Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Acciones de Grupos»
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== Los Grupos Geométricos ==
{{Marco|El apéndice [[../Grupos Geométricos|Los Grupos Geométricos]] contiene definiciones, nociones y teoremas relacionados con la Geometría. En particular, de los grupos asociados a las nociones geométricas.
}}
Línea 277:
<li> Probar que el producto de una traslación por una simetría central es una simetría central.
<li> Si <math>C </math> es el origen, <math>s_C </math> es lineal. Hallar la correspondiente matriz.
</ol>
</ol>
== Representación Lineal de Grupos ==
{{Caja|Esta sección requiere un conocimiento de nociones Básicas de Álgebra Lineal.}}
El objetivo de la sección es ver como podemos obtener para cualquier grupo, un grupo de matrices isomorfo. Podemos considerarlo tanto como una generalización o una concretization del teorema de Cayley por grupos de permutaciones, dependiendo de la familiaridad con el Álgebra Lineal. La teoría de las representaciones lineales iniciadas a fines del siglo XIX por Frobenius ha sido, es y continuará siendo un área activa, ya que permite un muy buen entendimiento de los grupos.
Sea <math>E</math> un espacio vectorial de dimensión <math>n</math>. Lo que significa que hay una base de <math>n</math> vectores en <math>E</math>, es decir un conjunto <math>\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> tal que cada vector <math>x</math> de <math>E</math> puede escribirse de una ''única manera como
<center><math>x = \alpha_1e_1 + \dots + \alpha_n e_n.</math></center>
Cada transformación lineal de <math>E</math> en si mismo, tiene asociada una matriz, cuyas columnas son las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base. Las transformaciones lineales biyectivas (isomorfismos lineales) tiene asociadas matrices <math>n \times n</math> invertibles, que determinan un grupo, el grupo lineal de <math>E</math>, <math>\GL_n(k)</math>
{{DefRht|Representación Lineal| Sea <math>E</math> un espacio vectorial sobre un cuerpo cualquiera <math>k</math>. Sea <math>G</math> un grupo. Una representación de <math>G</math> en <math>E</math> es un homomorfismo de grupos
<center><math>\rho: G \flecha \GL_n(K).</math></center>
}}
Tal homomorfismo define una acción de <math>G</math> en <math>E</math> por
<center><math>g\cdot x = \rho(g)(x).</math></center>
Cada grupo <math>G</math> tiene varias representaciones lineales posibles, que pueden determinar (pero no siempre al grupo) , pero que usualmente proveen valiosa información sobre el grupo. A nosotros nos interesara una representación en particular: la representación regular, que definiremos a continuación.
Sea <math>G =\{g_1=e, g_2, \ldots , g_n\}</math>. Asociaremos con el grupo <math>G</math> un espacio vectorial sobre un cuerpo <math>K</math> (que puede ser los Reales, los Complejos u otro cualquiera) denotado por <math>k[G]</math> y formado por todas las expresiones
{{Eqn|<math>\alpha_1 g_1 + \dots \alpha_n g_n.</math>}}
Se define una suma y una multiplicación por escalares de modo que <math>G</math> es una base de <math>k[G]</math>, es decir si <math>x= \sum_i \alpha_i g_i <math> y <math>y = \sum_i = \beta_i g_i</math>
<center><math>\begin{array}{rcl}
x + y &:=& \sum_i(\alpha_i + \beta_i) g_i \\
\alpha x &:=& \sum_i(\alpha \alpha_i) g_i
\end{array}</math></center>
Además, podemos definir una multiplicación en <math>k[G]</math> usando la multiplicación del grupo
<center><math>x y := \sum_{i,j} \alpha_i \beta_j g_i * g_j,</math></center>
,donde <math>*</math> es la multiplicación del grupo.
Esta multiplicación provee a <math>k[G]</math> con una estructura de
algebra (anillo con operaciones compatibles con la multiplicación por escalar.
Para cada <math>g</math> en <math>G</math> la multiplicación <math>g</math> produce una transformación lineal <math>L(g)</math> de <math>k[G]</math>. Además, <math>L(gh) = L(g)L(h)</math> es decir que tenemos una representación del grupo <math>G</math> por las matrices de la forma <math>L(g)</math>. Es fácil verifica que la correspondencia <math>g \mapsto L_g</math> es inyectiva. Esdecir que <math>G</math> es isomorfo a un grupo de matrices, subgrupo de del grupo de isomorfismos lineales de <math>k[G]</math>.
La matriz de cada <math>L(g)</math> tiene una forma peculiar. En efecto, como su efecto en la base <math>G</math> es una multiplicación por la izquierda en <math>G</math> es una permutación de <math>G</math>. Luego, la matriz
<center><math>L(g) = \begin{bmatrix} gg_1 & gg_2 & \dots & g g_n\end{bmatrix}.</math></center>
Como <math>gg_i</math> es un elemento de <math>G</math> digamos que <math>gg_i =g_j</math>, la <math>i</math>--ésima columna de <math>L(g)</math>, correspondiente a las coordenadas de <math>gg_i</math>, tiene un 0 en cada posición, excepto en la <math>j</math>--ésima fila donde aparece un 1. (En otras palabras, las matrices <math>L(g)</math> tienen como columnas permutaciones de las columnas de la matrix identidad.
{{Ejmpl|Ejemplo}}
Sea <math>G = \textsf{C}_4 = \{g_1 =e, g_2 = a, g_3= a_2, g_4 = a^3\}</math>. Entonces,
<center><math>L(e) = \begin{bmatrix} 1& 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad
L(a) = \begin{bmatrix} 0& 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix},</math></center>
<center><math>L(a^2) = \begin{bmatrix} 0& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad
L(a^3) = \begin{bmatrix} 0& 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.</math></center>
<hr>
Tenemos el siguiente teorema.
<b>Teorema. </b><i> Cada grupo finito es isomorfo a un grupo de matrices.
</i><hr>
=== Ejercicios ===
<ol>
<li> Hallar el grupo de matrices correspondientes a la representación regular del grupo de Klein y aquella de <math>\textsf{S}_3.</math>
<li> Sea $G=\textsf{D_8} = \langle a, b | a^4 = b^2 = e, ba = a^3b\rangle$.
Probar que la asignación
{{Eqn|<math> a \mapsto \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}</math> y
<math> b \mapsto \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}</math>}}
define una representación de $\taxtsf{D}=8$.
</ol>
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== Notas ==
[[Categoría:Álgebra Abstracta]]
[[Categoría:Acciones de Grupos]]
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