Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 107b

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Mathematik auf Deutsch - 57

BM2801 - BM2810

BM2801

geg.: LGS

I) 3x - 2y = 8

II) 4x + y = 7

1. Lösung BM2801
Die Form der Gleichung ist OK, aber die Variable x oder die Variable y hat nicht den gleichen Koeffizienten mit umgekehrten Vorzeichen. Welche Lösung schlägst du für das Problem vor? Wir wollen unbedingt das Eliminationsverfahren anwenden.

2. Lösung BM2801
Wir sollten versuchen die y in beiden Gleichungen so hinzubiegen, dass sie zueinander passen und wir dann mit dem Eliminationsverfahren weitermachen können. Wie könnten wir das y hinbiegen?

3. Lösung BM2801
Wir sollten irgendwie das y in (II) so umformen, dass daraus ein "+2y" wird. I) 3x - 2y = 8 II) 4x + y = 7 Was müssen wir dazu tun?

4. Lösung BM2801
Wir müssen das y in (II) mit "+2" multiplizieren, damit ein "+2y" wird. I) 3x - 2y = 8 II) 4x + y = 7 Wie??? Einfach so das y mit 2 multiplizieren? Dürfen wir das denn? Ist denn das danach noch ein Gleichung?

5. Lösung BM2801
Wir müssen natürlich auf BEIDEN Seiten mit 2 multiplizieren, sonst ist es nicht erlaubt. I) 3x - 2y = 8 II) 4x + y = 7 Also los!

6. Lösung BM2801
I) 3x - 2y = 8 II) 4x + y = 7 || *2 IIa) 2 * (4x + y) = 2 * 7 IIb) 8x + 2y = 14 Leider verändern wir beim Multiplizieren auch die anderen Teile der Gleichung. Aber das ist nicht so schlimm. Hauptsache wir haben jetzt unser "+2y" und können dann beide y beim Addieren von (I) und (II) loswerden. Also los!

7. Lösung BM2801
I) 3x - 2y = 8 IIb) 8x + 2y = 14 I) 3x -2y = 8 II) 8x +2y = 14 I + II) 11x   = 22 Und bitte weiterrechnen bis die Lösungsmenge vorliegt.

8. Lösung BM2801
11x = 22 x = 2 I) 3x - 2y = 8 3*2 - 2y = 8 6 - 2y = 8 -2y = 2 y = -1 L { (2|-1) }

BM2802 - tt54 10

geg.: LGS

I) 5x - y = -11

II) 2x + 3y = -1

Bitte mit dem Eliminationsverfahren lösen!

1. Lösung BM2802
Die Form der Gleichung stimmt, aber wir haben keine Variable mit gleichem Koeffizienten und umgekehrten Vorzeichen. Am besten wir biegen uns die Gleichung (I) so hin, dass wir "-3y" erhalten. Also los!

2. Lösung BM2802
I) 5x - y = -11 || *3 Ia) 15x - 3y = -33 II) 2x + 3y = -1 Nun könne wir die Gleichungen addieren.

3. Lösung BM2802
Ia) 15x - 3y = -33 II) 2x + 3y = -1 Ia) 15x -3y = -33 II) 2x +3y = -1 Ia + II) 17x   = -34 Jetzt noch schnell x und y ausgerechnet!

4. Lösung BM2802
17x = - 34 x = - 34/17 Können wir das kürzen? 17 ist eine Primzahl, die lässt sich nicht in kleinere Faktoren zerlegen.

5. Lösung BM2802
Aber: 17*2 = 34 x = - 34/17 = - 2 I) 5x - y = -11 5 * (-2) - y = -11 -10 - y = -11 -y = -1 y = 1 L = { (-2|1) }

BM2803

I) 4x - 3y = -13

II) -3x + 2y = 9

Wie wollen wir das lösen?

1. Lösung BM2803
Die Substitutionsverfahren funktioniert nur, wenn zwei Variablen den gleichen Koeffizienten, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen haben. Was könne wir tun, damit "-3y" in (I) und "2y" in (II) in eine passenden Form umgewandelt werden können?

2. Lösung BM2803
Wir müssen "-3y" und "2y" umwandeln in "-6y" und "+6y". Also: "-3y" * 2 "2y" * 3 Wir müssen also (I) mit 2 multiplizieren, damit dort danach ein "-6y" steht. Und wie müssen (II) mit 3 multiplizieren, damit dort danach ein "+6y" steht. Der Rest ist dann wie gehabt. Also los!

3. Lösung BM2803
I) 4x - 3y = -13 || *2 Ia) 8x - 6y = -26 --- II) -3x + 2y = 9 || *3 IIa) -9x + 6y = 27 Nun addieren wir (Ia) und (IIa) in aller Ruhe.

4. Lösung BM2803
Ia) 8x - 6y = -26 IIa) -9x + 6y = 27 Ia) 8x -6y = -26 II) -9x +6y = 27 Ia + II) -x   = 1 Jetzt noch schnell x und y ausgerechnet!

5. Lösung BM2803
-x = 1 x = -1 I) 4x - 3y = -13 4 + (-1) - 3y = -13 -4 - 3y = -13 -3y = -9 y = 3 L = { (-1|3) }

BM2804

Wenn die Koeffizienten nicht passen, dann müssen wir sie passend machen, damit wir das Eliminationsverfahren (Additionsverfahren) anwenden können.

In einfachen Fällen müssen wir eine Gleichung mit "-1" multiplizieren oder mit einer ganzen Zahl.

In schwierigeren Fällen müssen wir beide Gleichungen mit einer ganzen Zahl multiplizieren.

Beispiel: "-3y" in (I) und "2y" in (II).

Womit müssen wir multiplizieren wenn wir

a) "-4y" in (I) und "-2y" in (II) haben?

b) "- 0,1 y" in (I) und "+y" in (II) haben?

c) "-9y" in (I) und "-12y" in (II) haben?

Lösung BM2804

a) "-4y" in (I) und "-2y" in (II) haben? - Antwort: Gleichung (II) * (-2); die Gleichung (I) lassen wir unverändert. b) "- 0,1 y" in (I) und "+y" in (II) haben? - Antwort: Gleichung (I) * (10); die Gleichung (II) lassen wir unverändert. c) "-9y" in (I) und "-12y" in (II) haben? - Wir suchen das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 9 und 12. 9 = 3*3; 12 = 2*2*3; kgV = 2*2*3*3 = 36. Wir müssen also (I) so multiplizieren, dass wir "-36y" erhalten und (II) so multiplizieren, dass wir "+36y" erhalten. - Antwort: Gleichung (I) * (2); Gleichung (II) * 3.

BM2805

Wiederholung: Lektion 091b - Übung BM2016

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) (Teil 1)

---

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist ein mathematischer Begriff. Sein Pendant ist der größte gemeinsame Teiler (ggT). Beide spielen unter anderem in der Bruchrechnung eine Rolle.

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen $m$ und $n$ ist die kleinste positive natürliche Zahl, die sowohl Vielfaches von $m$ als auch Vielfaches von $n$ ist.

Berechnung über die Primfaktorzerlegung:

Das kgV kann man über die Primfaktorzerlegung der beiden gegebenen Zahlen bestimmen. Beispiel:

$3528=2^{\color {Red}3}\cdot 3^{\color {Red}2}\cdot 7^{\color {Red}2}$

$3780=2^{\color {OliveGreen}2}\cdot 3^{\color {OliveGreen}3}\cdot 5^{\color {OliveGreen}1}\cdot 7^{\color {OliveGreen}1}$

Für das kgV nimmt man die Primfaktoren, die in mindestens einer der beiden Zerlegungen vorkommen, und als zugehörigen Exponenten den jeweils größeren der Ausgangsexponenten:

$\operatorname {kgV} (3528{,}3780)=2^{\color {Red}3}\cdot 3^{\color {OliveGreen}3}\cdot 5^{\color {OliveGreen}1}\cdot 7^{\color {Red}2}=52.920$

BM2806

Wiederholung:

Primfaktorzerlegung

---

Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer natürlichen Zahl $n$ als Produkt aus Primzahlen, die dann als Primfaktoren von $n$ bezeichnet werden. Diese Darstellung ist (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig und zählt zu den grundlegenden und klassischen Werkzeugen der Zahlentheorie. Sie ist Gegenstand des Fundamentalsatzes der Arithmetik („Jede natürliche Zahl kann man in Primfaktoren zerlegen. Diese Primfaktorzerlegung ist eindeutig, also für eine bestimmte Zahl nur auf eine bestimmte einzige Art möglich.“)

Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung der Zahl $n$ als Produkt ihrer Primfaktoren. Dabei ist die Reihenfolge der Primfaktorenunwichtig.

Ein Primfaktor $p$ kann mehrfach auftreten; mehrfach auftretende Primfaktoren können mittels Exponenten-Schreibweise zusammengefasst werden.

Üblicherweise werden die Primfaktoren aufsteigend geordnet.

Beispiele für Primfaktorzerlegungen

$30=2\cdot 3\cdot 5$

$37=37\$ (Primzahl)

$1001=7\cdot 11\cdot 13$

$1024=\underbrace {2\cdots 2} _{\text{10-mal}}=2^{10}$ (Zweierpotenz)

$6936=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 17\cdot 17=2^{3}\cdot 3\cdot 17^{2}$

$10000=2^{4}\cdot 5^{4}$ (Zehnerpotenz)

BM2807

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) (Teil 2)

I) 27x - 3y = -5

II) -12x + 2y = 4

Gesucht ist das kgV von 27 und 12, weil das unsere Koeffizienten von x in Gleichung (I) und (II) sind.

Wie gehen wir vor?

1. Lösung BM2807
Wir brauchen die Primfaktorzerlegung durchführen, um daraus das kgV zu errechnen. Also los!

2. Lösung BM2807
27 12 Wir zerlegen die Neun und die Zwölf in so kleine Zahlen wie möglich. Die kleinsten möglichen Zahlen sind Primzahlen. 27 = 3*3*3 12 = 2*2*3 Das müssen wir in Potenzschreibweise schreiben: $9=3\cdot 3\cdot 3=3^{\color {Red}3}$ $12=2\cdot 2\cdot 3=2^{\color {Red}2}\cdot 3^{\color {OliveGreen}1}$ Nun multiplizieren wir die Primfaktoren. Aber welche?

3. Lösung BM2807

Wir müssen jede Primzahl nehmen, die entweder bei der Zerlegung von 9 oder von 12 rauskommt. Das ist hier einfach: Wir haben die Primfaktoren 2 und 3. ABER: 2*3 reicht NICHT! Wir müssen auch die Primfaktoren mit Potenzen berücksichtigen. Was ist da im Angebot? $3^{\color {Red}3},2^{\color {Red}2},3^{\color {OliveGreen}1}$ Wir müssen nicht alle drei Faktoren multiplizieren, sondern wir nehmen ein mal die 2 (die ist nur ein mal im Angebot, da gibt es nichts auszuwählen). Aber wir müssen uns entscheiden ob wir $3^{\color {Red}3}$ oder $3^{\color {OliveGreen}1}$ als Faktor nehmen. Wir nehmen $3^{\color {Red}3}$, weil der eine höhere Potenz hat, die kleine hochgestellte Drei. Die Regle lautet: Für das kgV nimmt man die Primfaktoren, die in mindestens einer der beiden Zerlegungen vorkommen, und als zugehörigen Exponenten den jeweils größeren der Ausgangsexponenten: Die rote 3 also Exponent von $3^{\color {Red}3}$ ist größer, also die rote 1 als Exponent von $3^{\color {OliveGreen}1}$. Jetzt können wir das kgV ausrechnen: Los gehts!

4. Lösung BM2807
$9=3\cdot 3\cdot 3=3^{\color {Red}3}$ $12=2\cdot 2\cdot 3=2^{\color {Red}2}\cdot 3^{\color {OliveGreen}1}$ kgV = $3^{\color {Red}3}\cdot 2^{\color {Red}2}=27*4=108$ Und womit müssen wir nun Gleichung (I) und (II) multiplizieren, um sie addieren zu können?

5. Lösung BM2807

I) 27x - 3y = -5 Da wir aus der 27 eine 108 machen wollen, können wir kurz rechnen: 108 : 27 = 4 Also müssen wir (I) mit 4 multiplizieren: I) 27x - 3y = -5 || *4 Ia) 108x - 12y = -20 --- II) -12x + 2y = 4 Da wir aus der "-12" eine "-108" machen wollen, können wir kurz rechnen: -108 : (-12) = 9 Kopfrechnen: 10 * 12 = 120 120 - 12 = 108, also 9 * 12 = 108 II) -12x + 2y = 4 || *9 IIa) -108x + 18y = 36 Bitte die Lösung bis zum Ende ausrechnen!

6. Lösung BM2807

Ia) 108x - 12y = -20 IIa) -108x + 18y = 36 I) 108x -12y = -20 II) 108x +18y = 36 I + II)   6y = 16 $y={\tfrac {16}{6}}={\tfrac {8}{3}}$ II) -12x + 2y = 4 $-12x+2\cdot {\tfrac {8}{3}}=4$ $-12x+{\tfrac {2\cdot 8}{3}}=4$ $-12x+{\tfrac {16}{3}}=4$ $-12x=4-{\tfrac {16}{3}}$ $-12x={\tfrac {4\cdot 3}{3}}-{\tfrac {16}{3}}$ $-12x={\tfrac {12}{3}}-{\tfrac {16}{3}}$ $-12x={\tfrac {12-16}{3}}$ $-12x={\tfrac {-4}{3}}$ $-12x=-{\tfrac {4}{3}}$ || *(-1) $12x={\tfrac {4}{3}}$ || :12 $x={\tfrac {4}{3\cdot 12}}$ $x={\tfrac {4}{3\cdot 3\cdot 4}}$ $x={\tfrac {\cancel {4}}{3\cdot 3\cdot {\cancel {4}}}}$ $x={\tfrac {1}{3\cdot 3}}$ $x={\tfrac {1}{9}}$ L = { (1/9; 8/3) }

BM2808

I) 18x - 3y = -5

II) -12x + 2y = 4

Offensichtlich brauchen wir hier das kgV von 18 und 12.

Also los!

Lösung BM2808
18 = 2*9 = 2*3*3 = 2*32 12 = 2*2*3 = 22*3 kgV = 22*32 = 4*9 = 36 kleinstes gemeinsames Vielfache (kgV) = 36 Wer keine Lust zum Ausrechnen des kgV hat, der kann auch einfach 18*12 rechnen. Das ist auch ein gemeinsames Vielfaches, aber nicht das kleinste. Die nachfolgende Rechnung könnte dadurch etwas größer und komplizierter werden, aber das Ergebnis sollte das gleiche sein.

BM2809

I) 160x - 3y = -5

II) -175x + 2y = 4

Offensichtlich brauchen wir auch hier das kgV.

Also los!

Lösung BM2809
$160=2^{\color {OliveGreen}5}\cdot 5^{\color {OliveGreen}1}$ $175=5^{\color {Blue}2}\cdot 7^{\color {Blue}1},$ kgV = $2^{\color {OliveGreen}5}\cdot 5^{\color {Blue}2}\cdot 7^{\color {Blue}1}=5600$

BM2810

I) 144x - 3y = -5

II) -160x + 2y = 4

Offensichtlich brauchen wir auch hier das kgV.

Also los!

Lösung BM2810
$144=2^{\color {Red}4}\cdot 3^{\color {Red}2}$ $160=2^{\color {OliveGreen}5}\cdot 5^{\color {OliveGreen}1}$ kgV = $160=2^{\color {OliveGreen}5}\cdot 3^{\color {Red}2}\cdot 5^{\color {OliveGreen}1}=1440$

BM2811 - BM2820

BM2811

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 21 und 35?

Lösung BM2811
21 = 3*7 35 = 5*7 kgV = 3*5*7 = 105

BM2812

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 Zahlen wird nach dem gleichen Schema berechnet:

Beispiel: 6, 4 und 5

6 = 2*3

4 = 2*2

5 = 5 (das ist schon unser kleinster Primzahlfaktor, das können wir nicht weiter zerlegen)

kgV = 2*2*3*5 = 60

BM2814 - tt54 36

1. Lösung BM2805

Einsetzungsverfahren - WP

Gleichsetzungsverfahren - WP

Additionsverfahren (Mathematik) - WP

Gaußsches Eliminationsverfahren - WP

Cramersche Regel - WP

Matrizen

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

Lösung ???

„“

${\begin{aligned}60^{\circ }+20^{\circ }+\alpha &=180^{\circ }\quad \quad |\quad -60\\20^{\circ }+\alpha &=180^{\circ }-60^{\circ }\quad \quad |\quad -20\\\alpha &=180^{\circ }-60^{\circ }-20^{\circ }\\\alpha &=100^{\circ }\end{aligned}}$

BM2841 - BM2850

BM28????

Koeffizient:

Ein Koeffizient (von lat. coefficere „mitwirken“), auch Beizahl oder Vorzahl genannt, ist eine zu einem anderen rechnerischen Ausdruck als Faktor hinzugefügte Zahl oder Variable.

Einfaches Beispiel: Der Koeffizient des Terms 9x ist 9.

Induktion

Induktion (lateinisch inducere ‚herbeiführen‘, ‚veranlassen‘, ‚einführen‘) ist der abstrahierende Schluss aus beobachteten Phänomenen auf eine allgemeinere Erkenntnis, etwa einen allgemeinen Begriff oder ein Naturgesetz.

Der Ausdruck Induktion wird als Gegenbegriff zu Deduktion verwendet. Eine Deduktion schließt aus gegebenen Voraussetzungen auf einen speziellen Fall, Induktion hingegen ist der umgekehrte Weg.

Menschen laufen auf zwei Beinen (eine allgemeine Aussage). UND Peter ist ein Mensch. - Daraus schließe ich für den konkreten Fall, dass Peter auf zwei Beinen geht. Dieser Schluss (vom Allgemeinen aufs Konkrete) ist eine Deduktion.

Aus den Einzelbeobachtungen: 1. Hunde gehen auf 4 Beinen. - 2. Katzen gehen auf 4 Beinen. - 3. Elefanten gehen auf 4 Beinen. - Daraus schließe ich verallgemeinernd: Tiere gehen auf 4 Beinen. Verallgemeinern heiß abstrahieren von konkreten Einzelheiten (Der Hund kann bellen. Der Elefant hat einen Rüssel.) Dieser Schluss (vom Konkreten aufs Allgemeine) ist eine Induktion.

Natürlich kann die Deduktion auch mal nach hinten losgehen, bespielsweise, wenn Peter nur ein Bein hat.

Besonders bei der Induktion kann man schnell falsch liegen: Vögel und Fische gehen nicht auf 4 Beinen.

Abstraktion:

Abstraktion: aus einem höheren Blickwinkel betrachtet, Verallgemeinerung, Generalisierung

Das Wort Abstraktion (lateinisch von abs-trahere ‚abziehen‘, ‚entfernen‘, ‚trennen‘) bezeichnet meist den (induktiven) Denkprozess des erforderlichen Weglassens von Einzelheiten und des Überführens auf etwas Allgemeineres oder Einfacheres.

abstrakt: vom Besonderen oder Gegenständlichen losgelöst; verallgemeinert

Beispiele:

Diese Formulierung ist zu abstrakt! Das kann sich keiner bildhaft vorstellen.

Es gibt abstrakte und konkrete Begriffe.

abstrakter Begriff, abstraktes Denke

Beispiel: abstrakte Kunst; gegenständliche Kunst

abstrakte Kunst = nicht figurativ, nicht gegenständlich, keine erkennbaren Objekte oder Szenen darstellend

abstrahieren: das Allgemeine im Einzelnen erkennen; verallgemeinern; auf das Begriffliche zurückführen

BM28???? Abstraktion in der Mathematik

Die Mathematik als Wissenschaft, entstand aus der Untersuchung von abstrakten Figuren (Dreiecke, Vierecke, Kreise, ... ) und dem Rechnen mit Zahlen entstand (anfangs nur ganze positive Zahlen - die "natürlichen Zahlen").

Schon die "Erfindung" der Null war eine große abstrahierende Leistung in der Mathematik. Die Griechen und nach ihnen die Römer mit ihren römischen Zahlen mussten noch ohne Null auskommen, sie kannten noch keine Null. Erst mit der Erfindung eines Stellenwertsystems mit dem Lückenzeichen „0“ und mit der Betrachtung von „0“ als eigenständige Ziffer, die etwas darstellt, mit dem man wie mit anderen Zahlen rechnen konnte, führte zur Vorstellung, dass die Null „0“ eine Zahl sei.

In der Mathematik wimmelt es vor abstrakten Objekten. Mathematische Objekte sind: Zahlen, Mengen, Punkte, Geraden, Funktionen und noch viel mehr. (Matrizen, Vektoren, Graphen, Tensoren, topologische Räume, mathematische Strukturen [Gruppen, Ringe, Körper, Verbände] u. v. m.)

Eine Zahl ist eine Abstraktion. Egal ob es 5 Autos, 5 Pinguine oder 5 Stunden sind. Wir verallgemeinern es nur zur Anzahl. Von den konkreten Dingen, die damit gemeint sind, sehen wir ab, wir abstrahieren von den konkreten Dingen, wenn wir von der zahl 5 sprechen.

Eine Menge ist eine Ansammlung von Objekten. Ob diese Objekte Häuser sind, ob Zahlen oder Dreiecke, das ist in diesem Moment egal, unwichtig, zu vernachlässigen. Die Schnittmenge oder Vereinigungsmenge abstrahiert von den konkreten Dingen, die damit gemeint sind.

Ebenso Funktionen oder gar Lineare Gleichungssysteme. Ob wir damit Weg-Zeit-Aufgaben oder Kosten-Preis-Aufgaben lösen ist egal, wenn wir ein LGS lösen.

Bei der Abstraktion sieht man von bestimmten Eigenschaften verschiedener Objekte ab und konzentriert sich darauf, eine allgemeinere Struktur zu finden, die allen betrachteten Objekten gemeinsam ist.

Beispiel:

die Gerade (der eindimensionale Zahlenstrahl), die Ebenen (das zweidimensionale x-y-Koordinatensystem) und der dreidimensionale Raum (dreidimensionales x-y-z-Koordinatensystem) haben vielleicht eine Gemeinsamkeit, so dass wir für die Gemeinsamkeit aller 3 Objekte einen einheitlichen Begriff bilden können.

Eine Gemeinsamkeit ist der Abstandsbegriff: In allen 3 Objekten können wir zwischen 2 Punkten einen Abstand berechnen. Solche Objekte bezeichnet man als metrische Räume. (Das ginge hier aber zu tief.)

Diese Abstraktion macht Schülern oft den Mathematikunterricht schwer. Deshalb versuchen Mathelehrer ihren Matheunterricht mit alltagsnahen und anschaulichen Aufgaben interessanter zu gestalten, um die Kinder zum Lernen zu motivieren. Aber ohne abstrakte mathematische Konzepte geht es nicht in der Mathematik, den mathematisches Denken ist letztlich Einsicht in grundlegende Zusammenhänge. Bei den anwendungsorientierten, anschaulichen, griffigen Beispielaufgaben handelt es sich meist nicht um Mathematik, sondern um einfaches Rechnen.

Gerade weil Abstraktion mit ein Hauptelement der Mathematik ist, ist Mathematik so universell in fast allen Wissens- und Wissenschaftsbereichen einsetzbar. Aber alles Abstrakt ist besonders Kindern schwer beizubringen.

”Gedanken ohne Inhalt sind leer, Anschauungen ohne Begriffe sind blind.“ (Immanuel Kant; * 1724 in Königsberg; † 1804 ebenda)

Soll heißen: Mathematische Ideen brauchen eine konkrete Anwendung, aber eine Anwendung ohne eine allgemeine Theorie dazu ist auch Mist.

Oder schöner formuliert: Gedanken und Begriffe auf der einen Seite, müssen mit Inhalten und Anschauung konkretisiert werden.

Es gibt keine scharfe Grenze zwischen Konkretem und Abstraktem.

Wir arbeiten und rechnen mit Zahlen, Punkten oder Geraden. Weil wir uns aber so lange damit beschäftigt haben und uns daran gewöhnt haben, sind das meist sehr konkrete Dinge für uns. Obwohl es einen Punkt im mathematischen Sinne (Null Ausdehnung) in der Realität nie geben kann. Wie sollten wir den denn sehen?

BM28????

Wss ist Mathematik

Mathematik ist die Wissenschaft, die selbst geschaffene abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht.

In anderen Wissenschaften kommt es immer wieder vor, dass bis dahin als sicher geltende Erkenntnisse völlig verworfen werden müssen. Wegen neuer Entdeckungen musste anerkanntes Wissen, das für lange Zeit als richtig gegolten hatte, vollkommen verworfen werden. So einen Umbruch wurde beispielsweise in der Physik durch Einsteins Relativitätstheorie und die Quantenmechanik ausgelöst. In der Medizin wurde die Humoralpathologie (die Lehre von der richtigen und falschen Mischung der Körpersäfte) durch die Zellularpathologie (Krankheiten werden durch kranke Zellen und Mikroben ausgelöst) abgelöst.

Dagegen kann es in der Mathematik nicht solche Umwälzungen geben. Was ein mal stimmt, das stimmt für immer. Alte Ergebnisse können höchstens an Bedeutung verlieren, wenn neue Zusammenhänge stärker betont werden zwar in einem neuen Kontext an Gewicht verlieren. Mathematische Ideen erweisen sich aber nicht irgendwann im Nachhinein als falsch, außer natürlich, wenn sie durch Fehlschlüsse zustande gekommen sind. Das angehäufte mathematische Wissen wird aber immer wieder mal umsortiert und neu angeordnet, um es übersichtlicher zu gestalten. Um mathematische Strukturen besser zu erfassen, werden neue mathematische Begriffe gebildet.

BM28???? Warum Mathematik

Die Mathematik ist eine besondere Form, um die Erscheinungen der Welt wahrzunehmen und zu erfassen.

Durch ihre Abstraktion hilft die Mathematik mit die Welt zu verstehen.

Die mathematische Betrachtung einer realen Beobachtung kann die Alltagserfahrung wesentlich verständlicher machen.

Mathematische Begriffe brauchen eine strenge Definition. Das schult den Schüler beim klaren Formulieren und Denken. Mathematik erzieht zu logischem Denken.

BM28????

Witz:

Auf einem Baum sitzen auf dem unteren Ast 8 Vögel, auf dem mittleren Ast 29 Vögel und auf dem oberen Ast 37 Vögel.

Der erste Jäger schießt vom unteren Ast zwei Vögel ab. Danach schießt der 2. Jäger vom oberen Ast doppelt so viel Vögel ab. Der 3. Jäger schießt vom mittleren Ast halb so viel Vögel ab, wie noch auf dem unteren Ast sitzen.

Wie viele Vögel sitzen jetzt auf dem Baum?

Stelle als Rechenweg ein Gleichungssystem auf!

BM28????

Abbildung

Eine Abbildung ist ein anderer Begriff für Funktion f. Es handelt sich um eine Zuordnung zwischen den Elementen der Mengen A und B.

Von den Original-Elementen in der Menge A zeigt jeweils ein Pfeil zu dem Bild (= Abbild) in der Ziel-Menge B.

de:w:Bild (Mathematik)

de:w:Zielmenge

de:w:Definitionsmenge

[1]

Dargestellt wird eine Abbildung mit der Schreibweise "A → B". Der Pfeil zeigt von der Menge A zur Menge B.

Die Menge A ist die "Startmenge" (der Name steht in Anführungsstrichen, weil er hier nur zur Veranschaulichung erfunden wurde), die Menge B ist die Zielmenge.

Die Menge A heißt Wertebereich und die Menge B heißt Definitionsbereich

Eine Funktion wir üblicherweise immer mit einem kleinen f bezeichnet.

Eine Abbildung ist eine Funktion f, bei der die Menge A auf die menge B abgebildet wird.

Kurz: Die Funktion f ist die Abbildung von A auf B.

f : A → B

Eine Funktion f : A → B ist eine Zuordnung zwischen den Elementen der Mengen A und B, so dass zu jedem a ∈ A genau ein b ∈ B gehört.

Zuordnung bedeutet, dass zu je zwei gegebenen Elementen a ∈ A und b ∈ B feststeht, ob sie in dieser Beziehung (Relation) f stehen.

f ist die Menge jener Paare (a,b), die wir auch schon aus der Geometrie kennen, für die die Relation f besteht.

Der Graph einer Funktion stellt so eine Relation, Funktion oder Abbildung anschaulich dar.

Achtung:

Bei einer Funktionen existiert zu jedem a ∈ A genau ein b ∈ B mit (a,b) ∈ f.

Sprich: existiert zu jedem a Element der menge A genau ein b Element der Menge B mit a und b Element von f.

Tupel

n-Tupel

Ein 2-Tupel wird auch geordnetes Paar oder Dupel genannt, ein 3-Tupel auch Tripel, ein 4-Tupel auch Quadrupel, ein 5-Tupel auch Quintupel, ein 6-Tupel auch Sextupel.

(1,3), (2,2) und (3,1) sind drei verschiedene 2-Tupel ganzer Zahlen

({1,2}, {3,4,5}, {6}) ist ein 3-Tupel aus Mengen

Tupel sind in der Mathematik neben Mengen eine wichtige Art und Weise, mathematische Objekte zusammenzufassen. Ein Tupel besteht aus einer Liste endlich vieler Objekte. Dabei spielt, im Gegensatz zu Mengen, die Reihenfolge der Objekte eine Rolle.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Tupel formal als Mengen darzustellen. Tupel finden in vielen Bereichen der Mathematik Verwendung, zum Beispiel als Koordinaten von Punkten.

Ein $n$-Tupel ist eine Zusammenfassung von $n$ mathematischen Objekten $x_{1},\ldots ,x_{n}$ in einer Liste. Im Gegensatz zu Mengen müssen die Objekte dabei nicht notwendigerweise voneinander verschieden sein und ihre Reihenfolge ist von Bedeutung. Tupel werden meist mittels runder Klammern

$(x_{1},\ldots ,x_{n})$

notiert, wobei zwei aufeinander folgende Objekte durch ein Komma, Semikolon oder senkrechten Strich getrennt werden.

Das an der $i$-ten Stelle stehende Objekt $x_{i}$ heißt dabei die $i$-te Komponente des Tupels. Gelegentlich werden zur Notation aber auch andere Klammertypen, wie spitze oder eckige Klammern verwendet:

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