Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 149c

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Geschichte der Mathematik (Teil 49)

Wir wollen nur noch einige allgemeine Worte beifügen. Aus dem Begriff und der Anwendung der Determinanten ist es möglich, die Auflösung eines Gleichungssystems von beliebig vielen Unbekannten mit einem einzigen Griff einfach hinzuschreiben. Es muß sich dabei bloß um lineare Gleichungen, also Gleichungen handeln, bei denen sämtliche Unbekannten bloß in der ersten Potenz vorkommen. Weiters aber wird durch die Operation mit Determinanten die tiefste Baustruktur der behandelten Gleichungssysteme enthüllt und es ergibt sich ein Übergang zu den von uns schon erwähnten Permutationsgruppen und weiters zur allgemeinen Gruppentheorie und von da zur sogenannten Invariantentheorie. Die Determinante wird namlich dadurch zur „Invariante“, daß sie für das ganze Lösungssystem eines Gleichungssystems bestimmend wird und gleichzeitig ganze Gruppen von Gleichungssystemen mit gleichgebauten Determinanten gewisse Eigenschaften gemeinsam haben müssen. Ebenso lassen Operationen, die mit Determinanten durchgeführt wurden, in ihren Ergebnissen Schlüsse zu auf die Eigenschaften von kombinierten Gleichungssystemen. Die Algebra operiert hier also nicht mehr mit Gleichungen und Gleichungssystemen, sondern mit Gruppen von Gleichungssystemen, denen eine bestimmte vorgegebene Eigenschaft zukommt.

Auf jeden Fall hat mit diesen Errungenschaften der Algorithmus und die Notation eine Höhe der Verallgemeinerung erreicht, die kaum mehr zu überbieten ist. In der Schreibung Kroneckers wird eine Determinante n-ter Ordnung einfach $|a_{ik}|$ geschrieben, wobei $i$ und $k$ von 1, 2, 3 ... bis n laufen. Ein Gleichungssystem von n-Gleichungen mit n-Unbekannten aber schreibt man heute einfach

$\sum _{k}a_{ik}x_{k}=c_{i}$

(wobei $i,k,=1,2,3...n$ ).

Das Unheimliche ist natürlich nicht, daß man so schreibt, obwohl das Studium von Werken, die sich einer derartigen Stenographie bedienen, schon ein unglaublich geschärftes mathematisches Auge und Ohr erfordert.

Das eigentliche Wunder ist vielmehr die Tatsache, daß man mit derartigen Denkmaschinen, die in sich ganze mathematische Welten bergen, ruhig rechnet, als ob es sich um einfache Zahlen handelte. Wer den Kalkül kennt und beherrscht, der rechnet mit sämtlichen denkbaren Gleichungen und Gleichungsgruppen eines bestimmten Koordinatensystems so bequem und sicher wie mit irgendeinem anderen Algorithmus. Und er ist dadurch sogar befähigt, vorauszusagen, was irgendeine Gruppe von Gleichungssystemen in einem anderen Koordinatensystem treiben wird. Und er weiß, welche Eigenschaften bei dieser Transformation sich ändern und welche beharren werden. Solche Voraussagen, fast möchte man sie Prophezeiungen nennen, sind unter Umständen für die Physik von grundlegender Bedeutung, darüber hinaus aber für die gesamte Mathematik, da sie ganze Weltsysteme von Gleichungen miteinander verbinden oder voneinander lösen können. Kurz, mit der Gruppen- und der Determinantentheorie, der sich plötzlich auch noch die projektive Geometrie anschloß (die aus einer ursprünglichen Opposition zur Algebraisierung heraus entstand, um schließlich selbst zur Algebra zu werden), hat sich eine allgemeinste Theorie der Formen entwickelt, in der die Abstraktion kaum eine Grenze findet. Irgendwie ist damit der Leibnizsche Königsgedanke einer obersten Kabbala, eines allgemeinsten Kalküls, seiner Verwirklichung nähergerückt.

Zu all dem gesellte sich aber noch eine weitere Disziplin, die auch in irgendeiner Art als „Übermathematik“ angesprochen werden kann: die Mengenlehre. Sie ist vielleicht von allen Gegenständen dieses Kapitels am deutlichsten darstellbar, obgleich die Schwierigkeiten, die in ihrem Ausbau liegen, fast unüberwindlich sind.

Um uns genau zu orientieren, müssen wir räumlich, zeitlich und begrifflich unseren Zauberteppich in weitestem Maß in Anspruch nehmen, da die Mengenlehre fast an alle Gegenstände der Mathematik rührt. „Menge“ ist eine Denkkategorie wie Zahl, Anzahl, Größe, Grad oder Gruppe.

Wir setzen die klassische Definition Georg Cantors, des Hauptbegründers der Mengenlehre, an den Beginn: „Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (die die Elemente der Menge genannt werden) zu einem Ganzen.“

Eine Kompagnie Soldaten ist eine Menge von Soldaten, die, wenn sie richtig ausgerüstet sind, zusammen eine „äquivalente“ Menge von Gewehren, Stiefelpaaren, Stahlhelmen und eine höhere Menge von Patronen besitzen. Jede Patrone enthält eine Menge von Pulverkörnern, die neuerlich größer ist als die Anzahl der Patronen. Das alles sind„endliche“ und daher auch selbstverständlich „abzä,hlbare“ Mengen. Jeder Teil einer solchen Menge ist kleiner als die ganze Menge, und es gibt dabei überhaupt die Begriffe des Teils und des Ganzen, des Größer und des Kleiner.

Nun stieß man aber, speziell in der Mathematik, was uns ja wohlbekannt ist, stets wieder auf Mannigfaltigkeiten oder Mengen, die alles andre, nur nicht endlich sind. Gleichwohl müssen sie deshalb nicht unabzahlbar sein. Denn „Abzä,hlbarkeit“ ist keine Tätigkeit, die begrifflich an ein Ende gebunden ist. Zu jedem n in der Folge der natürlichen Zahlen läßt sich stets sofort ein $(n+1)$ denken und zu jedem $(n+1)=m$ wieder ein $(m+1)$ usf.

Diese Unendlichkeit oder Beliebigfortsetzbarkeit oder potentielle Unendlichkeit haben wir ebenfalls bereits in sehr zahlreichen Spielarten kennengelernt. Wir können sie rein logisch als die sich aus dem Bildungsgesetz des Zählens ergebende Folgerung ansehen. Wir dürfen aber auch sowohl psychologisch als transzendental im Sinne Kants den Ursprung dieser potentiellen Unendlichkeit in der reinen Anschauung des Raumes und speziell der Zeit erblioken. Und wir wissen, daß bereits Zenon an manche Paradoxie stieß, die sich aus dieser Unendlichkeit ergab. Jede in Form einer Reihe gebildete Zahl, etwa eine Irrationalzahl, eine konvergierende Zahl auf Grund eines Exhaustionsbeweises oder gar der Aufbau des Kontinuums, gibt uns dasselbe Rätsel auf. Nun erweitert sich dieses Rätsel aber ebenso bei der Konvergenz wie beim Kontinuum sofort durch neue Aspekte. Wir sehen nämlich in beiden Fällen gleichsam das Ergebnis des Aufbaues aus unendlich vielen Teilen vor uns und halten dadurch in der Reihensumme oder in der geometrischen Figur das aktual oder vollendet oder abgeschlossen Unendliche, kurz eine tatsächlich unendliche Menge in der Hand. Wir deuten nur an, daß die Angriffe auf diese Form der Darstellung, wie wir sie eben gaben, nie verstummen werden. Man wird uns sofort entgegenhalten, daß ein „Teil“ nur dann unendlich klein sein kann, wenn die Aufsummierung unendlich vieler solcher Teile stets unter der Einheit bleibt, d. h. als Ergebnis weniger als die denkbar kleinste wirkliche Einheit liefert. Wenn wir auch diesen Standpunkt als relativ berechtigt anerkennen, so halten wir den allzu strengen Logikern entgegen, daß man durch derartige Strenge notwendigerweise in ein Wirrsal von Unendlichkeiten gerät, in dem man schließlich erstickt oder zumindest erkenntnismäßig steril wird. Der menschliche Verstand nimmt in Unendlichkeitsfragen nämlich einen ganz anderen Standpunkt ein als die Intuition. Der Verstand müßte alle Infinitesimaliiberlegungen höherer Art überhaupt ablehnen und dürfte sich auch nicht durch das Postulat eines „Grenzbegriffes“ oder „Grenziiberganges“ aus der logischen Schlinge zu ziehen versuchen. Für den Verstand gibt es nichts Erschütternderes als die uns schon bekannte Feststellung Leibnizens, daß in einer konvergenten Reihe wie

$\textstyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+...$

unmöglicherweise jemals ein Glied auftritt, das unendlich klein wäre. Jedes der Glieder muß endlich groß bleiben, wenn es auch noch so winzig ist. Also müßte die konvergente Reihe - wohl die krasseste „contradictio in adiecto“ - divergent sein, denn Endliches, unendlichmal zueinander addiert, ist selbstverständlich unendlich. Es ist aber ebenso „selbstverständlich“ das Gegenteil der Fall, wozu jedoch mehr die Intuition als die Logik verhilft, da die Logik trotz aller apagogischen Beweise zumindest einwenig unsicher bleibt.

Nun wissen wir weiter, daß schon die Scholastik, vor allem Bradwardinus, Thomas von Aquino und Cusanus tief in diese Antinomien eingedrungen sind, die trotz aller Beteuerungen der modernsten Grundlagenforschung, Logik, Logistik und der „Als-ob-Philosophie“ für den gänzlich undogmatischen und unerbittlichen Betrachter nach wie vor das „Credo, quia absurdum“ der Mathematik bilden und - wie wir hinzufügen - bilden sollen, da erst aus diesem metalogischen Gesichtswinkel heraus sich völlig neue Erkenntnislandschaften blickmäßig erschließen.

Gerade die stolzen und harten logischen Gefilde der Mengenlehre und der Gruppentheorie gehören zu diesen - man erschrecke nicht - metalogischen Gegenden. Denn im Verein mit der modernen Physik haben sie die Logik zu einem Prokrustesbett gemacht. Man rettet, kurz gesagt, die Logik bei einer neuen meta- oder kontralogischen Entdeckung dadurch, daß man ohne viel Aufsehen die Logik entsprechend „streckt“ und hierauf triumphierend verkündet, die neuen Lehren vertrügen sich glänzend mit der Logik. Dadurch, und wir werden darüber im Schlußkapitel noch eingehend sprechen, ist das neunzehnte Jahrhundert das „Säkulum der dehnbaren Maßstäbe“ geworden. Was für einen logischen Sinn, um zur Mengenlehre zurückzukehren, kann die apodiktische Aussage haben, daß der Teil unter gewissen Umständen dem Ganzen gleich sein muß? Und daß die Summe unendlich vieler solcher Teile wieder nicht größer sein kann als das Ganze? Für all das, was man billigerweise unter Logik verstehen kann, ist das ein kompletter Unsinn, ja ein Wahnsinn und Widersinn.

(Man sagt bei unendlichen Mengen „Äquivalenz“ und „Verschiedene Mächtigkeit“, um die Begriffe der Gleichheit bzw. des Größer und Kleiner zu umgehen, das sind aber, wenn man will, bloße Alibiversuche der LogikStreckung.)

Solche Möglichkeiten heben sofort die Sicherheit der gesamten elementaren Mathematik auf, wenn man sie für „logisch“ einordenbar erklärt. Nun kommt aber der Kunstgriff: man erweitert einfach die Logik, grenzt das Gebiet, in dem diese „Ungesetze“ gelten, streng ab und betrachtet im Wege einer ebenso ungeheuren wie ungeheuerlichen Maßabstreckung und Verallgemeinerung die Gesetze des Endlichen als nebensächliche Sonderfälle eines viel umfassenderen Kosmos des Aktual-Unendlichen, das sich seit dem Beginn des neunzehnten Jahrhunderts, seit Bolzano, ohne Widerspruch denken läßt. Im § 14 seiner „Paradoxien“ stellt Bolzano nämlich fest, daß niemand, der sich die „Einwohnerschaft“ Prags oder Pekings vorstelle, dabei auch an jeden einzelnen Einwohner denke. Ebensowenig müsse man etwa, so fügen wir hinzu, bei jeder unendlichen „Punkteschaft“ (Punktmenge) jedem einzelnen Punkt in Gedanken nachlaufen.

Für uns ist Bolzanos Ausspruch geradezu der Beweis dafür, daß es sich bei all diesen Dingen um „Metalogik“ handelt: das ewige Vergleichen, das Extrapolieren aus dem Endlichen ins Unendliche, das absichtliche Verschwimmenlassen des Einzelnen, des Konstituierenden, ist ein intuitiv optischer Vorgang, der durch noch so scharfsinnige Zirkelschlüsse nicht widerlegt werden kann. Georg Cantor selbst, der sich ursprünglich wenig um Philosophie kümmerte, was er später in redlichstem Bemühen durch den Verkehr mit scholastisch geschulten Ordensgeistlichen ausglich, wobei er auf Thomas von Aquino und sein „aktuales Unendlich“ stieß, hat seine Theorie sicherlich rein logisch gemeint. Es liegt uns auch Vollkommen fern, die Genialität der Mengenlehre anzuzweifeln oder die ungeheuren Verdienste Cantors herabzusetzen. Wir fühlen nur, rein historisch, daß sich auch auf diesem Gebiet wieder eine weltwichtige geistige Entscheidung vollzieht, die in kürzerer oder längerer Zeit für die Weiterentwicklung der Mathematik epochal werden wird. Mathematisiert sich die Logik oder logisiert sich die Mathematik? so lautet hier die Kernfrage, und es ist eine Angelegenheit des Gegensatzes zwischen euklidischer, magischer oder faustischer Geisteshaltung, wie man zu diesem Problem, besser zu dieser Problemgruppe, Stellung nimmt.

Doch auch diese Umwälzungen, in denen wir heute noch mit beiden Füßen stehen, dürfen wir bloß andeuten, um unserer eigentlichen Aufgabe nicht untreu zu werden. Wir konkretisieren: Eine Menge ${\mathfrak {M}}$, die wir bereits definierten, kann endlich sein wie die Menge der Zündhölzer in einer Schachtel oder die Menge aller geraden Zahlen bis 10.000. Oder die Menge der Primzahlen von 1 bis 79. Solche endliche Mengen sind stets abzahlbar.

(Und, wie man sagt, auch darüber hinaus noch tatsächlich „abgezählt“.)

Es gibt aber auch unendliche Mengen, die abzählbar sind, und das eben sind die Mengen, derentwegen die Mengenlehre geschaffen wurde. Die Menge aller natürlichen Zahlen ist abzahlbar. Das heißt natürlich nicht, daß sie ein Mensch abzahlen kann, sondern nur, daß sie prinzipiell abgezahlt werden können. Diese prinzipielle Möglichkeit ist so einleuchtend, daß mein Töchterchen mit fünf Jahren sagte: „Nur der liebe Gott kann bis ans Ende zahlen; denn er lebt immer.“ Nun kann man aber auch sämtliche anderen unendlichen Mengen abzahlen, bei denen es möglich ist, jedem Element eineindeutig eine natürliche Zahl zuzuordnen. Etwa samtliche geraden Zahlen, sämtliche Primzahlen, sämtliche durch 2, durch 5, durch 13, durch 79 teilbaren Zahlen. Jede dieser weiteren Mengen ist klarerweise eine Teilmenge der Menge aller natürlichen Zahlen, der eine sogenannte „transfinite Kardinalzahl“ zugeordnet werden kann. Nur begibt sich dabei sofort das Schrecknis, daß alle diese Teilmengen, grob gesagt, gleich groß sind wie die Menge der Ganzheit der natürlichen Zahlen. Unser Schema zeigt deutlich diese Ungeheuerlichkeit:

${\begin{array}{rrrrrrrrrr}1,&2,&3,&4,&5,&6,&7,&8,&.....&\infty \\2,&4,&6,&8,&10,&12,&14,&16,&.....&\infty \\1,&3,&5,&7,&9,&11,&13,&15,&.....&\infty \\3,&6,&9,&12,&15,&18,&21,&24,&.....&\infty \\13,&26,&39,&52,&65,&78,&91,&104,&.....&\infty \\\end{array}}$

Cantor führte für diese Tatsache, daß das „Größer“ und „Kleiner“, der „Teil“ und das „Ganze“ keinen Sinn mehr haben, den Ausdruck „Machtigkeit einer Menge“ ein und schuf Machtigkeitsgruppen, die als transfinite Kardinalzahlen durch Indizierung voneinander unterschieden werden. Diese neue Zahl heißt $\aleph$ (Aleph) und erhält einen Index als $\aleph _{0}$, $\aleph _{1}$, $\aleph _{2}$, ... $\aleph _{\infty }$. Unsere obigen Beispiele gehören sämtlich zum Typus $\aleph _{0}$.

Nun glaubte man lange, daß die Menge aller rationalen Zahlen nicht abzählbar sei, also nicht zur Gruppe $\aleph _{0}$ gehöre. Cantor bewies jedoch, daß dieser Glaube nicht zutreffe. Denkt man sich nämlich alle rationalen Zahlen in folgender Art geschrieben:

${\begin{array}{lclclclclc}1&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&2&&3&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&4&&5&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&6&\quad 7&...&usf.\\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&\\{\frac {1}{2}}&&{\frac {2}{2}}&&{\frac {3}{2}}&&{\frac {4}{2}}&&{\frac {5}{2}}&&{\frac {6}{2}}&\quad {\frac {7}{2}}&...&usf.\\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&\\{\frac {1}{3}}&&{\frac {2}{3}}&&{\frac {3}{3}}&&{\frac {4}{3}}&&{\frac {5}{3}}&&{\frac {6}{3}}&{\frac {7}{3}}&...&usf.\\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&&&\\{\frac {1}{4}}&&{\frac {2}{4}}&&{\frac {3}{4}}&&{\frac {4}{4}}&&{\frac {5}{4}}&&{\frac {6}{4}}&{\frac {7}{4}}&...&usf.\\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&&&&&\\{\frac {1}{5}}&&{\frac {2}{5}}&&{\frac {3}{5}}&&{\frac {4}{5}}&&{\frac {5}{5}}&&{\frac {6}{5}}&{\frac {7}{5}}&...&usf.\\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&&&&&&&\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\;\;\vdots &...&usf.\\\end{array}}$

so ist es klar, daß man, den Pfeilen folgend, in einer Art zählen kann, die keine denkbare rationale Zahl ausläßt, da im Schema sogar zahlreiche Rationalzahlen mehrfach stehen, wie

$\textstyle 1,{\frac {2}{2}},{\frac {3}{3}}$ usf. und $\textstyle {\frac {5}{6}},{\frac {10}{12}},{\frac {15}{18}},{\frac {20}{24}}$ usf.

So ist etwa auch die Menge aller algebraischen Zahlen

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}=0$

abzählbar, was man sehr leicht beweisen kann.