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Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Acciones de Grupos»

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Línea 18:
== G-conjuntos ==
 
{{DefRht|G-conjunto| Sean <math>G</math> un grupo y <math>X</math> un conjunto no vacío. Decimos que </math>G</math> actúa en <math>X</math> cuando hay una función
<center><math>\phi: G \times X \longrightarrow X</math></center>
tal que, simbolizando <math>g \cdot x</math> a la imagen por <math>\phi</math> de la pareja <math>(g,x),</math> se cumpla que:
<ol type="i">
Línea 25:
<li> <math>(gh) \cdot x = g \cdot ( h \cdot x).</math>
</ol>
En tal situación, decimos que: <math>\phi</math> es una <b>acción</b> de <math>G</math> sobre <math>X</math> o, también, que <math>X</math> es un <math><b>G-conjunto</b>.
}}
 
Línea 31:
<ol>
<li> Sea <math>X</math> un conjunto no vacío. El grupo simétrico <math>\textsf{S}_X</math> actúa de manera natural sobre <math>X,</math> mediante la acción definida por
<center><math>(\sigma, x) \mapsto \sigma(x).</math></center>
 
<li> La acción de <math>\textsf{GL}_2(\R)</math> asocia a cada matriz <math>A</math> del grupo y punto <math>p= \begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix},</math> el punto <math>Ap</math> (multiplicación de matriz por vector).
Línea 37:
<li> Cada grupo <math>G</math> actúa sobre si mismo mediante la acción definida por la operación del grupo.
<ol type="a">
<li> (Acción por la izquierda) <math>(g, x) \mapsto gx.</math>
<li> (Acción por la derecha) <math>(g,x) \mapsto xg^{-1}.</math>
</ol>
 
<li> Sea <math>G</math> un grupo. Otra acción de <math>G</math> en si mismo mediante es provista por la <i>conjugación</i>. Para cada <math>g</math> en <math>G,</math> recordemos que llamamos <i>conjugación</i> por <math>g</math> a la función de <math>G</math> en si mismo, <math>C_g,</math> tal que
<center><math>C_g(x) = g x g^{-1}.</math></center>
Es fácil verificar que la función
<center><math>(g,x) \mapsto C_g(x).</math></center>
define una acción de <math>G</math> sobre si mismo. \fin
 
<li> Sea <math>G</math> un grupo y <math>H</math> un subgrupo de <math>G.</math> Entonces <math>G</math> actúa en <math>G/H</math> mediante la acción definida por:
Línea 52:
<hr>
 
<b>Observación. </b> Asociado a <math>G</math>-conjuntos, tenemos la noción de <math>G</math>-subconjunto. Un subconjunto <math>Y</math> de un <math>G</math>-conjunto <math>X</math> es un <math>G</math>-subconjunto, ssi, para todo <math>g</math> en <math>G,</math> <math>y</math> en <math>Y,</math> <math>g \cdot y</math> está en <math>Y,</math>
<hr>
 
Línea 117:
 
La siguiente proposición es de fácil verificación:
 
<b>Proposición.</b> <i>Sea <math>\phi : X \longrightarrow Y</math> un <math>G</math>-morfismo. Entonces, el grupo de isotropía de <math>x</math> está contenido en el grupo de isotropía de <math>\phi(x).</math> Además, dichos grupos coincidirán, cuando <math>\phi</math> sea inyectiva.
</i>
Línea 127 ⟶ 128:
Sea <math>X</math> un <math>G</math>-grupo y sea <math>x</math> un elemento de <math>X.</math>
 
Sea <math>f_x : G \longrightarrow X</math> definida por <math>f_x(g) = gx.</math> Como <math>f_x(g'g) = (g'g)x = g'(gx)= g'f_x(g)</math> tendremos que <math>f_x</math> es una <math>G</math>-morfismo, cuya imagen es precisamente la órbita de <math>x.</math> Notemos que <math>gx = g'x</math> es equivalente a afirmar que <math>x = g^{-1}g'x.</math> Es decir, que <math>g^{-1}g' \in G_x.</math> Esto, a su vez, implica que las clases de equivalencia de <math>\sim_{f_x}</math> coinciden con las clases laterales izquierdas de <math>G</math> respecto a <math>G_x.</math> En particular, esto nos dice que hay una biyección entre <math>G/G_x</math> y <math>f_x(G) = G \cdot x \mbox{ (órbita de <math>x$</math>)}.</math>
 
Sea <math>H</math> un subgrupo cualquiera de <math>G,</math> entonces <math>G/H</math> es de forma natural un <math>G</math>-conjunto. Supongamos que hubiera una <math>G</math>-morfismo <math>f</math> de <math>G/H</math> en <math>X,</math> tal que <math>f(eH)=x.</math> Entonces, como el grupo de isotropía de <math>eH</math> estaría contenido en el grupo de isotropía de <math>f(x),</math> tendríamos que <math>H</math> sería un subgrupo de <math>G_x.</math> En forma recíproca, si <math>H</math> es un subgrupo de <math>G_x</math> podemos definir
<math>\phi: G/H \longrightarrow X</math> por
<center><math>\phi(gH) = gx.</math></center>
La función estará bien definida, ya que si <math>g'=gh,</math> se tendría que <math>g'x = (gh)x = g(hx) = gx.</math> Además <math>\phi(eH)=x,</math> y <math>\phi(g' (gH)) = \phi((g'g)H)= (g'g)x = g'(gx) g' \phi(gH);</math> Es decir, <math>\phi</math> es un <math>G</math>-morfismo. Es decir, que hemos probado lola siguiente proposición.
 
<b>Proposición. </b> <i>Sea <math>X</math> un <math>G</math>-conjunto, <math>H</math> un subgrupo de <math>G.</math> y un <math>G</math>-mor\-fismo <math>\phi</math> de <math>G/H</math> en <math>X</math> tal que <math>\phi(eH)=H,</math> ssi, <math>H < G_x.</math> Dicha aplicación es un <math>G</math>-isomorfismo cuando <math>H=G_x;</math> Es decir, como <math>G</math>-conjuntos son isomorfos <math>G/G_x</math> y <math>G\cdot x</math> (la órbita de <math>x$</math>). </i>
 
<b>Corolario. </b> <i> Sea <math>G</math> un grupo finito que actúa en el conjunto finito <math>X.</math> Entonces,
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