Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 213c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Dreizehntes Kapitel

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Axiome der Kongruenz, Dreiecks-Kongruenzen

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Nun zur dritten Axiomgruppe, den Axiomen der Kongruenz, die den Begriff der Kongruenz und damit auch den der Bewegung feststellen. Unter „kongruent“ versteht man in der Geometrie eine besondere Art der Gleichheit. Kongruenz liegt nämlich nur dann vor, wenn gleiche geometrische Gebilde tatsächlich zur vollständigen Deckung gebracht werden können. Wir wollen diese scheinbare Spitzfindigkeit schon an dieser Stelle erörtern. Zwei Handschuhe etwa sind sicherlich gleich, wenn alle ihre Größenabmessungen bezüglich gleich sind. Also wenn die Handschuhe demselben Paar angehören. Trotzdem lassen sich die Handschuhe nicht zur „Deckung“ bringen. Man kann sie nur deckend ineinander stecken, wenn man den einen „umdreht“. Dieses Umdrehen ist nun zufällig bei Handschuhen möglich. Wenn ich aber zwei Ritterhandschuhe aus Stahlblech hätte, könnte ich die Deckung trotz aller Versuche nie erzielen. Die Handschuhe sind eben gleich aber nicht kongruent, sondern symmetrisch. Symmetrie gibt es aber nicht nur bei räumlichen, sondern auch bei flächenhaften und sogar bei linienhaften Gebilden. Das Original und das Spiegelbild, die Druckplatte und die gedruckte Seite sind zueinander symmetrisch. Kongruent können symmetrische Figuren der Ebene nur werden, wenn man sie aus der Ebene, dem_R₂ in den R₃ herausnimmt und „umklappt“. In der Ebene könnte man sie in aller Ewigkeit herumdrehen und würde sie nie zur Kongruenz, zur Deckung bringen. Wir deuten hier nur an, daß das Problem von „Rechts“ und „Links“ mit der Symmetrie zusammenhängt. Und wir notieren vorläufig als Grundsatz, daß in jedem R_n ein symmetrisch liegendes Gebilde von n Dimensionen nur dann zur Deckung, zur Kongruenz gebracht werden kann, wenn man einen weiteren Freiheitsgrad eines R_n+1 zur Verfügung hat. Aber selbst bei nichtsymmetrischer Lage ist die Kongruenz nur festzustellen, wenn man die Gebilde bewegt. Daher die Behauptung der Geometriker, daß mit der Kongruenz auch der Begriff der Bewegung definiert und eingeführt sei.

Wir wollen aber die weiteren Folgerungen der Symmetrie für die Dimensionsfrage einstweilen vertagen, um uns jetzt der dritten Gruppe von Axiomen, den sogenannten Axiomen der Kongruenz zuzuwenden. Sie lauten:

III. 1. „Wenn A und B zwei Punkte auf einer Geraden a und ferner A' ein Punkt auf derselben oder einer anderen Geraden a' ist, so kann man auf einer gegebenen Seite der Geraden a' von A' stets einen und nur einen Punkt B' finden, so daß die Strecke AB der Strecke A'B' kongruent oder gleich ist, in Zeichen

AB$\equiv$A'B'.

Jede Strecke ist sich selbst kongruent, das heißt es ist stets:

AB$\equiv$AB und AB$\equiv$BA.

(Man drückt diesen Tatbestand auch kürzer aus, indem man sagt, daß eine jede Strecke auf einer gegebenen Seite einer gegebenen Geraden von einem gegebenen Punkte in eindeutig bestimmter Weise „abgetragen“ werden könne.)

III. 2. „Wenn eine Strecke AB sowohl der Strecke A'B' als auch der Strecke A"B" kongruent ist, so ist auch die Strecke A'B' der Strecke A"B" kongruent, das heißt wenn AB$\equiv$A'B' und AB$\equiv$A"B", so ist auch A'B'$\equiv$A"B".“

III. 3. „Es seien AB und BC zwei Strecken ohne gemeinsame Punkte auf der Geraden a und ferner A'B' und B'C' zwei Strecken auf derselben oder einer anderen Geraden a' ebenfalls ohne gemeinsame Punkte; wenn dann AB$\equiv$A'B' und BC$\equiv$B'C', so ist auch stets AC$\equiv$A'C'.“

Bevor wir zu den weiteren Kongruenz-Axiomen vordringen, müssen wir eine grundlegende Erklärung einschalten. Wir haben es nämlich bisher stets nur mit Punkten, Geraden, Strecken oder Ebenen zu tun gehabt. Für unsere weiteren Schritte müssen wir ein neues Gebilde, den Winkel, einführen. Für unsere jetzigen Zwecke muß dies in möglichst wissenschaftlich einwandfreier Form geschehen, denn wir dürfen ja als Axiomatiker noch in keiner Art darüber im klaren sein, was solch ein Winkel sei. Wir müssen diesen Begriff also Stück für Stück aufbauen.

Wir hätten eine beliebige Ebene a vor uns, in der zwei verschiedene Halbstrahlen von einem Punkte 0 ausgingen. Diese Halbstrahlen gehörten außerdem verschiedenen Geraden an:

Das System dieser beiden Halbstrahlen nennen wir nun einen Winkel und bezeichnen es mit $\sphericalangle$(h, k) oder $\sphericalangle$(k, h). Aus den Axiomen II 1-4 kann geschlossen werden, daß die Halbstrahlen h und k (zusammen mit dem Punkte 0) die übrigen Punkte der Ebene a in zwei Gebiete von folgender Beschaffenheit teilen: Ist A ein Punkt des einen und B ein Punkt des anderen Gebietes, so geht jeder Streckenzug, der A mit B verbindet, entweder durch 0 oder er hat mit h oder k wenigstens einen Punkt gemeinsam. Sind dagegen A und A' Punkte desselben Gebietes, so gibt es stets einen Streckenzug, der A mit A' verbindet und weder durch 0 noch durch einen Punkt der Halbstrahlen h oder k hindurchläuft. Eines dieser Gebiete ist vor dem anderen ausgezeichnet, indem jede Strecke, die irgend zwei Punkte dieses ausgezeichneten Gebietes verbindet, stets ganz in demselben liegt; dieses ausgezeichnete Gebiet heißt das Innere des Winkels $\sphericalangle$(h, k) zum Unterschiede von dem anderen Gebiete, welches das Äußere des Winkels $\sphericalangle$(h, k) genannt werden möge. Die Halbstrahlen h und k aber heißen die Schenkel des Winkels und der Punkt 0 heißt der Scheitel des Winkels.

Nun stehen auch die Winkel in gewissen Beziehungen zueinander, zu deren Bezeichnung uns ebenfalls die Worte „kongruent“ oder „gleich“ dienen.

III. 4. „Es sei ein Winkel $\sphericalangle$(h, k) in einer Ebene α und eine Gerade a' in einer Ebene α', sowie eine bestimmte Seite von a' auf α' gegeben. Es bedeute h' einen Halbstrahl der Geraden a', der vom Punkte 0' ausgeht; dann gibt es in der Ebene α' einen und nur einen Halbstrahl k, so daß der $\sphericalangle$(h, k) kongruent oder gleich dem Winkel $\sphericalangle$(h', k') ist und zugleich alle inneren Punkte des Winkels $\sphericalangle$(h', k') auf der gegebenen Seite von a' liegen,

in Zeichen: $\sphericalangle$(h, k)$\equiv$$\sphericalangle$(h', k').

Jeder Winkel ist sich selbst kongruent, das heißt es ist stets $\sphericalangle$(h, k)$\equiv$$\sphericalangle$(h, k) und $\sphericalangle$(h, k)$\equiv$$\sphericalangle$(k, h). Wir sagen dafür auch kurz, daß ein jeder Winkel in einer gegebenen Ebene nach einer gegebenen Seite an einen gegebenen Halbstrahl auf eine eindeutig bestimmte Weise abgetragen werden könne.“

Um den nächsten Satz zu gewinnen, muß eine Erklärung vorangeschickt werden. Es sei ein Dreieck ABC vorgelegt; wir bezeichnen die beiden von ausgehenden, durch B und C laufenden Halbstrahlen mit h und k. Der Winkel $\sphericalangle$(h, k) heißt dann der von beiden „Seiten“ AB und AC eingeschlossene, oder der der Seite BC gegenüberliegende Winkel des Dreiecks ABC; er enthält in seinem Inneren sämtliche inneren Punkte des Dreiecks ABC und wird mit $\sphericalangle$BAC oder $\sphericalangle$A bezeichnet.

III. 5. „Wenn für zwei Dreiecke ABG und A'B'G' die Kongruenzen

AB$\equiv$A'B', AC$\equiv$A'C', $\sphericalangle$BAC$\equiv$$\sphericalangle$B'A'C'

gelten, so sind auch stets die Kongruenzen

$\sphericalangle$ABC$\equiv$$\sphericalangle$A'B'C' und $\sphericalangle$ACB$\equiv$$\sphericalangle$A'C'B'

erfüllt

Dieses letzte Axiom der Kongruenz wird für uns die Überleitung zu einer grundlegenden Betrachtung über die Kongruenz von Dreiecken bilden. Wir müssen nur noch in aller Eile einige Begriffe über Winkel nachtragen. Wir nennen zwei Winkel, die einen Schenkel und den Scheitel gemeinsam haben und deren andere beiden Schenkel eine gerade Linie bilden, Nebenwinkel.

Die Winkel $\sphericalangle$(h, k) und $\sphericalangle$(h', k) sind also Nebenwinkel. Sind aber zwei Nebenwinkel einander kongruent, dann handelt es sich um zwei rechte Winkel. Oder man kann auch sagen. daß ein rechter Winkel dann vorliegt, wenn dieser Winkel seinem Nebenwinkel kongruent ist.

Man sagt weiters, die Gerade k stehe „senkrecht“ auf der durch die beiden Halbstrahlen h und h' gebildeten Geraden g. Oder k sei „normal“ oder „die Normale zur Geraden g. Nach Hilbert folgt die Existenz rechter Winkel aus den Axiomen III. 1., III. 4. und III. 5. Wenn man nämlich einen beliebigen Winkel vom Scheitel aus an einem seiner Schenkel anträgt und hierauf die äußeren Schenkel gleichmacht, so schneidet die Verbindungsgerade der Endpunkte der äußeren Schenkel den gemeinsamen Schenkel senkrecht.

Es ist nämlich AB$\equiv$AB' und AC$\equiv$AC. Außerdem $\sphericalangle$(h, k)$\equiv$$\sphericalangle$(k', k)

Daher muß auch der Winkel R seinem „Nebenwinkel“ R' gleich sein (III. 5.). Gleichheit der Nebenwinkel aber bedeutet eben definitionsgemäß das „Senkrechtstehen“ oder die Eigenschaft der Rechtwinkligkeit (Orthogonalität).

Eine andere Art von Winkeln sind die sogenannten „Scheitelwinkel“, das sind zwei Winkel mit gemeinsamem Scheitel, deren Schenkel je eine Gerade bilden. Scheitelwinkel sind einander stets gleich und kongruent.

Dazu wird bemerkt, daß sowohl die Winkel (h, k) und (h', k') Scheitelwinkel sind als auch die Winkel (h, k') und (h', k).

Nach diesen Vorbemerkungen können wir uns den Kongruenzsätzen für Dreiecke zuwenden. Dabei dürfen wir nur solche Dreiecke als kongruent bezeichnen, bei denen alle sechs Kongruenzen (drei Seiten und drei Winkel) erfüllt sind.

Es muß also sein:

AB$\equiv$A'B',

AC$\equiv$A'C',

BC$\equiv$B'C',

$\sphericalangle$A$\equiv$$\sphericalangle$A',

$\sphericalangle$B$\equiv$$\sphericalangle$B'

$\sphericalangle$C$\equiv$$\sphericalangle$C'.

Wir stellten schon nach Axiom III. 5. fest, daß, wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel kongruent seien, dann auch die beiden anderen Winkel einander bezüglich kongruent sein müßten. Es bedarf also nur noch des Nachweises, daß auch die dritten Seiten der beiden Dreiecke einander kongruent sein müssen.

Wenn wir nun einmal (was eine häufige Beweismethode ist) annehmen, das Gegenteil wäre der Fall, nämlich BC sei nicht kongruent mit B'C', dann müssen wir wohl die Unmöglichkeit einer solchen Annahme beweisen, um unsere erste Behauptung zu bekräftigen. Nach unserer ersten Annahme beim Axiom III. 5. war der Winkel $\sphericalangle$BAG dem Winkel $\sphericalangle$B'A'C' kongruent. Nun müßte er ebenso dem Winkel $\sphericalangle$B'A'D' kongruent sein, was offensichtlich unmöglich ist, da sich, abgesehen von der direkten Anschauung auch nach Axiom III. 4. ein Winkel an einem gegebenen Halbstrahl nach einer gegebenen Seite nur auf eine einzige Art abtragen läßt. Also muß auch die Seite BC$\equiv$B'C' sein, woraus die Kongruenz aller sechs Bestimmungsstücke und damit die Kongruenz der beiden Dreiecke zwingend folgt. Dieser erste Kongruenzsatz für Dreiecke heißt nach der räumlichen Lage der von vornherein als kongruent angenommenen Bestimmungsstücke der Seiten-Winkel-Seiten-Satz oder der SWS-Satz.

Wenn wir nun drei andere Bestimmungsstücke in zwei Dreiecken, etwa je eine Seite und die beiden dieser Seite anliegenden Winkel als bezüglich paarweise kongruent annehmen, dann gewinnen wir den zweiten Kongruenzsatz, den sogenannten Winkel-Seiten-Winkel-Satz oder WSW-Satz.

Wir wollen diesen und die folgenden Kongruenzsätze ohne Beweis aussprechen, da wir ja im allgemeinen Beweise überhaupt nur zur Übung bringen und im Übrigen nur allgemein anerkannte Tatsachen der Geometrie unserer Einführung unterlegen. Unser WSW-Satz gilt aber nicht unter beliebigen Bedingungen. Denn wenn die der Seite anliegenden beiden Winkel beides rechte oder stumpfe Winkel wären (das heißt Winkel, die größer als rechte Winkel sind), so würde ja gar kein Dreieck im gewöhnlichen Sinn existieren.

Aber auch ein stumpfer« und spitzer Winkel, die zusammen größer sind als 2R oder 180 Grad lassen ein Dreieck nicht zustande kommen. (Fig. 39.)

Aus diesem WSW-Satz können wir sogleich sehr wichtige Eigenschaften der sogenannten Winkelhalbierenden oder Winkelsymmetralen folgern. Es ist offensichtlich, daß (in Fig. 40) die Dreiecke ABC und ABC' nach dem WSW-Satz kongruent sind. Denn die Strecke (Seite) AB ist beiden gemeinsam, die Winkel α und α' müssen einander gleich sein, da dies ja im Wesen der „Halbierung“ des ursprünglichen ganzen Winkels bei A liegt, und die beiden rechten Winkel bei B, die wir absichtlich als Rechte dadurch erzeugt, daß wir eine „Normale“ zur Winkelsymmetrale zogen, sind ebenfalls kongruent. Daraus ergibt sich weiter, daß jede Normale zur Winkelhalbierenden, die beide Schenkel schneidet, von diesen Schenkeln gleiche Stücke (AC und AC') abschneidet, und daß Normale, die von den Schenkeln auf einen Punkt der Symmetrale gefällt werden (CB und C'B) einander ebenfalls gleich sind. Damit müssen auch die Winkel bei C und C' einander gleich sein. Ziehe ich nun umgekehrt Lote (Normale) aus einem Punkt der Winkelsymmetralen auf die beiden Schenkel, dann erhalte ich die beiden Dreiecke ABC₁ und ABC₂. Für diese Dreiecke kommt ein anderer Kongruenzsatz zur Anwendung. Es sind nämlich zwei Dreiecke auch kongruent, wenn bei ihnen eine Seite, ein anliegender und der gegenüberliegende, Winkel gleich sind. Dieser Satz heißt der Seiten-Winkel-Winkel Satz oder der SWW-Satz. Dabei müssen natürlich wiederum die zwei Winkel zusammen kleiner sein als zwei Rechte.

Bei unserer Winkelsymmetrale sind nun die beiden Dreiecke ABC₁ und ABC₂ tatsächlich nach dem SWW-Satz kongruent, woraus sich weiter ergibt, daß Lote, die aus einem Punkt der Winkelhalbierenden auf die beiden Schenkel gefällt werden, von beiden Schenkeln gleiche Stücke (AC₁ und AC₂) abschneiden und außerdem gleich lang sind (C₁B$\equiv$C₂B).

Schneide ich eine Winkelhalbierende dagegen nicht durch Lote der einen oder der anderen Art, sondern durch eine andersgerichtete beliebige Gerade g, dann ergeben sich derartige Beziehungen nicht. Wir werden aber später Eigenschaften kennen lernen, die zwei parallele Schnittgerade haben, die einen Winkel bzw. die Winkelhalbierende schneiden.

Als weiterer Kongruenzsatz käme der sogenannte Seiten-Seiten-Seiten-Satz oder SSS-Satz in Betracht, der aussagt, daß zwei Dreiecke dann kongruent sind, wenn in beiden Dreiecken alle drei Seiten übereinstimmen. Dabei muß die Bedingung erfüllt sein, daß in jedem der Dreiecke je zwei beliebige Seiten zusammen größer sein müssen als die dritte Seite. Denn ohne diese Bedingung kommt kein Dreieck zustande.

Als letzten Kongruenzsatz erwähnen wir den sogenannten Seiten-Seiten-Winkel-Satz oder SsW-Satz, der behauptet, daß zwei Dreiecke dann einander kongruent seien, wenn sie je zwei Seiten und den der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel gemeinsam haben. Würde man den der kleineren Seite gegenüberliegenden Winkel als drittes Bestimmungsstück wählen, dann wäre eine eindeutige Zuordnung der homologen Stücke nicht möglich, wie aus der Figur zu ersehen ist. Die beiden Dreiecke ABC und A'BC sind alles andere nur nicht kongruent obwohl sie zwei Seiten a und b und den der kleineren Seite gegenüberliegenden Winkel β gemeinsam haben.

Wir schließen nun die Lehre von der Kongruenz der Dreiecke mit einer kleinen Übersicht ab. Zwei Dreiecke sind im allgemeinen dann kongruent, wenn (unter gewissen Einschränkungen) drei ihrer Bestimmungsstücke miteinander übereinstimmen. Allerdings ergibt die Übereinstimmung aller drei Winkel keine Kongruenz, sondern bloß Ähnlichkeit. Kongruenz ergibt sich bei folgenden Übereinstimmungen oder Einzelkongruenzen:

1. Zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel (SWS-Satz).

2. Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel (WSW-Satz).

3. Eine Seite, ein anliegender und der der Seite gegenüberliegende Winkel (SWW-Satz).

4. Alle drei Seiten (SSS-Satz).

5. Zwei Seiten und der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel (SsW-Satz)1).

(Das kleine s soll anzeigen, daß der Winkel der größeren Seite S gegenüberliegt.)

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