Mecánica clásica/Mecánica analítica/Formulación Hamiltoniana

El principio variacional de HamiltonEditar

El principio de Hamilton es otra hipótesis tal que de ella se derivan las leyes de la Mecánica Clásica, sin necesidad de nada más. El principio de Hamilton sostiene que

 

Llamando

 

y definiendo   como la transformada de Legendre de la función Lagrangiana con respecto a su variable  

 

desarrollamos la expresión anterior

 

donde se ha aplicado que las variaciones no actúan sobre la variable tiempo. Por el mismo argumento, la variación entra dentro de la derivada temporal sin problemas. Aplicando esto y la regla de la derivada del producto podemos escribir el primer término como

 

Sustituyendo este término en nuestra ecuación

 

Las variaciones, en particular la de q, no dependen del tiempo por el principio variacional, por lo que el primer término se anula. Además, dado que q y p son independientes, sus variaciones también lo son. Esto implica que, para que la integral se anule siempre, sendos factores acompañando a \delta q y \delta p deben ser siempre nulos.

Así se obtienen las llamadas ecuaciones de Hamilton:

 

Es fácil de recuerdar cuál lleva el signo negativo pensando en la partícula libre. Para ella su Hamiltoniano es la energía cínética:

 

Derivando con respecto a p se obtiene

 

y dado que sabemos que para la particula libre   se induce que

 

y debe ser la otra ecuación la que incluye un signo negativo.

Otra derivación de las ecuaciones de HamiltonEditar

Una vez definida la función Lagrangiana del sistema

 

se definen los momentos generalizados como

 

El conjunto de las (q,p) es conocido como variables o coordenadas canónicas [1] (incluídos también los momentos generalizados y no solo las coordenadas generalizadas, como se podría esperar por el nombre).

Desde un punto de vista matemático, las variables   y   pueden ser tratadas como independientes. Es por ello que se pueden tomar derivadas parciales con respecto a una   considerando las restantes   (j distinto de i) y todas las   como constantes [1]. Desde un punto de vista estrictamente matemático, el paso de la formulación Lagrangiana a la Hamiltoniana se basa en cambiar las variables   de nuestras funciones mecánicas a   mediante el formalismo de las Transformadas de Legendre [1]:

 

que tiene el diferencial

 

ya que el término   desaparece al realizar la transformada de Legendre.

Para poder obtener   a partir de  , es decir, para poder pasar de la Formulación Lagrangiana a la Formulación Hamiltoniana, es necesario hacer uso del teorema de la función implícita, que determina cuándo se podrán expresar las velocidades generalizadas en términos de los momentos generalizados

 

La condición que debe cumplirse es que el determinante de la matriz Hessiana de la Lagrangiana con respecto a las velocidades generalizadas sea cero

 

Continuando con la ecuación obtenida antes, igualando las derivadas segundas cruzadas de la función Hamiltoniana, se tiene un total de 2n+1 ecuaciones

 

que se conocen como las ecuaciones canónicas de Hamilton[1]. Arreglar: Como se han presentado, parecería que dichas ecuaciones son un simple resultado matemático, cuando en realidad han de suponerse para establecer las bases de la mecánica.

La matriz simplécticaEditar

Las dos primeras ecuaciones se pueden escribir por medio de la matriz simpléctica  .

 

o de forma más compacta (usando q y p como vectores) y gradientes en vez de derivadas parciales.

 

De manera aún más compacta y agradable a la vista y a la memoria se puede escribir como

 

donde   es un vector que incluye todas nuestras coordenadas canónicas (coordenadas y momentos) de nuestro sistema y   es el operador gradiente con respecto a cada una de dichas coordenadas

 

Dicha ecuación matricial puede escribirse también para cada coordenada individualmente

 

donde en esta caso la derivada es simplemente una derivada parcial convencional. Cuando se utilizan   concretos, es natural evitar notación numérica en los subíndices y hacer referencia a las coordenadas a las que se quiere hacer referencia, ya que es más intuitivo. Por ejemplo   o simplemente  . Si se recuerdan las ecuaciones de Hamilton es inmediato dar los valores adecuados a  :

 

De esta forma recordamos fácilmente las ecuaciones de Hamilton tanto en forma matricial como coordenada a coordenada.

En el caso de un grado de libertad, se escribe simplemente:

 

La matriz simpléctica hace las ecuaciones de Hamilton muy simples de recordar, pero no solo eso, permitirá escribir y demostrar otros teoremas de forma muy corta, sin tener que abusar de los puntos suspensivos. Tan solo es un requisito el habituarse a ver las coordenadas como vectores y las derivadas como gradientes.

Conservación de la energíaEditar

Si las ligaduras de las coordenadas   no dependen del tiempo explícitamente, y las fuerzas provienen de potenciales conservativos, se cumple que

 

y su valor es igual al de la energía total del sistema

 

Notas y referenciasEditar

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Goldstein, Herbert. «The Hamilton Equations of Motion». Classical Mechanics (tercera edición edición). Addison Wesley. pp. 335.