Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 148c

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Geschichte der Mathematik (Teil 48)

Zur Vermittlung eines annähernden Begriffs der „Determinante“, die eben dieses gesuchte Hilfsmittel wurde, wollen wir, ohne tiefer auf die zahllosen Einzelprobleme einzugehen, am Leitfaden eines einfachen Beispieles den Gedankengang erläutern. Wir hätten zwei Gleichungen vorgelegt, die wir allgemein als $f_{1}$ und $f_{2}$ bezeichnen wollen. Es handelt sich dabei um zwei lineare Gleichungen mit je zwei Unbekannten. Sie lauten:

$f_{1}=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+c_{1}=0$

$f_{2}=a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+c_{2}=0$

Warum wir bei den Koeffizienten die Doppelindizes, die von Leibniz stammen, schreiben, wird bald klar werden. Es handelt sich dabei nicht um „a elf“ und „a zwölf“, sondern um „a eins eins“ und „a eins zwei“ usw. Die erste Zahl des Doppelindex zeigt die „Zeile“, die zweite die „Spalte“ an. Das allgemeine Schema von Doppelindizes also lautet:

$11,12,13,14,\;......\;1n$

$21,22,23,24,\;......\;2n$

$31,32,33,34,\;......\;3n$

$41,42,43,44,\;......\;4n$

$\;\vdots \quad \vdots \quad \;\vdots \quad \vdots \quad ......\quad \vdots$

$\;\vdots \quad \vdots \quad \;\vdots \quad \vdots \quad ......\quad \vdots$

$\;\vdots \quad \vdots \quad \;\vdots \quad \vdots \quad ......\quad \vdots$

$n1,n2,n3,n4,\;......nn\;$

Auf unsere Gleichungen übertragen, heißt etwa $a_{53}$ (a fünf drei), daß wir den Koeffizienten vor uns haben, der in der fünften Gleichung des Systems der dritten Unbekannten $x_{3}$ zugeordnet ist.

Dies vorausgesetzt, wollen wir nun unsere beiden Gleichungen behandeln. Wenn wir jeweils eine der Unbekannten dadurch eliminieren, daß wir die erste Gleichung mit $a_{22}$ und die zweite mit $-a_{12}$ multiplizieren, bzw. die erste mit $a_{21}$ und die zweite mit $-a_{11}$ und hierauf entsprechend die beiden Gleichungen addieren, dann erhalten wir als „Lösungssystem“ für die beiden Gleichungen die Werte:

$\textstyle x_{1}=-{\frac {a_{22}c_{1}-a_{12}c_{2}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}}$

und

$\textstyle x_{2}=-{\frac {a_{11}c_{2}-a_{21}c_{1}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}}$

Hierbei fällt uns bereits auf, daß im Nenner in beiden Fallen dieselbe Größe, nämlich $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ steht. Wäre etwa dieser Ausdruck gleich Null, dann würden sich keine Lösungen für die Gleichungen ergeben. Daher ist dieser Ausdruck bestimmend für das Gleichungssystem, determiniert es, ist seine „Determinante“. Das ist aber bloß eine der Aufgaben der Determinantentheorie und vorläufig nur eine Spracherkärung. Erst eine eigene Schreibweise und die Erkenntnis, daß die Determinante einen rein kombinatorischen Charakter hat, wurde der Schlüssel für alles weitere. Man erfand also als Schreibung dieser höchst wichtigen Größe die Darstellung

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}$

die, wie jeder solche Operationsbefehl, ihre eigene Regel der Behandlung hat. Man multipliziert namlich in unserem Falle einfach die Diagonalen, wobei man von der ersten Diagonale $a_{11}a_{22}$ die zweite $a_{12}a_{21}$ subtrahiert.

Auf nähere Einzelheiten können wir nicht eingehen. Wir teilen deshalb nur mit, daß eine ganze Algebra der Determinanten möglich wurde, bei der solche zwischen Strichen stehende Schemata wie neue „Überzahlen“ behandelt werden und addiert, subtrahiert, multipliziert, sogar differentiiert werden können. Außerdem gibt es eine große Anzahl von Regeln und Sätzen, die es uns erlauben, sofort allerlei Eigenschaften dieser Determinanten zu erkennen. So ist es etwa leicht möglich, zu sehen, wann eine Determinante Null wird, was weiter heißt, daß das betreffende Gleichungssystem keine Lösungen hat.

Damit der Leser aber doch wenigstens oberflächlich das praktische Funktionieren der Determinanten als Mittel zur Gleichungslösung sieht, wollen wir ein höchst einfaches konkretes Zahlenbeispiel geben. Wir hätten die beiden Gleichungen

$3x+4y+1=0$

und

$5x+2y+6=0$

mittels Determinanten zu lösen. Wenn wir so weit geübt sind, uns die richtige Reihenfolge des allgemeinen Indexschemas vorzustellen, und wenn wir bedenken, daß die Koeffizienten 3 und 4 der ersten Gleichung $a_{11}$ und $a_{12}$ und die Koeffizienten 5 und 2 der zweiten Gleichung $a_{21}$ und $a_{22}$ bedeuten, dann wissen wir schon, daß die Determinante

${\begin{vmatrix}3&4\\5&2\end{vmatrix}}$

lauten muß und als Ergebnis $3\cdot 2-4\cdot 5=-14$ liefert.

Das ist aber noch nicht mehr als die Gewähr, daß das System lösbar ist. Die endgültigen Lösungen sind

$x=-{\frac {\begin{vmatrix}1&4\\6&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&4\\5&2\end{vmatrix}}}$

und

$x=-{\frac {\begin{vmatrix}3&1\\5&6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&4\\5&2\end{vmatrix}}}$

da ja auch die Zähler als Determinanten gewonnen werden können, und zwar wieder nach bestimmten Gesetzen, die sich aus dem von uns oben angeführten Lösungssystem ergeben. Auch hier können wir keine weiteren Einzelheiten bringen, sondern zeigen bloß die Schlußausrechnung. Hiernach ist

$x=-{\frac {-22}{-14}}=-{\frac {22}{14}}$

und

$y=-{\frac {13}{-14}}={\frac {13}{14}}$

was sich bei Einsetzen in obige Gleichungen als richtig erweist.