Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 205c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Fünftes Kapitel

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Geometrie der Lage, Maßgeometrie, Raum, Dimension

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Zuerst war es auffallend, daß wir zwei grundverschiedene Verfahrensweisen, ich möchte fast sagen zwei Welten der Betrachtung und Behandlung unserer Probleme, verwendeten. Das eine Mal sahen wir von der Größe unserer geometrischen Gebilde vollkommen ab und betrachteten nur ihre Gestalt und vor allem ihre gegenseitige Lage oder Anordnung. Dann interessierte uns plötzlich wieder, auch im Zusammenhang mit den Gestalten,-die Größe gewisser Gebilde, etwa die Größe der Winkel. Oder das Verhältnis der Seiten der Dreiecke zueinander. ,Wir führten Einheitsstrecken, etwa den Steg oder das Meter ein und fragten uns, wieviel solche Einheiten in anderen Strecken enthalten seien, aus wieviel solcher Einheiten man.sich eine andere Länge oder Strecke entstanden oder zusammengesetzt denken könne. Diese Bemühung nannten wir dann das Messen. Und indem wir maßen, verschwisterten wir die Geometrie mit der Arithmetik und wandten unbekümmert Rechnungsverfahren wie die Proportion, die nichts anderes als eine Art von Gleichung ist, auf die geometrischen Gebilde an. Gar nicht fiel uns ein derartiges Vorgehen bei der Frage des Parallelismus ein. Dort wurden nur allgemeine Lagebeziehungen, höchstens noch Gleichheiten oder Ungleichheiten (wie etwa bei den Wechselwinkeln) behauptet. Gemessen wurde dort nichts. Denn die Tatsache des gestreckten Winkels, der angeblich 180 Grade groß ist, kann man nicht als Messung auffassen, da ich einen gestreckten Winkel auch definieren und erkennen kann, wenn ich über die Messung der Winkel durch Winkelgrade überhaupt nichts weiß.

Wir vermuten also, daß sich die Geometrie mit zweierlei Problemen zu befassen hat: Mit der Erörterung und Festsetzung der gegenseitigen Lage von Gebilden und zweitens 'mit der Messung der Größe dieser Gebilde. :Wir wollen diese Einteilung strenge festhalten. Es gibt tatsächlich eine „Geometrie der Lage“ und eine „Maßgeometrie“. Eben die Vermengung dieser zwei Aufgabenkreise und die einseitige Hervorkehrung des einen auf Kosten des anderen hat im Laufe der Geschichte ungeheure Verwirrung und großes Unheil in der Geometrie gestiftet. Erst Leibniz (1646-1716) hat in einer von seinen Zeitgenossen kaum verstandenen kleinen Schrift - "Zur Analysis der Lage") in leuchtender Klarheit die Idee der Geometrie der Lage entwickelt. Es währte aber noch mehr als hundert Jahre, bis man seinem Gedankengang wirklich folgen konnte, Und es mußten erst De Monge, Poncelet, Graßmann und andere erstehen, um diesen Zweig der Geometrie in aller Reinheit herauszuarbeiten: Wodurch erst das stolze und geschlossene Gebäude der neuzeitlichen Geometrie und damit der neuen Physik und Astronomie errichtet werden konnte.

Aber auch hier müssen wir nähere und tiefere Erörterungen verschieben. Denn wir sitzen in anderer Art noch mächtiger im Sumpf. Wir haben nämlich absichtlich bisher allerlei blasse und landläufige Ausdrücke wie „geometrische Dinge“ oder „geometrische Gebilde“ gebraucht und müssen uns jetzt doch einigermaßen festlegen, um weiterarbeiten zu können. Dabei stürzen aber sofort wieder alle Probleme von allen Seiten über uns zusammen. Da wir nur einführen und- nicht strenge Wissenschaft treiben wollen, sind wir dabei in einer vergleichsweise günstigen Lage. Wir brauchen nicht auf subtile Systematik zu achten, sondern dürfen einfach irgendwo beginnen. Auf welchem Weg und mit welchen Mitteln wir schließlich aus dem Sumpf kommen, ist einerlei. Sind wir dann noch allzu befleckt vom Schlamm der Systemlosigkeit und geometrischen Unkorrektheit, dann steht es uns ja frei, die strengsten Meister unserer Wissenschaft zu Rate zu ziehen und uns von ihnen reinwaschen zu lassen. Man muß aber allem Anschein nach auch in der Geometrie sündigen, um ein geometrischer Gerechter zu werden. :Sprechen wir also getrost vorerst über unsere geometrischen Gebilde.

Dabei legen wir aber eine Verwahrung ein. Wir wollen mit unseren Erörterungen vorläufig auch noch keine streng wissenschaftlichen Definitionen bringen, sondern uns die Dinge, von denen wir später fortwährend sprechen werden, gemächlich von allen Seiten betrachten.

Dazu aber müssen wir noch eine Vorfrage klären, die wir jetzt mutig stellen. Warum, so fragen wir, ist unsere ganze Welt mit Geometrie durchsetzt? Das muß einen tieferen -Grund haben. Und zwar einen Grund, der sich angeben läßt. Gewiß, es hat einen Grund. Geometrie ist nämlich die Wissenschaft vom Raum. Und alle Dinge sind im Raum oder, anders gesagt, der Raum ist in allen Dingen. Wie sich das mit dem Raum genau verhält, ob wir ganz einfach nicht anders können, als alle Dinge durch eine uns eigene „Anschauungsform“ räumlich zu erblicken und zu denken, oder ob wir den Raum und das Räumliche (das Ausgedehnte) als Wesenheit aus der Natur und den Dingen durch Erfahrung erkennen, ist eine rein philosophische Angelegenheit und Streitfrage, die die Philosophie der letzten Jahrtausende von den alten Indern an, über Platon und Aristoteles, Descartes und Kant bis zur Gegenwart, bis Poincaré und Carnap beschäftigt. Wir als Geometer interessieren uns nicht für die Erkenntnisbeziehung,s o interessant sie sein mag, sondern behaupten den Raum als eine gegebene Tatsache.

Was ist nun der Raum? Sehr ungefähr erklären wir ihn als „das Ausgedehnte“. Und da wir Geometer sein wollen, geben wir dem Raum schlechthin den Namen „R“. Wir werden ihn also künftighin stets als den „Groß R“ bezeichnen. Es sieht dies vielleicht überflüssig aus, man weiß aber seit Leibniz, daß die ganze Mathematik im tiefsten Grund eine „Cabbala vera“, eine wahre Kabbalistik, also ein Symbolzauber ist. Und daß ein“ gut Teil des Siegeszuges der Mathematik dieser abgekürzten Schreibweise zu danken ist, die nicht nur Abkürzung bedeutet, sondern plötzlich eine Art Eigenleben als Denk- und Rechenmaschine gewinnt. Unser Baum, unser R ist also gleichsam das umfassende Betätigungsfeld der Geometrie. Alles Sichtbare, alles Körperliche, alles materiell Existierende ist im Baum, ist Stück oder Beziehung räumlicher Tatsachen. Und die Geometrie ist deshalb überall in der dinglichen Welt, weil die dingliche Welt eine räumliche Welt ist.

Nun, da wir dies einmal wissen, müssen wir uns von einer alltäglichen Vorstellung losmachen, um wissenschaftlich freie Hand zu bekommen. Unter Raum stellen wir uns im Alltagsleben etwa ein Zimmer, eine Küche, eine Turnhalle vor. Ein Mensch macht raumgreifende Schritte und der Lebensraum eines Volkes umfaßt Städte, Berge, Ebenen, Bergwerke und die Luft oberhalb des Landes. Wir sind, kurz gesagt, seit unserer Jugend gewohnt, unter Raum eine Räumlichkeit zu verstehen, in der wir uns nach rechts und links, nach vorne und zurück und nach oben und womöglich auch nach unten frei bewegen können. Unser Lebensraum hat mehrere „Freiheitsgrade“. Wir könnten uns aber ganz gut auch Wesen denken, die vollständig flach wären und die in einer dickelosen Fläche lebten. Diese Wesen hätten weniger Freiheitsgrade als wir. Sie könnten ihre Bewegungen bloß nach rechts und links und vor und zurück ausführen. Und diese Wesen, denen es für ewig verwehrt wäre, ihre Bewegungen nach oben und unten zu vollführen, würden unter Raum etwa ein Dreieck oder ein Quadrat oder einen Kreis verstehen. Lassen wir jetzt unserer Phantasie noch weiter die Zügel schießen. Es gäbe, nehmen wir es ruhig an, noch armseligere Wesen, die auf einer Linie als Strecken leben und sich bloß vor und zurück bewegen können. Diesen Gefesselten, Eingeklemmten wird gar nur ein Linienstück als Raum erscheinen.

Wir treffen nun eine Festsetzung, eine Vereinbarung. Wir werden unseren Begriff vom R, vom Raum, verallgemeinern. Und werden die Anzahl der „Freiheitsgrade“ neben den Buchstaben R rechts unten als sogenannten „Index“ anfügen. Somit wäre ein R₀ ein Raum ohne Bewegungsmöglichkeit, ein R₂ ein Raum mit zwei prinzipiellen Bewegungsrichtungen und ein R_n ein solcher von n Freiheitsgraden, wobei n eine beliebige Zahl bedeuten kann.

Man ist gewohnt, die Anzahl der Freiheitsgrade die Dimensionenanzahl des betreffenden Baumes oder kurzweg „die Dimension“ zu nennen. Und man spricht deshalb vom nulldimensionalen, vom ein-, zwei-, drei-, vier-, fünf- und vom n-dimensionalen Raum. Ob es diese Raumformen alle auch wirklich gibt, bleibt dabei vorläufig außer Betracht. Wir werden uns mit diesen Fragen, die gleichsam unser Endziel darstellen, am Schluß unseres Buches noch eingehend beschäftigen. Jetzt ist es für uns nur wichtig, den Übergang von unseren „Dimensionen“ zu den geometrischen Gebilden zu gewinnen. Und wir werden zu diesem Zwecke gleichsam aufsteigend, von der untersten Stufe, von der geringsten Anzahl von Freiheitsgraden, beginnen. Wie also muß ein R₀, ein Gebilde aussehen, in dem eine Bewegung überhaupt nicht möglich ist. Das also keinerlei Dimension hat. Es wird, so vermuten wir, das sein, was wir gemeinhin einen Punkt nennen. Punkt ist das denkbar kleinste räumliche Element. Es hat in ihm, da es das kleinste Element ist, nichts anderes Platz als wieder ein Punkt. Da aber dieser zweite Punkt den ersten vollständig erfüllt, so hat er innerhalb des Punktes keinen Freiheitsgrad. Wir haben somit im Punkt tatsächlich das nulldimensionale Gebilde, den R₀ vor uns. Lassen wir jetzt etwa den zweiten Punkt aus dem ersten auswandern, dann wird er sich auf einer Linie bewegen oder durch seine Bewegung die Spur einer Linie hinterlassen. Nehmen wir weiters an, es gäbe auf der Welt nichts anderes als diese Linie, dann kann unser Punkt jetzt beliebig wieder zurückwandern. Er hat, wie man sagt, einen Freiheitsgrad, er kann nämlich wandern, allerdings nur in der Linie, also in einer Dimension, gleichsam nur nach einem Prinzip. Das Vor und Zurück gilt als positive und negative Richtung, es sind dies aber nicht zwei Dimensionen, ebensowenig wie ein Bahngeleise, auf dem eine Lokomotive vor und zurück fahren kann, mehrere Bahnstrecken darstellt. Gehen wir weiter, nachdem wir die Linie als den R₁, den Raum einer Dimension festgestellt haben. Unser Punkt könnte jetzt plötzlich die Linie verlassen und rechts und links aus der Linie austreten. Seine Bindung würde nur mehr darin bestehen, daß er eine Fläche nicht verläßt, also ein Gebilde, das man sich aus der Bewegung der ganzen Linie entstanden denken kann. Wir haben jetzt einen Freiheitsgrad mehr gewonnen, und es wäre jetzt sogar unter gewissen Voraussetzungen möglich, daß sich ganze Flächenstücke in der Fläche bewegen. Wir befinden uns damit im R₂ oder im zweidimensionalen Raum. Nun hätte aber unser Punkt noch weitere Ansprüche. Er will gleichsam nicht stets am Boden kleben, sondern bekommt Lust, sich wie ein Staubkorn in die Luft zu erheben, seinen R₂, seine Fläche, einen neuen Freiheitsgrad gewinnend, zu verlassen. Er trennt sich also entweder nach oben oder nach unten von seiner Fläche und verläßt sie in senkrechter oder in schräger Richtung. Er tritt dadurch in den R₃, in den Raum von drei Freiheitsgraden, in den sogenannten dreidimensionalen Baum, in den Raum, den wir seit Kindheit gewohnt sind als Raum schlechtweg anzusprechen. Man kann diesen R₃ sich dadurch entstanden denken, daß sich eine Fläche in einer Richtung bewegt, die von den zwei ihr selbst innewohnenden Freiheitsgraden abweicht.

Wie sieht es nun mit den weiteren Freiheitsgraden aus, die zu einem R₄, R₅, R₆ usw. bis zum R_n führen würden? Darauf wollen wir vorläufig keine Antwort geben, da unser Vorstellungsvermögen und unsere wissenschaftliche Fähigkeit zu solchen Erwägungen noch nicht geübt genug sind. Die irdische Erfahrung hat bisher auch noch nicht verlangt, sich mit höheren Räumen als dem R₃ zu beschäftigen. Betrachten wir also inzwischen eine andere Eigenschaft der von uns bisher erörterten Räume R₀, R₁, R₂ und R₃, die ,e wir sehr ungenau als „Geradheit“ oder „Ebenheit“ charakterisieren wollen. Daß im R₀ also beim Punkt, diese Eigenschaft nicht in Frage kommt, leuchtet ein. Jeder Punkt gleicht dem anderen so wie ein Ei dem anderen, welch letztere Identität zwar tatsächlich nicht stimmt, aber als Volksspruch eine gewisse Gleichheitsforderung enthält. Anders sieht es schon beim R₁ aus, den wir als Linie entlarvt haben. Innerhalb des R₁ wird das streckenförmige Wesen den Unterschied zwischen den Linien nicht ohneweiters feststellen können. Aber im R₂, in der Fläche, kann man schon konstatieren, daß nicht alle Linien gleichartig sind. Die einen Linien sind „gerade“, die anderen „krumm“ oder „gekrümmt“. Was ist nun eine Gerade? Wenn wir an unsere Terrasse denken und uns erinnern, in Welcher Art der Abiturient den Wirtsleuten gezeigt hatte, wo sich die Gemsen befanden, könnte man behaupten, eine gerade Linie sei ein und dieselbe Sache mit einem Sehstrahl oder mit der Visierlinie. Sie sei dadurch ausgezeichnet, daß gleichsam, vom Auge aus, sich ein Punkt deckend (daher der Name Deckpunkt) hinter den anderen lege, bis endlich der letzte Punkt das Ziel treffe. Damit wäre auch der Punkt sozusagen als Querschnitt der Geraden gekennzeichnet. Natürlich ist der Punkt Querschnitt jeder Linie an jeder Stelle. Nun erinnern wir uns aber dunkel aus der Physik, daß allerhand optische Täuschungen möglich sind. Die Lichtbrechung führt uns manchmal sehr in die Irre. Und wir glauben in einer Geraden zu schen, während wir in Wirklichkeit in einer gebrochenen oder gar in einer krummen Linie schauen. Wenn wir mit einer Harpune auf einen unter Wasser schwimmenden Fisch zielen und die Harpune dann in einer Geraden gegen den Fisch, der voraussetzungsgemäß stille steht, schleudern, dann schießen wir ordentlich daneben. Was also ist eine Gerade? Man hat seit Jahrtausenden versucht, diesen, Begriff eindeutig festzulegen. Übrig geblieben ist von allen Bemühungen eigentlich nur die Definition, daß eine Gerade die kürzeste linienartige Verbindung zwischen zwei Punkten sei. In welch ungeheure Verwirrung uns später diese Definition stürzen wird, werden wir sehen. Wir werden aber auch sehen, daß sich diese Verwirrung plötzlich zu einem wahren Zauberreich neuer allgemeiner Erkenntnisse verwandelt. Auf jeden Fall aber haben wir ein bestimmtes Gefühl : Die Gerade ist unter allen anderen möglichen R₁ irgendwie ausgezeichnet. Sie hat etwa die Eigenschaft, daß sich jede Gerade deckend auf eine andere Gerade legen läßt und daß es weiters möglich ist, eine Gerade ohne Verbiegung (Deformation) in einer „Geraden zu verschieben. Weiters vermuten wir, daß sich etwa der Parallelismus nur auf Gerade erstreckt.

Was entspricht nun im R₂ wohl den Geraden? Was hat dort gleichsam das Stigma der Geradheit? Wir glauben nicht fehlzugehen, daß es sich dabei nur um die sogenannte Ebene handeln kann. Wir stellen auch sofort einen Zusammenhang zwischen Geraden und Ebenen her. Sicherlich kann man auf allerlei gekrümmten Flächen auch Gerade ziehen. Etwa auf dem Mantel eines Kegels oder eines Kreiszylinders. Man kann sich geradezu den Kegelmantel als ein sogenanntes zentrisches Bündel von lauter Geraden und den Zylindermantel als eine Unendlichkeit aneinanderstoßender paralleler Gerader vorstellen. Man kann aber auf einer krummen Fläche nicht in beliebiger Richtung Gerade ziehen. In einer Ebene dagegen können wir in jeder beliebigen Richtung Gerade ziehen. Und eine Ebene kann dadurch entstehen, daß eine Gerade sich um einen ihrer Endpunkte dreht, bis sie wieder in die ursprüngliche Lage zurückkehrt. Man nennt die so entstandene Ebene auch ein Strahlenbüschel. Davon aber werden wir später sprechen. Jedenfalls haben Ebenen, ebenso wie die Geraden, auch ihre ausgezeichneten,besonderen Eigenschaften. Zwei Ebenen oder mehrere Ebenen kann man stets, gleichsam zwischenraumlos, aufeinanderlegen, man kann eine Ebene in der anderen verschieben, und da wir im R2 einen Freiheitsgrad mehr haben, kann man eine Ebene in der anderen auch drehen. Oder verschieben und verdrehen zugleich.

Was entspricht nun dem Charakteristikum der Geradheit und Ebenheit im eigentlichen körperlichen Raum, im R₃? Diese Frage ist auf unserer Stufe nicht leicht zu beantworten. Denn wie wir die Krümmung der Linie erst merken konnten, als wir in die Fläche aufstiegen und wie wir die Krümmung einer Fläche wirklich und unter allen Umständen erst vom Raum R₃ wahrnehmen können, da wir etwa in einer Kugelfläche allerlei Dinge erfahren würden, die uns eine Ebene vorgaukelten, so müßte ich, um die „Geradheit“ oder „Ebenheit“ des R₃ zu prüfen, mich in die nächsthöhere Dimension, in den R₄ begeben können. Das aber wäre, man erschrecke nicht allzusehr, leibhaftig die „vierte Dimension“, also nach landläufiger Meinung der Aufenthaltsort der Geister und die Stätte okkulten Spukes. Um hier Beruhigung zu schaffen, wollen wir vorläufig festsetzen, daß der R₃, der unserem Ideal der Geradheit entspricht, der sogenannte euklidische Raum ist, und daß wir ihn durch eine einfache Probe feststellen können, die der große Geometer Bernhard Riemann in seiner Schrift „Die Hypothesen, welche der Geometrie zugrundeliegen“ im Jahre 1854 angegeben hat. Wenn nämlich ein Dreieck innerhalb unseres Raumes genau die Winkelsumme von 180 Graden zeigt, dann müssen alle Dreiecke diese Winkelsumme aufweisen. Dann aber ist der Raum ein euklidischer. Diesen Raum R₃ kann man auch infolge seiner „Geradheit“, richtiger infolge seiner euklidischen Struktur, beliebig in sich verschieben und infolge seiner drei Freiheitsgrade auch beliebig in sich verdrehen, ohne daß eine Deformation oder Verkrümmung der Gebilde nötig wäre. Das auch ist der vielen Menschen rätselhafte Grund, warum man Körper, also räumliche Gebilde, ruhig innerhalb des Raumes nach allen Translations- (Vorrückungs-) und Drehrichtungen bewegen kann. `Wenn sich die Körper deformierten, dann wäre bewiesen, daß unser Raum R₃ gekrümmt, also kein euklidischer Raum ist. Nun könnte man dies leider kaum beweisen. Denn alle Maßstäbe wären ja auch Körper und würden sich entsprechend deformieren, verkürzen, verlängern, so daß die Beziehungen und Verhältnisse dieselben blieben. Wir haben also zur Kontrolle nichts übrig als unser Dreieck mit 180 Graden Winkelsumme. Wir wissen aber, daß diese 180 Grade Winkelsumme, nicht ein alleinstehendes Dogma sind, sondern daß vielmehr hinter dieser Maßbeziehung eine weit allgemeinere Lagebeziehung lauert. Und diese Lagebeziehung ist der Parallelismus. Wir dürfen also ohne die geringste Ungenauigkeit, im Gegenteil sogar mit einer gewissen Vertiefung unserer Einsicht, behaupten, daß ein R₃ dann ein euklidischer Raum ist, wenn in ihm ausnahmslos der Satz von den Parallelen gilt. Oder umgekehrt: Die volle und ausnahmslose Geltung des Parallelensatzes bezeugt, daß wir uns in einem euklidischen R₃ befinden. In der Praxis ist diese Probe auf die Raumkrümmung nicht sehr leicht. Wir müssen betonen, daß noch kein Mensch auf _ der Welt genau 180 Grade Winkelsumme des Dreiecks gemessen hat und daß es erst die Überlegungen der Fehlertheorie höchst unwahrscheinlich machten, daß, soweit wir den Raum kennen, eine merkbare Krümmung sich aus diesem Kriterium ergibt. Allerdings käme noch immer die Möglichkeit hinzu, daß die zur Messung verwendeten Lichtstrahlen auf große und größte Entfernungen gar nicht geradlinig, sondern auch gekrümmt sind. Dadurch aber würden wir die letzte Kontrollmöglichkeit verlieren. Auf jeden Fall hat Gauß, der um all diese Tatbestände und um die sich daraus ergebenden Folgerungen wußte, das Dreieck Hohenhagen-Brocken-Inselsberg (mit den Seitenlängen 69, 85 und 107 Kilometer) genau ausgemessen, um den euklidischen Charakter unseres Raumes zu kontrollieren. Er hat dabei eine irgendwie Verdacht erregende

Abweichung der Winkelsumme dieses Riesendreiecks von 180 Graden nicht festgestellt, obgleich nach später zu erörternden Gesetzen der Geometrie die Abweichung der Winkelsumme von 180 Graden genau im Verhältnis der vergrößerten Dreiecksfläche sich vergrößern müßte. Daß man aber den Satz der Parallelen nicht zur Prüfung unserer Baumstruktur heranziehen kann, leuchtet wohl ein. Denn der Parallelensatz fordert ja, daß sich parallele Gerade, so weit man sie auch verlängert, nie schneiden dürfen. Daher könnte ich den Abstand zweier Paralleler voneinander in noch so großer Entfernung messen und ich hätte gleichwohl noch die volle Unendlichkeit zur wirklich beweiskräftigen Prüfung vor mir.

Wir werden aber jetzt unsere bisherigen Untersuchungen wieder verlassen und nur noch kurz und schematisch feststellen, was wir bisher fanden. Dabei muß noch ab und zu ein Wort der Verdeutlichung beigefügt werden, da wir uns den Aufbau der Dimensionen oder Räume nicht durch allzuviel Beiwerk stören lassen wollten.

Vorerst eine grundsätzliche Bemerkung: Sowohl der Punkt, als die Linie, als die Fläche, also R₀ bis R₂ sind für unsere am R₃ geschulten Begriffe höchst luftige Dinge. Einen Punkt, der, nach allen Richtungen gemessen, ausdehnungslos sein soll, könnte man, streng genommen, überhaupt nicht sehen. Man kann ihn eigentlich nicht einmal denken. Daher erklärt sich auch der Schülerscherz, ein Punkt sei ein Winkel, dem man beide Schenkel ausgerissen hat. Man könnte ebensogut einem Dreieck alle Seiten ausreißen und hätte dann drei Punkte. Aber auch die Seiten des Dreiecks oder die Schenkel der Winkel sind unsichtbar. Denn eine Gerade, die ja eine Linie ist, hat weder Breite noch Dicke. Sie ist bloß eine gedachte Verbindung von Punkten, gleichsam eine unsichtbare Schnur. Nicht anders steht es mit der Fläche. Wenn ich keine Begrenzungslinien zeichne, dann könnte ich die Existenz einer geometrischen Fläche niemals feststellen außer wieder in Gedanken. Die Fläche gewinnt erst Wirklichkeit als Begrenzung eines materiellen Körpers, etwa eines Würfels oder einer Kugel. Rein geometrisch ist aber auch der Körper bloß ein luftiges Nichts. Er ist ein gedachter, geformter Ausschnitt oder ein Stück des R₃.

Wenn man also die Begriffe theoretisch streng betrachtet, dann „gibt“ es in „Wirklichkeit“ überhaupt nur Körper. Denn der dünnste Bleistiftstrich auf dünnstem Papier ist eine Anhäufung körperlicher Farbpartikeln auf einer körperlichen Unterlage.

Der berühmte Geometer M. Pasch, der eine sogenannte empiristische Richtung der Geometrie vertritt, was so viel sagen will, als daß er der Ansicht ist, alle geometrischen Erkenntnisse leiteten ihren Ursprung zunächst aus der Erfahrung her, hat, um alle diese Begriffe zu verdeutlichen, diverse Prüfungsinstrumente erdacht. Vor allem die sogenannte „Punktzange“, das ist eine Zange mit ideal spitzigen Backen. Wenn ich nun mit dieser Zange ein Gebilde von allen Seiten abtaste und finde, daß in jeder Richtung die Spitzen aufeinanderstoßen, ohne daß sich etwas zwischen ihnen befindet, dann habe ich einen Punkt abgetastet. Ähnlich kann ich die Linie, die Fläche und den Körper prüfen. Wir erwähnen diese Veranschaulichungsmethode der Vollständigkeit halber und verweisen für nähere Studien auf das Buch von M. Pasch „Mathematik am Ursprung“.

Allerdings soll nicht verschwiegen werden, daß, sehr gewichtige -Gründe gegen eine erfahrungsgemäße Deutung der Geometrie sprechen. Wie kamen wir dazu, gleichsam ein Netz von Formen über die Welt zu legen, die uns diese Formen in voller Reinheit niemals bietet? Jede Ansicht, jede Behauptung, es gebe in der Welt nirgends einen wirklichen Kreis, eine wirkliche Pyramide, ein wirkliches Dreieck, eine wirkliche Kugel, ist unwiderlegbar. Alle geometrischen Formen sind eigentlich pure Gedankendinge, die wir uns zur Festhaltung und zur Mitteilung an andere Menschen gleichsam nur symbolisch notieren. Und zwar durch das Hilfsmittel der sogenannten Zeichnung. Das Wort „zeichnen“ ist schon an und für sich in seiner tiefsten Sprachbedeutung höchst verräterisch. Durch das Zeichnen werden eben Zeichen, das ist aber nichts anderes als Symbole geschaffen.

Wir sind noch lange nicht aus dem Sumpf. Wir ahnen gar nicht, was für Rätsel wir noch vor uns haben. Um diesen Rätseln aber an den Leib zu rücken, werden wir, nunmehr im Besitze einiger ungefährer Grundbegriffe, versuchen, die ganze Angelegenheit von einer anderen Seite zu untersuchen. Wir werden uns nämlich fragen, wie wir, rein psychologisch betrachtet, überhaupt auf den Gedanken gekommen sind, Geometrie zu treiben.

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