Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Acciones de Grupos»
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Línea 124:
Sean <math>X</math> un <math>G</math>-conjunto, <math>x,</math> <math>y</math> elementos de <math>X,</math> y <math>z</math> un elemento en las órbitas de <math>x</math> y <math>y.</math> Entonces, podremos hallar <math>g,</math> <math>g'</math> en <math>G</math> tales que <math>z = gx = g'y.</math> Por lo que, <math>x = g^{-1}g'y;</math> lo que implica que <math>x</math> está en la órbita de <math>y</math> y viceversa. Por lo tanto, las órbitas o son iguales o no se intersecan. Es decir, las órbitas de la acción de <math>G</math> definen una partición de <math>X.</math> En otras palabras:
<b>Proposición 2. </b> <i>Sea <math>X</math> un <math>G</math>
</i>
Línea 136:
La función estará bien definida, ya que si <math>g'=gh,</math> se tendría que <math>g'x = (gh)x = g(hx) = gx.</math> Además <math>\phi(eH)=x,</math> y <math>\phi(g' (gH)) = \phi((g'g)H)= (g'g)x = g'(gx) g' \phi(gH);</math> Es decir, <math>\phi</math> es un <math>G</math>-morfismo. Es decir, que hemos probado la siguiente proposición.
<b>Proposición 3. </b> <i>Sea <math>X</math> un <math>G</math>-conjunto, <math>H</math> un subgrupo de <math>G.</math> y un <math>G</math>-mor\-fismo <math>\phi</math> de <math>G/H</math> en <math>X</math> tal que <math>\phi(eH)=
<b>Corolario 3.1. </b> <i> Sea <math>G</math> un grupo finito que actúa en el conjunto finito <math>X.</math> Entonces,
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