Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 068c»
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:Bei <math> \textstyle \frac{3}{26} = 0{,}01\overline{153846}\;\overline{153846} </math> ist die vorperiodische Gruppe einstellig, die periodische sechsstellig.
:Bei <math> 0{,}26\overline{387} </math> endlich (was als gemeiner Bruch <math> \textstyle \frac{2929}{11.100} </math> ergäbe) ist die vorpcriodische Gruppe zweistellig, also ebenfalls mehrstellig.
:Eine weitere Art der Zusammensetzung des Divisors oder Nenners gibt es aber nicht. Wir sind also, ohne uns in die schwierige Lehre von den Systembrüchen weiter vertiefen zu können, gleichwohl berechtigt, festzustellen, daß die Verwandlung von gemeinen Brüchen in Systembrüche (dadurch auch die Division zweier Zahlen) niemals etwas anderes liefern kann als einen endlichen Systembruch, einen reinperiodischen Systeinbrueh oder einen gemischtperiodischen Systembruch.
:Eine irrationale Zahl, das heißt ein Systembruch, der ohne Regel und ohne oder mit einem anderen als dem bisher geschilderten Bildungsgesetz der reinperiodischen oder gemischtpcriodischen Brüche ins Unendliche läuft, ist als Ergebnis einer Division undenkbar. Er kann nur aus Wurzeloperalionen (Operationen mit gebrochenen Potenzexponenten) oder aus unendlichen Summierungen von gewissen fallenden Potenzreihen mit negativem Potenzanzeiger oder aus anderen Reihen von fallenden Brüchen (etwa mit steigenden Fakultäten im Nenner) hervorgehen.
:Wir sind also sicher, in jedem Bruch und in jeder Division rationaler Zahlen als Resultat einer Ausrechnung eine rationale Zahl zu erhalten. <math> \textstyle \frac{p}{q} = r</math> (rationale Zahl), wie immer ''p'' und ''q'' aussehen mögen, ob sie nun ganze, gebrochene, positive und negative Zahlen sind. Nur irrational dürfen weder ''q'' noch ''p'' sein.
:Wenn dem aber so ist, dann muß es auch möglich sein, jeden endlichen, jeden reinperiodisch-uncndlichen und jeden gemischtpcriodisch-unendlichcn Systembruch in eine rationale Zahl, einen gemeinen Bruch der reduzierten Form <math> \textstyle \frac{p}{q} </math> zurückzuverwandeln. Einen unendlichen Systembruch mit einem nichtperiodischcn Bildungsgesetz oder einen unendlichen Systembruch ohne jedes Bildungsgesetz dagegen werden wir niemals rückverwandeln können, da es sich dabei ja um irrationale Zahlen handelt, und es sich im gegenteiligen Falle ergeben würde, daß eine irrationale Zahl in eine rationale verwandelbar ist.
:Zugleich aber wird diese „Rückverwandlung“ eine taugliche Probe auf unsere bisherigen Behauptungen sein. Nur können wir es uns vorläufig noch gar nicht recht vorstellen, wie es möglich sein soll, unendliche, wenn auch periodische Brüche rechnerisch anzupacken. Wir wissen zwar, daß <math> \textstyle \frac{1}{3} </math> gleich ist 0,333333... (periodisch ins Unendliche), wenn wir aber nur 0,333333333... vor uns hätten, wüßten wir nicht, wie wir daraus einen gemeinen Bruch machen sollen. Wenigstens nicht ohne scharfe und tiefe Überlegungen.
:Am einfachsten ist es wohl, einen endlichen Dezimalbruch zurückzuverwandeln. Etwa 0,225. Ich brauche ihn bloß auszusprechen, als gemeinen Bruch zu schreiben und erhalte das Resultat. Also <math> \textstyle 0,225 = \frac{225}{1000} </math>, das aber ist, durch 25 gekürzt, nichts anderes als die „reduzierte Form <math> \textstyle \frac{9}{40} </math>“, die sich nicht weiter reduzieren läßt. Will ich unsere Regel dagegen streng wissenschaftlich schreiben, dann setze ich an:
:<math> \sigma_m = \frac{\sum_{\mu=1}^m c{mu} g^{m-\mu} }{g^m} </math>
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▲:Eine weitere Art der Zusammensetzung des Divisors oder Nenners gibt es aber nicht. Wir sind also, ohne uns in die schwierige Lehre von den Systembrüchen weiter vertiefen zu können, gleichwohl berechtigt, festzustellen, daß die Verwandlung von gemeinen Brüchen in Systembrüche (dadurch auch die Division zweier Zahlen) niemals etwas anderes liefern kann als einen endlichen Systembruch, einen reinperiodischen Systeinbrueh oder einen gemischtperiodischen Systembruch. Eine irrationale Zahl, das heißt ein Systembruch, der ohne Regel und ohne oder mit einem anderen als dem bisher geschilderten Bildungsgesetz der reinperiodischen oder gemischtpcriodischen Brüche ins Unendliche läuft, ist als Ergebnis einer Division undenkbar. Er kann nur aus Wurzeloperalionen (Operationen mit gebrochenen Potenzexponenten) oder aus unendlichen Summierungen von gewissen fallenden Potenzreihen mit negativem Potenzanzeiger oder aus anderen Reihen
▲ich unsere Regel dagegen streng wissenschaftlich schreiben, dann setze ich an: m 2? c, Gm „gm-ii gm Dabei ist das fx (das kleine griechische „mi“) die „laufende Zahl“, c ist der jeweilige Koeffizient (bei uns also 2, 2, 5) und g ist die Grundzahl des Systems (bei uns 10). Das m bedeutet die Stellenzahl des endlichen Dezimalbruches (bei uns 3). Wir hätten also einzusetzen _2-103-1+2-103-!!+5-IQ33 2-100 + 2-10+5-1 _ 0m~ 103 ~ 1000 ~ _ 225 1000' also dasselbe, was wir, gleichsam dem Naturverstand folgend, erhielten. Unsere Formel hat aber den ungeheuren Vorteil, daß sie allgemein für jedes Stellcnwertsystem gilt und dadurch das genaue Gestallbild der Angelegenheit entschleiert. Für die Rückverwandlung reinperiodischcr Brüche in reduzierte gemeine Brüche benützen wir die Formel *): r 2Pc0{?-<>
was nichts anderes bedeutet, als daß man die Stellen der Bruchperiode im Zähler als ganze Zahl anschreiben muß, während im Nenner soviel Neuner zu setzen sind, als im Zähler Ziffern stehen. Diese Erläuterung ist selbstverständlich nur für das Dezimalsystem gedacht. Wenn ich also etwa 0*3 zurückzuverwandcln hätte, schreibe ich einfach und erhalte sofort -g-. Ebenso bei 0-6, was also |- ergibt. Der reinperiodische Bruch ') Die Ableitung der Rückverwandlungsformeln ist für unsere Zwecke zu langwierig.
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