Diferencia entre revisiones de «Mecánica clásica/Mecánica analítica/Formulación Hamiltoniana»
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empezando sección de formulación Hamiltoniana |
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se definen los momentos generalizados como
<math>p_i
Desde un punto de vista matemático, las variables <math>q_j\!</math> y <math>\dot q_j\!</math> pueden ser tratadas como independientes. Es por ello que se pueden tomar derivadas parciales con respecto a una <math>q_i\!</math> considerando las restantes <math>q_j\!</math> (''j'' distinto de ''i'') y todas las <math>\dot q_j\!</math> como constantes <ref name="Legendre Transformations and Hamilton"/>. Desde un punto de vista estrictamente matemático, el paso de la formulación Lagrangiana a la Hamiltoniana se basa en cambiar las variables <math>(q,\dot q, t)\!</math> de nuestras funciones mecánicas a <math>(q, p, t)\!</math> mediante el formalismo de las ''Transformadas de Legendre'' <ref name="Legendre Transformations and Hamilton"/>:
<math>H(q, p, t)=\dot q_i p_i - L(q,\, \dot q(q, p, t),\, t),</math>
que tiene el diferencial
<math>dH=\dot q_i dp_i - \dot p_i dq_i - \frac{\partial L}{\partial t},</math>
ya que el término <math>p_i dq_i\!</math> desaparece al realizar la ''transformada de Legendre''.
Para poder obtener H=H(q, p, t) a partir de L=L(q, \dot q, t), es decir, para poder pasar de la ''Formulación Lagrangiana'' a la ''Formulación Hamiltoniana'', es necesario hacer uso del teorema de la función implícita, que determina cuándo se podrán expresar las velocidades generalizadas en términos de los momentos generalizados
Si igualamos las derivadas segundas cruzadas de la función Hamiltoniana, se tiene un total de ''2n+1'' ecuaciones▼
<math>p_i\equiv\frac{\partial L(q_j, \dot q_j, t)}{\partial \dot q_i}\quad \longrightarrow \quad \dot q_j = \dot q_j(q_i, p_i, t).</math>
La condición que debe cumplirse es que el determinante de la matriz Hessiana de la Lagrangiana con respecto a las velocidades generalizadas sea cero
<math>det\left(\frac{\partial L(q,\dot q, t)}{\partial \dot q_i \, \partial \dot q_j}\right)=0.</math>
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<math>\begin{cases}
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<math>H=E.\!</math>
== Notas y referencias ==
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