Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Acciones de Grupos»
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== G-conjuntos ==
<div style="background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;" class="theorem">
<center><math>\phi: G \times X \longrightarrow X</math></center>
tal que, simbolizando <math>g \cdot x</math> a la imagen por <math>\phi</math> de la pareja <math>(g,x),</math> se cumpla que:
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</ol>
En tal situación, decimos que: <math>\phi</math> es una <b>acción</b> de <math>G</math> sobre <math>X</math> o, también, que <math>X</math> es un <b>G-conjunto</b>.
</div>
{{Ejmpl|Ejemplos}}
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La última correspondencia nos dice también que si <math>X</math> es un <math>G</math>-conjunto y hay un homomorfismo de grupos <math>\rho : G' \longrightarrow G,</math> <math>X</math> es también un <math>G'</math>- conjunto, vía la composición de homomorfismos. En particular, cuando <math>H</math> sea una subgrupo de <math>G,</math> cada <math>G</math>- conjunto tendrá una estructura de <math>H</math>-conjunto, vía la inclusión.
<div style="background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;" class="theorem">
<span style="font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;">Definición. (Órbita, Grupo de isotropía)</span>
Sean <math>X</math> un <math>G</math>-conjunto y <math>x</math> un elemento de <math>X.</math>
<ol type="i">
<li> Llamamos
<li> Cuando sólo haya una órbita para la acción del grupo, decimos que el grupo actúa
<li> Decimos que un elemento <math>g</math> de <math>G</math>
<li> Llamamos grupo de <b>isotropía</b> o <b>estabilizador</b> de <math>x</math> al subconjunto de <math>G</math> formado por todos los elementos de <math>G</math> que fijan a <math>x.</math>
<center><math>G_x := \{ g \in G : gx = x \}.</math></center>
</ol>
</div>
Es fácil verificar que <math>G_x</math> es un subgrupo de <math>G</math> (de ahí el nombre de grupo). En efecto, si <math>g</math> y <math>h</math> están en <math>G_x</math> se tiene que:
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