Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 145c

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Geschichte der Mathematik (Teil 45)

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Vierzehntes Kapitel

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EVARISTE GALOIS

Mathematik als Verallgemeinerung

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Daß Gleichungen aller Arten und Systeme von Gleichungen stets ein bevorzugter Gegenstand mathematischer Forschung waren, ist deshalb begreiflich, weil sich fast nirgends wie bei der Gleichung die Zauberkraft des Algorithmus offenbart. Irgend etwas ist uns unbekannt und alle Überlegung nutzt nichts, es zu finden. Gedankengänge und Zahlen, Beziehungen und Proben verwirren sich und versagen. Da nehmen wir ein armseliges Zettelchen und einen Bleistift zur Hand, „setzen“ die Gleichung „an“ und überlassen uns weiterhin ebenso neugierig wie vertrauensvoll der Automatik des Verfahrens. Und erhalten in jeder gewünschten Schärfe das Ergebnis.

Nein, nicht doch! Nicht stets erhalten wir dieses Resultat. Denn je höher der „Grad“ der Gleichung wird, desto größere Schwierigkeiten türmen sich vor uns auf und betrügen uns schließlich um die Waffe, die wir schon fest in unserer Hand wähnten. Gut, die Gleichung steht da. Gelöst müßte sie unsere Frage beantworten. Wenn nur der „Grad“ uns nicht alles weitere versperrte.

Wir wissen aus unseren bisherigen Untersuchungen, daß dieses Hindernis sehr bald auftritt. Schon die Gleichung dritten Grades, noch mehr die biquadratische oder viertgradige Gleichung erfordert allerlei verwickelte Umwege, und auch diese versagen in den „irreduziblen“ Fällen. Nun kann man aber, speziell bei physikalischen oder technischen Problemen, der Unbekannten durchaus nicht a priori vorschreiben, welchen höchsten Grad sie bei einem vielleicht lebenswichtigen Problem annehmen soll. Hilfesuchend wendet sich der Ingenieur oder Physiker an den Mathematiker. Und dieser muß bedauernd die Achseln zucken, wenn nicht ein Zufall ihm die Möglichkeit von Kunstgriffen bietet, die eine höhergradige Gleichung auf lösbare Grade zurückzuführen oder zu reduzieren gestattet.

Das schlimmste aber war bei dieser dunklen Angelegenheit, bei diesem Skandal der Mathematik (der allerdings nur einen der zahlreichen anderen „Skandale“ unserer Wissenschaft bildete), daß man nicht einmal wußte, ob Unmöglichkeit oder bloße Unfahigkeitzden Weg zur Auflösung höhergradiger Gleichungen abriegelte. Noch im siebzehnten und achtzehnten Jahrhundert hoffte man mehr als einmal, die Zukunft werde plötzlich Erleuchtungen auf diesen Gebieten bringen, was um so wahrscheinlicher war, als etwa Euler das ganze Gebiet der Gleichungen mit viel neuem Licht erfüllte und auch Cramer, Lagrange und später Cauchy allerlei sehr wichtige Beiträge zur Gleichungslehre lieferten. Ganz zu schweigen vom sogenannten „Fundamentalsatz der Algebra“, der besagt, eine Gleichung müsse so viele Lösungen besitzen, als die jeweils in der Gleichung enthaltene höchste Potenz der Unbekannten anzeige. Dieser Satz, der stets geahnt und zum Teil schon gehandhabt wurde, erscheint bei Girard im Jahre 1629 als Behauptung, wird von Descartes und den folgenden Algebraikern mehr oder weniger vorausgesetzt und von D'Alembert im Jahre 1746 sichergestellt, bis er dann speziell von Gauß in den ersten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts durch mehrere Beweise vollkommen unanfechtbar gemacht wird.

Wir wollen aber jetzt die prinzipielle Erörterung der für unsere Zwecke genügend angedeuteten Probleme der Gleichungslehre verlassen, um uns zwei Biographien zuzuwenden, deren Helden für alle Zeiten mit der tieferen Durchdringung der Gleichungen verknüpft sein werden. Wir meinen damit Niels Henrik Abel und Evariste Galois.

Abel wurde 1802 als Sohn eines Pastors zu Finhö in Norwegen geboren und war schon zu einer Zeit, da andere Menschen mit roten Backen im Schnee herumtollen und einem ahnungsschweren Zukunftsglück entgegenträumen, dreifach vom Schicksal gezeichnet. Armut, Schwindsucht und Melancholie leiteten ihn als finstere Paten in ein Leben, das ungeachtet seiner abgründigenfi Leistungsgewalt doch kein eigentliches Leben werden sollte. Trotz allem glühte in der schwachen Brust dieses N ordländers ein unbändig dämonischer Drang, der sich speziell auf mathematische Bereiche erstreckte und den jungen Mann befähigte, als purer Autodidakt tief in unsere Wissenschaft einzudringen. Schon im Jahre 1822 finden wir ihn an der Universität Christiania und 1823 scheint eine weltbewegende Entdeckung zum erstenmal Licht in sein düsteres Dasein zu bringen. Er glaubt, als erster in der Geschichte der Mathematik, die allgemeine Methode zur Auflösung der Gleichung fünften Grades gefunden zu haben. Die innere Tragödie des folgenden Jahres ist kaum auszudenken. Wir ahnen nur, daß er in Fiebernächten seine „Entdeckung“ mehr und mehr zerbröckeln sieht und daß dadurch für ihn Stück um Stück des kaum gehofften Glückes auf Nimmerwiedersehen entschwindet und sich in Dunst auflöst. Verzweifelt führt er im Jahre 1824 gegen sich selbst den zerschmetternden Schlag. Er beweist, auch diesmal als erster in der Geistesgeschichte, daß die Gleichung fünften Grades durch Wurzelziehen nicht lösbar ist. Ein neuer Umschwung vollzieht sich in seinem Geschick. Man erkennt „maßgebenden Ortes“ sofort die ungeheure Bedeutung dieser scheinbar bloß negativen Tat, die für alle Zeiten der Forschung eine klare Grenze setzt und überflüssige Bemühungen verhindert, und man verleiht ihm ein immerhin nennenswertes Stipendium. Neue Hoffnung schimmert in Abel auf und er reist zum Oberbaurat Crelle nach Berlin, der sich im Jahre 1826 durch die Begründung des berühmten „Crelleschen Journals“, einer führenden Publikation mathematischen Inhaltes, ein äußerst großes Verdienst erwarb, wie er überhaupt auch auf anderen mathematischen Gebieten organisatorisch tätig war. In diesem Journal nun veröffentlicht Abel seine grundlegenden Erkenntnisse über die Gleichungen fünften Grades und über die Konvergenz der binomischen Reihe, welch letztere Untersuchungen von Gauchy beeinflußt waren. Noch im Jahre 1826 reiste Abel nach Paris, um den schon damals hochberühmten Cauchy zu besuchen, den er ja als Lehrer aus der Ferne verehrte. Gauchy aber, dessen Charakter mit seiner Leistung oft nicht in Einklang stand, und der mehr als einmal häßliche Anwandlungen von Mißgunst, ja von Bösartigkeit hatte, empfängt Abel einfach nicht. Auch diese Tragödie ist kaum auszudenken. Mit den letzten Pfennigen des Stipendiums, mit mühselig erschufteten Stundenhonoraren, war Abel bis nach Paris gelangt, um gerade dort verschlossene Türen zu finden, wo ihn neben allem Interesse auch noch eine große geistige Liebe hinzog. Doch auch dadurch ist der unselige Jüngling, dessen Krankheit sich stets verschlimmert, noch nicht vollstandig geknickt. Im Gegenteil. Sein Genie rafft sich noch einmal zu einer Riesentat auf, indem er das nach ihm benannte Abelsche Theorem entdeckt und veröffentlicht, das eine Verallgemeinerung des Eulerschen Additionstheorems elliptischer Integrale darstellt. Hierzu sei bloß angemerkt, daß „elliptische Integrale“, ungefahr ausgedrückt, Integrale sind, unter denen die Variable in einer verwickelteren Irrationalität vorkommt, wie etwa beim Integral

\int {\sqrt {(a_{1}x^{3}+...+a_{4}x^{0})}}dx

oder

\int {\sqrt {(a_{1}x^{4}+...+a_{5}x^{0})}}dx

.

Zu derartigen Integralen gelangt man in der Praxis haufig und ihre Lösungsschwierigkeit war schon längst bekannt, weshalb stets erneute Versuche gemacht wurden, diesem Gebiete beizukommen. Abel nun gelang es auch noch, die Inversion solcher Integrale zu durchleuchten und die mit den elliptischen Integralen in engem Zusammenhang stehende Teilung der „Lemniskate“ (einer höheren Kurve) durchzuführen. Auch dringt Abel zu dieser Zeit in das Gebiet der komplexen Zahlen vor.