento de la sucesión. Y así sucesivamente. Por lo tanto, los conceptos abstractos de uno, dos, tres, ..., representan la propiedad común a todos los conjuntos coordinables con algún elemento de la sucesión fundamental (a partir de su segundo elemento) y por lo tanto coordinables entre sí. Así pues, un número natural es un concepto abstracto que representa cierta propiedad común a todos los conjuntos coordinables entre sí y que no son el conjunto vacío. A los números naturales los denotamos como <math>\mathbb{N} := \{ 1, 2, 3 , 4, 5, \ldots \},</math> donde el elemento <math>i</math>-ésimo representa a todos los conjuntos equipotentes con el elemento <math>(i+1)</math>-ésimo de la sucesión, es decir, los números naturales son una medida de la cantidad de elementos de un conjunto finito dado, al compararlo con su respectivo conjunto equipotente de la sucesión fundamental. También podemos definir una extensión de los números naturales, dada por <math>\mathbb{N}_0 := \{0,1,2,3,4,5,\ldots\} = \mathbb{N} \cup \{0\},</math>donde el número cero, simbolizado como <math>0</math>, representa al conjunto vacío, i.e. es una medida del conjunto sin elemetos, una medida de la "nada".

# El conjunto de todos los leones de Villa Fantasía (<math>L </math>) es vacío, ya que en Villa Fantasía no tiene leones: <math>L = \{ \} \equiv:= \phi \rightarrow </math>#<math>L = 0 </math>.