Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 245c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Fünfundvierzigstes Kapitel

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Geometrie der vierten Dimension und der höheren Dimensionen. Schluß

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Trotz aller Begeisterung für unsere wirklich gute Sache dürfen wir uns nicht einen Augenblick darüber im unklaren sein, daß wir im Rahmen dieses Buches nur die ersten Denkschwierigkeiten der nichteuklidischen und mehrdimensionalen Geometrie wegräumen können. Beide Gebiete sind ernste und riesige Fächer der Mathematik, und wir verweisen für weitere Studien in der nichteuklidischen Geometrie auf das schon öfter zitierte Buch von Mohrmann (Einführung in die Nicht-Euklidische Geometrie), auf die historisch-kritische Darstellung von B. Bonola (übersetzt von H. Liebmann, Verlag Teubner) und für die mehrdimensionale Geometrie insbesondere auf das vorzügliche Werk von Hk. de Vries „Die vierte Dimension“ (deutsche Übersetzung bei Teubner, 1926).

Diese Verwahrung soll uns aber nicht hindern, die „vierdimensionale Sahne“ abzuschöpfen, so weit es uns der Raum gestattet. Denn wir haben es versprochen.

Historisch ist diese Geometrie außer der mengentheoretischen Darstellung der Geometrie, durch G. Cantor und Hausdorff, die jüngste Entwicklungsstufe unserer Wissenschaft. Erst der deutsche Mathematiker Graßmann (1809-1877) hat sie in seiner „Linealen Ausdehnungslehre“ 1844 zum erstenmal systematisch dargestellt. Man „verstand aber Graßmann so wenig, daß er sich enttäuscht aus der Mathematik zurückzog und Sanskritphilologe wurde. In diesem neuen Fach nun leistete er derart Bahnbrechendes, daß er allgemeine Anerkennung erlebte. Dadurch aber wieder erhielt er plötzlich auch mathematischen Kredit, und der große Helmholtz tat das seinige, um das alte Unrecht gutzumachen. Natürlich hatte auch Riemanns Abhandlung von 1854 inzwischen den Weg bereitet. Auch der Engländer Cayley und der Franzose Cauchy beschäftigten sich, ungefähr gleichzeitig mit Graßmann, mit einzelnen Problemen der mehrdimensionalen Geometrie, ohne jedoch diese Ansätze zum System zu erweitern. Aber noch ein anderer genialer Mathematiker teilte Graßmanns anfängliches Los, wobei er nicht einmal die Drucklegung seines Lebenswerkes erlebte. Es war der Schweizer Universitätsprofessor L. Schläfli (1814 bis 1895), der in den Jahren 1850-1852 seine „Theorie der vielfachen Kontinuität“ verfaßte, die erst im Jahre 1901 durch die Bemühungen eines dankbaren Schülers, des bekannten Mathematikers J. H. Graf, gedruckt wurde; wobei sich herausstellte, daß Schläflis Werk im wahrsten Sinne ein seiner Zeit vorausgeeiltes „Standardwerk“ war.

Soviel aus der Geschichte dieser heute allgemein anerkannten mathematischen Disziplin. Wir werden nun all das, was wir schon wissen, verwerten, um möglichst rasch in das Zentrum des geometrischen Geisterreiches zu gelangen. Wir sind es schon gewöhnt, vom R₁, R₂, R₃ ... R_n zu sprechen. Wir verabreden nur insofern noch eine Erweiterung, als wir jetzt Figuren auch bei $n<2$ anerkennen. So etwa sei die Strecke eine Figur im R₁ und der Punkt eine Figur im R₀, obwohl bei letzterem „Raum“ und „Figur“ identisch sind. Wenn wir nun unseren Begriff des „Simplex“ wieder aufnehmen, den wir mit S bezeichnen wollen, so nennen wir den Punkt den „Simplex“ des R₀, die Strecke den „Simplex“ des R₁, das Dreieck den Simplex des R₂, das Tetraeder den Simplex des R₃. Dabei numerieren wir aber den Simplex stets mit einem Index, der anzeigt, wie viele Punkte diesen Simplex bestimmen. Der Punkt-Simplex im R₀ heißt also S₁, der Strecken-Simplex im R₁ heißt S₂, das Dreieck im R₂ heißt S₃, das Tetraeder im R₃ heißt S₄ usw. Verallgemeinert hat jeder R_n einen Simplex, der S_n+1 heißen muß. Was ist nun eigentlich solch ein Simplex? Es ist die jeweils einfachste Figur im betreffenden Raum, die durch Verbindung einer gewissen Anzahl $(n+1)$ von Punkten gewonnen werden kann, wobei deshalb keine „Diagonalen“ auftreten können, weil stets bloß zwei Punkte durch eine Gerade, drei Punkte durch eine Ebene usw. verbunden sind und die Punkteanzahl gerade noch zur Bestimmung des betreffenden Raumes ausreicht. Die Punkte dürfen allerdings niemals zu so vielen in einem Raum niedrigerer Dimensionenanzahl liegen, daß sie diesen R_n überbestimmen. Falls etwa zwei Punkte in einem Punkt, also im R₀ lägen, kommt keine Strecke (S₂) im R₁ zustande. Liegen drei Punkte auf einer und derselben Geraden (R₁), dann bilden sie kein S₃ (Dreieck) im R₂ (Ebene). Liegen schließlich vier Punkte in einem R₂, dann entsteht kein S₄ (Tetraeder) im Raum R₃ usw. Es dürfen also niemals (n + 1) Punkte in einen R_n-1 liegen, weil sonst im R_n kein Simplex S_n+1 zustande kommen kann.

Nun sind die Simplexfiguren deshalb von großer Wichtigkeit, weil stets ein Simplex S_n+1 einen Raum R_n eindeutig bestimmt. Natürlich unter obiger Einschränkung 'der richtigen Punktelage. Das braucht man übrigens, wenn man vom Simplex spricht, nicht mehr hinzuzufügen. Denn bei unrichtiger Punktelage gäbe es ja überhaupt keinen Simplex. In unserer gewohnten früheren Sprache sagten wir einfach: Ein Punkt bestimmt einen R₀, also sich selbst. Zwei Punkte bestimmen eine Gerade (R₁), drei Punkte eine Ebene (R₂), vier Punkte einen R₃ usw., wobei man bei den höheren Dimensionen die Punkte wieder zu Simplexfiguren zusammenfassen darf. So ist etwa eine Ebene auch durch einen S₁ (Punkt) und einen S₂ (Gerade) bestimmt, ein Raum durch zwei S₂, die sich kreuzen, usw. Um einen R_n zu bestimmen, muß also die Summe sämtlicher Indizes aller voneinander unabhängigen Bestimmungs-Simplexfiguren zusammen ($n+1$) betragen. Falls sich Simplexfiguren schneiden, also nicht mehr unabhängig voneinander sind, fallen die Punkte fort, die die Schnittfigur als Simplex bestimmen würden. So bestimmen zwei einander schneidende S₂, also zwei Gerade, deshalb nur einen R_n-1, also einen R₂, weil zwar die Indexsumme von S₂ und S₂ gleich vier ist, diese Summe aber in diesem Falle nicht ($n+1$), sondern ($n+2$) bedeutet, da ja der Schnittpunkt ein S₁ ist. Die Indexsumme wäre also richtig von $S_{2}+S_{2}-S_{1}=3$ zu bilden, wodurch ich, wenn ich diese „Drei“ als $n+1$ betrachte, aus der Gleichung $n+1=3$ sofort richtig $n=2$erhalte. Noch ein zweites Beispiel. Zwei einander schneidende S₃, also zwei Dreiecke, folgen durchaus nicht der Formel $S_{3}+S_{3}=6$ und bestimmen „nicht einen R₅. Sondern sie haben miteinander vier Schnittpunkte, die zwei weitere S₂ oder vier S₁ bedeuten. So daß man richtig schreiben muß

$S_{3}+S_{3}-S_{2}-S_{2}=2$ oder

$S_{3}+S_{3}-S_{1}-S_{1}-S_{1}-S_{1}=2$, was dann stimmt.

Ein R₅ etwa könnte durch drei Gerade bestimmt sein, die den S₆ bilden. Es genügt dabei aber nicht, daß die Brei Geraden einander kreuzen, denn das könnte sich schon im R₃ ereignen. Es muß vielmehr die dritte Gerade die einander. kreuzenden ersten Geraden kreuzen und sie muß außerdem noch den R₃ kreuzen, der durch die beiden ersten einander kreuzenden Geraden bestimmt ist.

Durch alle diese gleichsam kombinatorischen Überlegungen kommen wir zum Begriff des sogenannten Punktwertes eines R_n, welch letzteren wir in diesem Zusammenhang, ohne daß dies etwas Neues bedeutet, konventionell als R_d bezeichnen. Jeder R_d hat den Punktwert $(d+1)$, d. i. die Anzahl von $(d+1)$ Punkten, die voneinander derart unabhängig sind, daß von ihnen nie mehr Punkte zugleich in einem niedriger indizierten R_n liegen dürfen, als es dessen Index erfordert, d. h., daß zwei Punkte nicht in einem R₀, drei Punkte nicht im R₁, vier Punkte nicht in einem R₀, allgemein n Punkte nicht in einem R_n-2, also höchstens in einem R_n-1 liegen dürfen. Wobei das n diesmal als kleiner angenommen ist als d. Es dürfen also im R₇ höchstens sechs Punkte in einem R₅, fünf Punkte in einem R₄, vier Punkte in einem R₃, drei Punkte in einem R₂, zwei Punkte in einem R₁, ein Punkt in einem R₀ liegen. Diese Forderung hat gar nichts Mystisches. Bis zum R₃ haben wir sie oft aufgestellt und sie ist ja unter anderem auch die Bedingung dafür, daß Figuren nicht degenerieren.

oder, wie man auch sagt, „überbestimmt“ werden.

Wir können uns also darunter sicherlich etwas vorstellen. Unsere Forderung aber hat noch andere, geradezu zauberhafte Folgen. Wenn man sie festhält, ist man nämlich sofort imstande, die Kombinatorik auf die Erzeugung von Figuren anzuwenden, und es wird uns ein Leichtes, etwa die Simplexfiguren jeder Dimension festzustellen. Hat z. B. ein S₅, also der Simplex der „vierten Dimension“ (R₄) fünf unabhängige Punkte, da ja im R_d der Punktwert S_d+1 ist, so muß er bestehen: Aus \tbinom{5}{1} Punkten. Das ist gleicht fünf. Aus ${\tbinom {5}{2}}$ Kanten, das ist ${\textstyle {\frac {5\cdot 4}{1\cdot 2}}=10}$. Aus ${\tbinom {5}{3}}$ Flächen, und zwar Dreiecken. Das wären ${\textstyle {\frac {5\cdot 4\cdot 3}{1\cdot 2\cdot 3}}=10}$. Und endlich aus ${\tbinom {5}{4}}$Begrenzungskörpern, die Tetraeder sein müssen. Also aus fünf „Zellen“. Deshalb wird dieser S₅ des R₄ auch das „Fünfzell“ genannt. Ganz allgemein besteht ein S_d+1 aus ${\tbinom {d+1}{n}}$ niedereren Simplexfiguren, wobei das $d+1$ konstant bleibt und das n von 1 bis d läuft. Dadurch ist man imstande, die vollständigen Simplexfiguren, rein der Denkmaschine der Kombinatorik folgend, bis hinauf in jede Dimension aufzubauen. Der R dieser eben erwähnten Simplexfigur, die der Formel ${\tbinom {d+1}{n}}$, ${\tbinom {d+1}{2}}$, ${\tbinom {d+1}{3}}$ ... ${\tbinom {d+1}{d-1}}$, ${\tbinom {d+1}{d}}$ folgt, ist natürlich ein R_d, wobei d die Dimension dieses Raumes anzeigt:

Nun ist es uns seit der Entdeckung der „Schlegelschen Diagramme“ durchaus nicht verwehrt, einen Blick in höhere Dimensionen als die dritte zu werfen. Warum auch? Kann doch ebenso ein Beltramisches Flächenwesen seelenruhig die Projektion eines dreidimensionalen Tetraeders in seiner Welt zeichnen und diese Figur analysieren! Wir selbst zeichnen Häuser, Bäume, Polyeder, Kugeln usw. ohne Scheu auf das Papier. Wir projizieren die Körper (R₃) also in einen R_d-1, in den R₂, in die Ebene. Man wende nicht ein, daß wir nicht in der Ebene herumkriechen. Mit eben demselben Recht könnte man behaupten, wir könnten uns vom Original (dem Haus usw.) keine Vorstellung machen, weil es ein R₃ ist und wir selbst im R₃ „herumkriechen“. Es liegt, wenn wir das gehörig überdenken, nahe, nachdem wir einmal die für alle R_d invarianten, also unveränderlichen Gesetze der Figurenbildung durchschaut haben, die Figuren des R₄ in den R₃ zu projizieren. Der deutsche Mathematiker Schlegel hat dies auch geleistet und Modelle aus Kupferdraht, Seidenfäden usw. angefertigt, deren Kopien sogar im Handel erhältlich sind und die gleichsam das „Zeichnen“ im R₃ darstellen. Nun kann man nach den Regeln der Perspektive von jedem höher indizierten R_d in die niederen R_d-1, R_d-2 usw. projizieren. Wir dürfen also das Schlegel-Diagramm als S₅ (aus dem R₄) in den R₃ projizieren, wo es noch ein körperliches „Modell“ ist. Dieses „Modell“ aber können wir dann weiter in den R₂ projizieren, also,simpel gesagt, perspektivisch „abzeichnen“. Wir werden es sofort tun.

Aus unserem Bild eines Körpers oder Polytops der nun gar nicht mehr unheimlichen vierten Dimension entnehmen wir tatsächlich alles, was wir nur wünschen. Wir können die fünf Eckpunkte zählen, zählen die zehn Kanten, die zehn Seitenflächen und die fünf Begrenzungstetraeder (1234, 1235, 1245, 1345, 2345) und stellen in Gemütsruhe fest, daß durch jeden Eckpunkt vier Kanten, sechs Seitenflächen und vier Seitenräume gehen. Letzteres ist etwas schwerer sichtbar. Man muß sich vorstellen, daß die Zellen zu den Seitenflächen des Tetraeders 2345 hinstreben. Weiters gehen durch jede Kante drei Seitenflächen und drei Seitenräume, endlich durch jede Seitenfläche zwei Seitenräume. Oder, wie de Vries es einfach ausdrückt: das S₅ oder Fünfzell wird von fünf Tetraedern begrenzt, die zu zweit ein Dreieck (also zusammen zehn , Dreiecke), zu dritt eine Kante (also zusammen zehn Kanten) und zu viert einen gemeinsamen Eckpunkt (zusammen also fünf Eckpunkte) besitzen.

Etwas unheimlicher wird es uns, wenn wir hören, daß wir als Bewohner des R₃ zweier Diagramme bedürften, um den Bau des S₆ zu begreifen (S₆ ist Simplex der fünften Dimension). Eines müßte in einem vierdimensionalen Seitenraum, der ein Fünfzell ist, und eines in einem dreidimensionalen Seitenraum (Tetraeder) eines solchen Fünfzells konstruiert und entsprechend in die niederen Dimensionen projiziert werden.

Noch einen kleinen Zauber wollen wir zeigen, bevor wir schließen: Wir sprachen eben beim Fünfzell davon, welche niederen Räume je zwei höhere Räume gemeinsam haben, d. h. einfacher, welche Schnittfigur sie miteinander bilden. Aus der gewöhnlichen Geometrie wissen wir, daß sich etwa zwei Ebenen in einer Geraden, zwei Körper in einer Ebene, ein Körper und eine Gerade in einer Geraden, ein Körper und eine Ebene in einer Ebene „schneiden“.

Und dies alles innerhalb verschiedener „Räume“.

Da wir nun für die mehrdimensionale Geometrie ein allgemeines invariantes „Schnittgesetz“ brauchen, hat man eine äußerst einfache Formel für dieses Problem aufgestellt. Es ist nämlich nicht nur wichtig, zu wissen, was für R_n einander schneiden, sondern auch, in welchem R_d sie einander schneiden. Und man ist sich heute darüber vollkommen klar, daß sich, falls die Dimensionszahlen n und m kleiner sind als die Dimensionszahl d), folgende Beziehung ergibt:

$(d+1)=(n+1)+(m+1)-(mn+1)$ oder

$d=n+m-nm,$

Falls also zwei Figuren der Punktwerte $(n+1)$ und $(m+1)$. zum Schnitt kommen, wobei $d>m$ und $d>n$.

wobei nm die Dimensisonszahl der neuen -Schnittfigur und $(nm+1)$ ihr Punktwert ist. Ist d, n und m bekannt, dann ist $nm==n+m-d$.

Wir wollen zuerst in dem uns bekannten R₃ experimentieren. Unser d ist dann 3, eine Gerade 1, eine Ebene 2, ein Punkt 40. Also wird nm etwa für den Schnitt einer Ebene und einer Geraden im Raum $nm=2+l-3=0$, also die Gerade schneidet die Ebene im Raum in einem Punkt. Zwei Ebenen im Raum folgen der Beziehung $nm=2+2-3=-1$, also sie schneiden einander in einer Geraden. Dabei muß aber $(n+m)$ zusammen stets mindestens gleich d sein, weil sonst der Schnitt in einer niedrigeren Dimension stattfindet und es möglich wäre, daß sich die Figuren kreuzen. So erhalten wir für zwei Gerade im R₃ unser $nm=1+1-3=-1$. Im R₂ dagegen richtig $nm=1+l-2=0$. Das Minus heißt stets, daß noch Freiheitsgrade zum Kreuzen da sind und daß ein Schnitt nicht erfolgen muß. Er kann erfolgen und wir erfahren seine Art nur aus einem niedrigeren R, wo der Schnitt dann in der Regel ein Punkt ist. Im R₄ schneiden einander eine Gerade und ein Körper nach $nm=1+3-4=0$, also in einem Punkt. Zwei Ebenen, was wir uns ebensowenig vorstellen können, nach $nm=2+2-4=O$, also auch in einem Punkt. Eine Ebene und ein Körper (R₃) nach $nm=2+5-4=-1$, also in einer Geraden. Zwei Körper schließlich, gemäß $nm=3+3-4=2$, in einer Ebene. Eine Gerade und eine Ebene dagegen können einander im R₄ kreuzen. Denn $nm=2+1-4=-1$ usw. Das letzte Beispiel darf sofort in den R₃ reduziert werden, wo sich Ebene und Gerade gemäß $nm=2+1-3=0$ in einem Punkt schneiden, was wir ja wissen.

Es gibt nun, ebenso exakt wie alles Bisherige, eine Lehre von den Polytopen (den Vielkörperern), die es uns gestattet, Neigungswinkel von Seitenflächen usw. zu berechnen.

Dabei können Gerade auf Räumen R, senkrecht stehen und noch andere spukhafte Dinge vorkommen.

Wir können auch in jeder Dimension die Anzahl der regelmäßigen Überkörper oder Polytope feststellen, und wir erfahren, daß es im R₄ sechs regelmäßige Polytope, das reguläre Fünfzell, Achtzell, Sechzehnzell, Vierundzwanzigzell, Hundertzwanzigzell und Sechshundertzell gibt. Vom R₅ an dagegen gibt es in jedem R₅, R₆ ... R_n, wobei $n>6$, nur mehr drei regelmäßige Polytope. Noch eine abschließende Bemerkung: Wir bewegten uns bisher bei unseren mehrdimensionalen Betrachtungen ausschließlich in einem ebenen, linearen, euklidischen Raum, was schon durch Ausdrücke wie Gerade, Ebene, Dreieck, Tetraeder (die wir ohne Beiwort gebrauchten) bestätigt wurde. Nun gibt es aber auch hier wieder Verallgemeinerungen nach allen Seiten. Riemann hat schon von beliebig dimensionalen Räumen sphärischen und pseudosphärischen Charakters gesprochen, und heute ist es Gemeingut der Mathematiker, daß Krümmung und n-Dimensionalität (wobei $n>3$) zwei Bestimmungsweisen des Raumes sind, die sowohl für sich als vereint auftreten können. Wir deuten nur an, daß darüber hinaus der „Raum“ wieder selbst nur eine Spielart höherer und umfassenderer Wesenheiten, der sogenannten n-dimensionalen „Mannigfaltigkeiten“ ist, ein Gedanke, den schon Riemann im Jahre 1854 ausgesprochen hat. Unsere geometrische Welt, verschwistert mit höchster und abstraktester Algebra, mit Funktionen- und Invariantentheorie, beginnt sich stets schwindelerregender vor uns emporzutürmen. Und kein Mensch kann sagen, wieviel davon „Wirklichkeit“, wieviel nur „Traum“ ist. Aber auch der geometrische „Traum“ folgt den Bahnen exaktester und strengster Logik - - -

Wir haben, so glauben wir, unser Versprechen erfüllt. Wen die Wehmut packt, daß wir diese Zauberreiche schon verlassen, der möge sich damit trösten, daß, wie schon erwähnt, etwa unsere mehrdimensionale Unterhaltung nur die ersten Anfangsgründe in einem euklidischen linearen R_d betraf. Das Studiums der eigentlichen Geometrie liegt nach allen Richtungen vor uns! Und wir alle, der Verfasser und seine treuen Leser, wollen den großen und größten Geistern, unseren wahren Lehrern, danken, die in selbstloser, heroischer Arbeit eine Türe nach der anderen aufbrechen, um uns einen nie endenden Einblick zu gewähren in das magisch glitzernde Reich der Geometrie, in die Welt der reinen Formen, deren unerschöpfliche Harmonie uns arme Geschöpfe des R₃ einen schwachen Schimmer der Allmacht Gottes erahnen läßt.

* * * * * * * * ENDE des Buches * * * * * * * *

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