Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Homomorfismos»
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Recordemos que un isomorfismo de grupos es un homomorfismo biyectivo y que
<math> G \cong G'</math> significa que los grupos son isomorfos, es decir que
hay un isomorfismo de G en G'.
H</math> un isomorfismo y <math>g: H \longrightarrow G</math> es la inversa▼
función inversa de un isomorfismo es también un isomorfismo. <li> Si tenemos▼
isomorfismos <math>f:G\longrightarrow H</math> y <math>g:H \longrightarrow▼
es un isomorfismo. <hr> Al pasar, hemos probado la siguiente proposición.▼
Notemos que la relación de isomorfismo entre grupos es reflexiva, simétrica y transitiva.
<b>Proposición. (Propiedades de Isomorfismos)</b> <i> <ol type = "a"> <li> La▼
<ul>
▲<li> Si <math>f: G \longrightarrow H</math> un isomorfismo y <math>g: H \longrightarrow G</math> es la inversa de ''f'' como función tenemos que<br />
isomorfismos es un isomorfismo.</i> </ol> <hr>▼
para todo <i>x' = f(x), y' = f(y)</i> que <i>g(x'y') = g(f(x)f(y)) = g(f(xy))= xy = g(x') g(y')</i>. Es decir que la función inversa de un isomorfismo es también un isomorfismo. <li> Si tenemos
▲isomorfismos <math>f:G\longrightarrow H</math> y <math>g:H \longrightarrow K</math>, entonces su composición es un homomorfismo biyectivo, por lo que es un isomorfismo.
<hr>
<ol type = "a">
<hr>
<b>Observaciones. </b> El logaritmo fue el primer ejemplo conocido de un
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que decimos que hay un único grupo con un elemento.
{{Ejmpl|Clasificación de los grupos de orden 2}}
Hay un único grupo de orden 2, excepto por isomorfismos. Vimos este resultado, anteriormente, analizando las posibilidades para el
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más adelante.
{{Ejmpl|Dos grupos de orden 4 que no son isomorfos}}
Los grupos cíclicos de orden 4, <b>C<sub>4</sub></b> y <b>K</b> (grupo de Klein) vistos a propósito
de las tablas de grupo en el capítulo anterior, no son isomorfos. En efecto, en
C<sub>4</sub> hay, por definición de grupo cíclico un elemento de orden 4,
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<math>f(a^k) = f(a^j)</math>. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que
<math>j \le k</math>, por lo que tenemos que $0 \le j \le k <n$. Se tiene que
<math>f(a^k) = f(a^j) \implies b^k=b^j \implies b^{k-j}=e'</math>> Si <math> k
\neq j</math>, <math>k-j</math> sería un número positivo menor que
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el menor entero positivo con la propiedad de que <math>a^n=e'.</math>. Luego
<math>k=j</math>, o sea que <math>f</math> es inyectiva. Lo que concluye la
prueba. {{QED}} </ul>
<hr> ==== Isomorfismo de Grupos Simétricos ====
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