Diferencia entre revisiones de «Precálculo/Introducción»
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Línea 168:
'''Definición 2.6. Conjuntos finitos e infinitos.''' Un conjunto es finito cuando consta de <math>n</math> elementos diferentes, siendo <math>n</math> un número natural o el cero: <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. En cas contrario se dice que dicho conjunto es infinito.
'''Definición 2.7. Subconjuntos y superconjuntos:''' Se dice que un conjunto <math>A</math> es subconjunto de un conjunto <math>B</math> si todo elemento de <math>A</math> pertenece a <math>B</math>, o en notación matemática: <math>A \subset B \leftrightarrow \forall x \in A \rightarrow x \in B</math> y se leé (A es subconjunto de B ó A está contenido en B); y en ese caso se dice que <math>B</math> es superconjunto de <math>A</math>, ó <math>B \supset A</math> (se leé: B es superconjunto de A"), donde los símbolos <math>\subset</math> y <math>\supset</math> son los símbolos de subconjunto y superconjunto respectivamente.
'''Definición 2.8. Familias o clases.''' A los conjuntos cuyos elementos son a su vez conjuntos los llamaremos familias o clases, lo cual se expresa como <math>A = \{ B_i \},</math> donde <math>A</math> es un conjunto cuyos elementos son los conjuntos <math>B_i</math>.
Línea 191:
'''Proposición 2.2. Definición equivalente de igualdad de conjuntos.''' Una vez definidos los subconjuntos podemos establecer una definición equivalente para la igualdad de conjuntos como <math>A = B</math> solo si <math>A \subset B</math> y <math>B \subset A</math>.
'''Demostración:''' Como la proposición implica una bicondicional (<math>A = B \leftrightarrow A \subset B \and B \subset A</math>), tenemos que demostrar primero en un sentido y después en el otro, es decir, primero demostraremos que <math>A = B \rightarrow A \subset B \and B \subset A</math> y luego deberemos demostrar que <math>A \subset B \and B \subset A \rightarrow A = B</math>.
<u>Primera parte:</u> Hipótesis: <math>A = B</math>. Por demostrar: <math>A \subset B \and B \subset A</math>
Línea 202 ⟶ 200:
<u>Demostración:</u>
# Como <math>A \subset B</math> (por hipótesis), tenemos que <math>\forall a \in A \rightarrow a \in B</math> (debido a la '''definición 2.
# De igual forma, como <math>B \subset A</math>, entonces <math>\forall a \in B \rightarrow a \in A</math>.
# Por lo tanto, de 1. y 2. debido a la '''definición 2.5.''' vemos que <math>A = B</math>. <math>\blacksquare</math>
'''Proposición 2.3. Propiedad transitiva.''' Si <math>A \subset B</math> y <math>B \subset C</math> entonces <math>A \subset C</math>.
'''Ejemplo 2.6.''' Tomemos al conjunto de todos los animales como nuestro universo (el reino animalia en biología). Entonces el conjunto de todos los leones es un subconjunto del conjunto de todos los felinos. A su vez el conjunto de todos los felinos es un subconjunto del conjunto de todos los mamíferos. EN consecuencia podemos afirmar que el conjunto de todos los leones es un subconjunto del conjunto de todos los mamíferos.
=== Operaciones con conjutos. ===
Línea 225:
<math>A^c = \{ x : x \not \in A \} = U \setminus A</math>.
'''Ejemplo 2.7.''' Sea nuestro universo el conjunto de todos los animales de Villa Fantasía del ejemplo 2.1. Entonces tendremos lo siguiente:
# <math>\{ x:</math> x es un mamifero<math>\} \cup \{y: y</math> es un ave<math>\} = U,</math> es decir, el conjunto universal de todos los animales de Villa Fantasía.
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'''Proposición 1.4. Leyes del álgebra de conjuntos.''' Los conjuntos cumplen con las siguientes leyes.
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