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=== Métodos de Control Clásico ===
-Transformada de Laplace
La Transformada de Laplace de una función matemática f(t) definida para todos los números reales t ≥ 0 es la función F(s), definida por:
F ( s ) = L { f ( t ) } = ∫ 0 − ∞ e − s t f ( t ) d t . {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.} {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:
F B ( s ) = { L f } ( s ) = ∫ − ∞ ∞ e − s t f ( t ) d t . {\displaystyle F_{B}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f\right\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.} {\displaystyle F_{B}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f\right\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}
La transformada de Laplace F(s) tipicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
Gracias a la transformada de Laplace se pueden resolver muchos circuitos (siempre que sean "Laplace-transformables"), los cuales son muy difíciles de resolver en el dominio del tiempo. Un ejemplo de esto son los circuitos con múltiples inductancias y condensadores, ya que por cada uno de estos componentes que se agregue, la ecuación resultante es una ecuación diferencial de mayor orden. Al transformar este tipo de circuitos al dominio de Laplace las ecuaciones se simplifican considerablemente y es posible resolverlas en ese dominio, para después llevarlas al dominio del tiempo resueltas.
-Fourier
Dada una función matemática f ( x ) {\displaystyle f(x)} {\displaystyle f(x)} en el "dominio del tiempo", se denomina transformada de Fourier de f {\displaystyle f} f a la función f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} {\displaystyle {\hat {f}}} definida por
f ^ ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x , {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx,} {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx,}
la cual está definida para una función integrable f {\displaystyle f} f tal que
∫ − ∞ ∞ | f ( x ) | d x < ∞ . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|dx<\infty .} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|dx<\infty .}
Ésta se utiliza para pasar al "dominio de la frecuencia" para obtener información que no es evidente en el dominio del tiempo.
La transformada f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} {\displaystyle {\hat {f}}} es una función continua y acotada. Si f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} {\displaystyle {\hat {f}}} también satisface ∫ − ∞ ∞ | f ^ ( ξ ) | d ξ < ∞ , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|d\xi <\infty ,} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|d\xi <\infty ,} la transformada inversa de Fourier está dada por:
f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ^ ( ξ ) e 2 π i ξ x d ξ {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi i\xi x}d\xi } {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi i\xi x}d\xi }.
Debido a las propiedades
d f d x ^ ( ξ ) = 2 π i ξ f ^ ( ξ ) y x f ^ ( ξ ) = − 1 2 π i d d ξ f ^ ( ξ ) , {\displaystyle {\widehat {\frac {df}{dx}}}(\xi )=2\pi i\xi {\hat {f}}(\xi )\quad {\mbox{ y }}\quad {\widehat {xf}}(\xi )=-{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {d}{d\xi }}{\hat {f}}(\xi ),} {\displaystyle {\widehat {\frac {df}{dx}}}(\xi )=2\pi i\xi {\hat {f}}(\xi )\quad {\mbox{ y }}\quad {\widehat {xf}}(\xi )=-{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {d}{d\xi }}{\hat {f}}(\xi ),}
=== Métodos de Control Moderno ===
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