Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Anillo de Polinomios»
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Línea 322:
En primer lugar, tenemos que el grado de la suma nunca excede el grado de los sumandos, o sea que
La desigualdad puede ser estricta, por ejemplo considerar <math>g=-f</math>.
Pero, puede haber también otras circunstancias que hagan estricta a la desigualdad anterior.
Línea 333:
Con respecto a la multiplicación, tenemos que
El siguiente ejemplo muestra que la desigualdad puede ser estricta.
{{Ejmpl|Ejemplo}}
Línea 350:
Demostración: </i> Si uno de los polinomios es nulo, el resultado es trivialmente válido. Supongamos que <math>\text{gr}(f)=m</math> y <math>\text{gr}(g) = n</math> donde <math>m,n \ge 0</math>. Entonces, el término <math>(m+n)</math>--ésimo es aquel del mayor grado posible del producto. Se tiene que
<center><math>(fg)_{m+n} = \sum_{i+j=m+n} f_{i}g_{j}.</math></center>
Si <math>i<m</math>, se cumple que <math>j>n</math>, por lo que <math>g_{j}=0</math>. Igualmente, si <math>i >m</math>, entonces <math>g_{i}=0</math>. Es decir que el único posible sumando no nulo en la sumatoria anterior es <math>f_{m}g_{n}.</math>
{{QED}} </ul> <hr>
Línea 360:
{{QED}} </ul> <hr>
<b>Observación. <
Sean <math>A</math> y <math>B</math> anillos tales que <math>A</math> es un subanillo de <math>B</math>. Entonces, cada polinomio en <math>A[X]</math> puede considerarse un polinomio en <math>B[X]</math>. Por lo que siempre consideraremos que <math>A[X]</math> es un subanillo de <math>B[X]</math>.
Por ejemplo, se cumple que
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