Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 068c»
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Línea 356:
:<math> \textstyle \sigma_m = \frac{2 \cdot 10^{3-1} + 2 \cdot 10^{3-2} + 5 \cdot 10^{3-3}}{ 10^3} = </math><math> \textstyle \frac{2 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 5 \cdot 1 }{1000} = </math><math> \textstyle \frac{225}{1000} </math>,
:also dasselbe, was wir, gleichsam dem Naturverstand folgend, erhielten. Unsere Formel hat aber den ungeheuren Vorteil, daß sie allgemein für jedes Stellcnwertsystem gilt und dadurch das genaue Gestallbild der Angelegenheit entschleiert.
:Für die Rückverwandlung
:<math> \sigma_r = \frac{ \sum_{ \varrho=1}^r c_{\varrho} g^{r-\varrho} }{g^r - 1} </math>
:was nichts anderes bedeutet, als daß man die Stellen der Bruchperiode im Zähler als ganze Zahl anschreiben muß, während im Nenner soviel Neuner zu setzen sind, als im Zähler Ziffern stehen. Diese Erläuterung ist selbstverständlich nur für das Dezimalsystem gedacht.
:Wenn ich also etwa <math> 0{,}\overline 3 </math> zurückzuverwandeln hätte, schreibe ich einfach <math> \textstyle \frac{3}{9} </math> und erhalte sofort <math> \textstyle \frac{1}{3} </math>. Ebenso bei <math> 0{,}\overline 6 </math>, was <math> \textstyle \frac{6}{9} </math> also <math> \textstyle \frac{2}{3} </math> ergibt. Der reinperiodische Bruch 0,076923 müßte <math> \textstyle \frac{76923}{999999} </math> angeschrieben werden, was nach Kürzung <math> \textstyle \frac{1}{13} </math> liefert. Allerdings müssen wir mit unserer „Zimmermannsregel“ etwas vorsichtig sein, wenn wir nicht durch die strenge Formel kontrollieren.
:Beginnt nämlich die Periode mit einer Null oder mit mehreren Nullen, dann sind die Nullen zwar im Zähler nicht zu schreiben, da wir ja ganze Zahlen nicht mit 0 beginnen lassen dürfen. Wohl aber sind diese „Nullkoeffizienten“ sorgfältig für die Zahl der Neuner zu beachten, die in den Nenner kommen. Wir haben, da die Periode einschließlich der Null sechsstellig ist, in den Nenner auch 6 Neuner gesetzt, obgleich der Zähler nach Weglassung der Null nur fünf Stellen behielt.
:Die Rückverwandlung gemischtperiodischer Brüche ist eine Art von Zusammensetzung aus den beiden bisher besprochenen Verfahren. Wollte ich für das Zehnersystem wieder die „Zimmermannsregel“ geben, so müßte ich fordern: „Setze in den Zähler zuerst alle Stellen des Dezimalbruches (also sowohl die nicht periodischen als die Stellen der ersten Periode) als ganze Zahl. Von dieser Zahl subtrahiere die, ebenfalls als ganze Zahl geschriebenen, nicht- oder vorperiodischen Stellen. Und stelle hierauf soviel Neuner in den Nenner, als die Periode Stellen hat. An diese Neuner aber hänge noch soviel Nullen an, als die Stellenanzahl der vorperiodischen Ziffern beträgt!“
:Hätte ich nach dieser Regel etwa <math>= 0{,}2{\overline {27}}\;{\overline {27}}\;{\overline {27}} \dots</math> zu behandeln, so müßte ich ansetzen:
:<math> \textstyle \sigma (m,r) = \frac{227-2}{990} = \frac{225}{990} =</math><math> \textstyle \frac{45}{198} =</math><math> \textstyle \frac{5}{22} </math>.
:Wie man sieht, erhält man durch all unsere Rückverwandlungsanleitungen in der Regel unreduzierte (ungekürzte) Brüche, die wir auf die endgültige Form <math> \textstyle \frac{p}{q} </math> (wobei ''p'' und ''q'' teilerfremd) bringen müssen. Das ist aber eine harmlose Aufgabe, die eigentlich jeder Mittelschüler der untersten Klassen anstandslos muß bewältigen können.
:Natürlich gibt es auch für diesen dritten und letzten Fall der „Rückverwandlung“ einen eleganten allgemeinen Befehl. Er lautet:
???
rn+r m 2} c,.gm+r- «(m,r) = -±- 1 gm(gr-l)
wobei ''m'' die Anzahl der vorperiodischen, ''r'' die Anzahl der periodischen Stellen, ''g'' die Grundzahl des Systems, ''c'' den jeweiligen indexmäßig zugeordneten Koeffizienten bedeutet. Das <math> \nu </math> ist die „laufende“ Zahl des ersten, das <math> \mu </math> die „laufende“ Zahl des zweiten Summationsbefehles, deren untere und obere Grenzen bei den Summationssymbolen stehen.
???
Wir beherrschen jetzt das ganze Reich der Systembrüche und sind imstande, willkürlich in jedem Ziffernsystem einen beliebigen Systembruch, der überhaupt rückverwandelbar ist, anzuschreiben und ihn in einen reduzierten gemeinen Bruch zu überführen. Schreiben wir etwa dezimal 0*23471 . .. ., dann erhalten wir nach der letzten, nur scheinbar monströsen Formel: _ (-2 • 105-' + 3 • 105-s + 4 • 105-1 + 7 • 101-1+ (2,3) +1 • 105-8) - (2- lO'-' + S- 10ä-8) _ IO2 (103 — I) 23471 — 23 _ 23471 - 23 23448 1954 100-999 99900 99900 8325
Wie man an diesem Beispiel sieht, kann ein verhältnismäßig einfach erscheinender gemischtperiodischer Bruch einem sehr komplizierten gemeinen Bruch entsprechen. Nun blicken wir schon auf große Leistungen zurück. Denn uns ist jetzt das Gebiet der ganzen, der ge
*) Siehe „Zimmermannsregel“!
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brochenen und der irrationalen Zahlen bekannt. All dies nicht nur dem absoluten Wert nach. Denn wir kennen auch positive und negative Zahlen. Und alle diese Zahlen wieder in sämtlichen möglichen Ziffernsystemen. Noch mehr: Wir haben uns mit allgemeinen Zahlen und da wieder mit konstanten und unbekannten allgemeinen Zahlen befaßt. Da wir außerdem auch den Algorithmus der Gleichung mit einer Unbekannten und den der sogenannten diophantischen Gleichung wenigstens dem Wesen nach erforscht haben, sind wir reif, uns der größten Aufgabe der Mathematik zuzuwenden, der Lehre von den Funktionen. Hier auch betreten wir nicht mehr verschleiert, sondern offen und freudig den eigentlichen Boden der höheren Mathematik und wieder leuchtet uns der Geist des großen Leibniz voran. Denn er war es eigentlich, der in den Neunzigerjahren des 17. Saeculums den Funktionsbegriff in seiner Tiefe und Allgemeinheit erfaßte und der diesem Algorithmus den Namen gab. Und wir pflichten Oswald Spengler bei, wenn er die Funktion als die faustische oder abendländische Zahl bezeichnet. Denn eben dieses „Faustische“ der höheren Mathematik ist es, was sie so bunt, so abenteuerreich, so aufregend — und dabei im tiefsten Grunde so leicht macht. Wir kündigen es an dieser Stelle im vollsten Bewußtsein des Umstandes an, daß wir diese Behauptung werden durch die Tat beweisen müssen: Alles, was noch in diesem Buche folgt, ist leichter als das Bisherige! Wir werden von nun an viel sprechen, viel erklären, viel gemeinsam diskutieren. Wir werden aber nicht mehr mühselig rechnen und tüfteln, sondern in mathematischer Höhenluft uns an den kühnen Kunstgriffen, bizarren Parodoxien und überraschenden, schier unfaßbaren Lösungen erfreuen.
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Achtzehntes Kapitel
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