Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 131c

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Geschichte der Mathematik (Teil 31)

Trotz aller Tiefensehnsucht liegt nämlich ein gewisser leichtsinniger und tollkühner Zug im „Faustischen“, ohne den es nicht bestehen und wirken könnte. So war die erste Aufnahme der griechischen Mathematik, also ihre Bekanntwerdungsphase, nicht viel mehr als eine Reihe von Halb- und Mißverständnissen gewesen, sofern es sich nicht um ganz elementare Dinge drehte. Aber eben im Halbverstandenen lag ein mystischer Antrieb. Man wollte alles durchdringen, schoß oft weit über das Ziel und entdeckte dadurch Neues. Allerdings recht systemlos und sehr unbeschwert von logischen und philosophischen Skrupeln. Als man nun aber zu Beginn des siebzehnten nachchristlichen Jahrhunderts schon eine Fülle von Ergebnissen in der Hand hatte, die manchmal mächtig über die Resultate der Antike hinausragten, wollte man den strengen Geist der alten Hellenen teils ehrfürchtig als Kontrolle für das Erreichte heranziehen, teils wollte man in den althellenischen Forschungen Anfänge und Lücken aufspüren, an die man für weiteren Aufstieg anknüpfen,bzw. die man schließen konnte. Dabei geriet man durch das sich zunehmend vertiefende Verständnis der alten Schriften oft in großes Erstaunen und wurde geneigt, trotz aller eigenen Erfolge das Form- und Wissenschaftsideal der griechischen Werke als Vorbild anzuerkennen, denen man, wenn auch nicht inhaltlich, so doch strukturell und in der Geisteshaltung nachzueifern hätte. Auch dieser Prozeß dauert noch heute an. Denn all das, was sich um die Forderung äußerster „Strenge“ gruppiert, ist nichts andres als ein griechisches, speziell an Euklid orientiertes Streben.

Nun wäre aber, trotz dieser unleugbaren sachlichen und formalen Wiederaufnahme griechischer Denkkategorien, der faustische Geist nicht das gewesen, was er ist, wenn sich nicht auch zum Teil eine sehr revolutionäre Stimmung gegen diesen griechischen Zwang geregt hätte. Hellas mußte also sozusagen zugleich aufgenommen und zertrümmert werden. Und gerade hier liegt auch der tiefe Gegensatz zwischen Fermat und Descartes. Fermat steigt über spezielle Gleichungsprobleme zahlentheoretischer Farbung, die wir in unsrem Diophantos-Kapitel kennengelernt haben, zu einer selbständigen Begründung einer eigenen Zahlentheorie auf. Hier also revolutioniert er und wird, über Diophantos hinaus, zur Epoche. In der Geometrie aber fühlt er sich, trotz seiner Entdeckung wirklicher Koordinaten, bloß als Sachwalter des Griechentums und „rezipiert“ im engeren Sinne des Wortes, indem er die Geometrie als die unverrückbare Achse der Mathematik anerkennt und daher nichts andres zu tun beabsichtigt, als Geometrie durch Arithmetik und Algebra zu unterstützen und zu bereichern.

Die Haltung des Descartes ist eine weit andere. Für ihn gehen nicht nur die Arithmetik und Algebra rein logisch der Geometrie voran, sondern sie sind ihr außerdem noch sachlich übergeordnet, indem sie die weit allgemeinere Größenlehre darstellen, die „unter anderem“ auch auf die Geometrie angewendet werden kann. Dieses „unter anderem“ ist der springende Punkt. Denn durch eine solche Auffassung ist der griechischen Wertung der Todesstoß versetzt. Die Geometrie ist als Königin der Mathematik endgültig gestürzt, und an die Stelle der geometrisierten tritt die algebraisierte Mathematik.

Da nun unsre letzte Behauptung sicherlich verblüffend wirkt und da es sich dabei auch um nicht ganz einfache Probleme handelt, müssen wir ein wenig bei der eigentlichsten Auffassung des Gartesius verweilen: dies um so mehr, als ja sein Werk merkwürdigerweise „Geometrie“ heißt.

Wir wollen ihn also sofort selbst sprechen lassen und zitieren nach der neuesten Auflage der Schlesingersehen Übersetzung vom Jahre 1922. Descartes sagt zu Beginn des ersten Buches seiner „Geometrie“ (1637):

„Alle Probleme der Geometrie können leicht auf einen solchen Ausdruck gebracht werden, daß es nachher nur der Kenntnis gewisser gerader Linien bedarf, um diese Probleme zu konstruieren. Und gleichwie sich die gesamte Arithmetik nur aus vier oder fünf Operationen zusammensetzt, nämlich aus den Operationen der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation, der Division und des Ausziehens von Wurzeln, das ja auch als eine Art von Division angesehen werden kann: so hat man auch in der Geometrie, um die gesuchten Linien so umzuformen, daß sie auf Bekanntes führen, nichts andres zu tun, als andre Linien ihnen hinzuzufügen oder von ihnen abzuziehen; oder aber, wenn eine solche gegeben ist, die ich, um sie mit den Zahlen in nähere Beziehung zu bringen, die Einheit nennen werde und die gewöhnlich ganz nach Belieben angenommen werden kann, und man noch zwei andre hat, eine vierte Linie zu finden, die sich zu einer dieser beiden verhält wie die andre zur Einheit, was dasselbe ist wie die Multiplikation; oder aber eine vierte Linie zu finden, die sich zu einer der beiden verhält wie die Einheit zur anderen, was dasselbe ist wie die Division. Oder endlich eine oder zwei oder mehrere mittlere Proportionalen zu finden zwischen der Einheit und irgendwelchen andern Linien, was dasselbe ist wie das Ausziehen der Quadrat- oder Kubikwurzel usw. - Und ich werde mich nicht scheuen, diese der Arithmetik entnommenen Ausdrücke in die Geometrie einzuführen, um mich dadurch verständlicher zu machen...“

„Hierbei ist zu bemerken, daß ich unter $a^{2}$ oder $b^{3}$ oder dergleichen gewöhnlich nur einfache Linien verstehe, und daß ich nur, um mich der in der Algebra gebrauchten Bezeichnungen zu bedienen, dieselben als Quadrate, Kuben usw. benenne.“

Wir wollen jetzt diese gleich am Beginn der Descartesschen „Geometrie“ stehenden Sätze ein wenig näher prüfen. Ihr Inhalt ist revolutionärer, als es auf den ersten Blick erscheint. Denn hier schon ist das wichtigste Koordinierungsprinzip ausgesprochen: das Prinzip der Zuordnung einer Länge zu jeder Zahl, gleichviel, wie diese Zahl entstanden ist. Die Quantität $a$ ist als eine Länge darstellbar, die Summe $(a+b)$ oder die Diffeerenz $(a-b)$, gleichfalls aber auch das Produkt $a\cdot b\cdot c\cdot d...$ oder der Quotient $a:b$. Damit aber noch nicht genug.

Auch $a^{2}$ oder $a^{3}$ oder $a^{4}$ oder $a^{n}$ kann als Länge betrachtet werden und die Wurzelwerte jedes Grades ebenso. Damit ist die Geometrie ihrer algebraischen Aufgabe enthoben. Der Dimensionsbegriff bzw. die Schranke, die die Dimension jeder geometrischen Algebra setzte, ist gefallen und das Prinzip der Homogeneität ist nur mehr fiktiv und formal aufrechterhalten. Jede Art von Größen ist auf dieselbe Dimension gebracht, denn wir arbeiten nur mehr mit Zahlenlinien. Wobei auch alle Potenzen der Unbekannten nichts als Längen oder, vorläufig noch unbestimmte, Punkte der Zahlenlinie bedeuten. Wir empfinden diese algebraische Großtat des Descartes nicht mehr als so erschütternd, weil uns seine „Methode“ in Fleisch und Blut übergegangen ist. Aber es war eine vorerst algebraische Großtat, die die zweite Großtat der eigentlichen Koordinatengeometrie erst ermöglichte. Und wenn Zeuthen sagt, seit Descartes sei die Mathematik aus dem Stadium des Handwerksbetriebes in das Stadium der Großindustrie eingetreten, müssen wir diesem Bilde zustimmen. Dabei sprechen wir vorläufig nur von der „Geometrie“ und nicht vom „Calcul des Monsieur Descartes“. Wir werden auf diese zweite Schrift zurückkommen, in der alles Gesagte noch deutlicher wird.

Descartes selbst hat seine revolutionäre Tat sehr richtig erkannt. Er sagt, einige Seiten später: „... Dies scheinen die Alten nicht bemerkt zu haben, da sie sonst die Mühe gescheut hätten, darüber so viele dicke Bücher zu schreiben, in denen schon allein die Anordnung ihrer Lehrsätze erkennen läßt, daß sie nicht im Besitze der wahren Methode waren, die alle diese Lehrsätze liefert, sondern daß sie nur diejenigen, die ihnen begegnet sind, aufgelesen haben.“ Und an andrer Stelle: „Hier bitte ich auch, beiläufig bemerken zu wollen, daß die Bedenken der Alten gegen den Gebrauch von Bezeichnungen der Arithmetik in der Geometrie (das nur daraus entspringen konnte, daß ihnen der Zusammenhang dieser beiden Disziplinen nicht hinreichend klar geworden war), eine gewisse Dunkelheit und Schwerfalligkeit des Ausdrucks verursachte...“

Die zweite Stelle bezieht sich auf Apollonios bzw. auf Pappos. Auf jeden Fall sind diese Urteile mehr als hart. Und sie schießen auch sicherlich zum Teil weit übers Ziel. Aber wir wollten ja an ihnen nur beweisen, wie sehr sich Descartes über die eigene Tat im klaren befand. Die Griechen, um es zu wiederholen, waren für Descartes nicht im Besitz der „richtigen Methode“. Sie sahen nicht die Identität von Algebra und Geometrie. Sie bauten daher nicht synthetisch aus der Algebra gleichsam eine allgemeine Formenlehre, die man dann, unbeschwert von den rein realen und inhaltlichen Fragen der Dimension, des Raumes usw., so weit zur Höhe türmen konnte, als man nur immer wollte. Hat man aber einmal die Formen oder Quantitäten ganz allgemein durch die Zauberkräfte des Kombinatorischen und Algorithmischen aufgebaut, dann gibt es jederzeit eine Rückkehr zu den tief unter dieser allgemeinsten Algebra liegenden Disziplinen der Arithmetik und der Geometrie. Beide sinken zu Anwendungsgebieten zurück.

Wenn auch Descartes selbst diese Ansichten nicht so scharf formuliert hat, so können wir sie gleichwohl schon aus den Kommentaren seiner nachsten Nachfolger entnehmen. So schreibt etwa der Cartesianer Erasmus Bartholin im Vorwort zur „Geometrie“-Ausgabe im Jahre 1659: „Im Anfang war es nötig und nützlich, unsrer Fähigkeit des reinen Denkens Hilfen zu schaffen; deshalb nahmen die Geometer ihre Zuflucht zu den Figuren, die Arithmetiker zu den Zahlenzeichen, andre zu andern Hilfsmitteln. Aber derartige Verfahren scheinen großer Geister, solcher, die nach dem Namen eines Gelehrten streben, nicht würdig zu sein. Solch großer Geist war Descartes.“ Und in dem schon von uns erwähnten „Calcul“ hat Descartes tatsächlich versucht, eine Algebra aufzustellen, die jeder konkreten Zahl oder jeder Figur ausweicht.

An dieser Stelle müssen wir beifügen, daß Descartes auch rein äußerlich fast genau dieselbe Schreibweise oder „Notation“ anwendet, die sich bis heute erhalten hat. Das ist für seine Taten irgendwie ein Prüfstein. Denn wir werden bei Leibniz sehen, daß das Wissen um mathematische Beziehungen unter Umständen hinter die Wichtigkeit adäquatester Notation zurücktritt. Dies, weil die Mathematik irgendwo doch ein lullischer Gedankenzauber ist, und die Geister nur erscheinen, wenn man sie mit der richtigen Zauberformel beschwört.

Descartes hatte sich also nicht weniger zum Ziel seiner Methode gesetzt, als den vollständigen Neuaufbau der ganzen Mathematik aus einfachsten Voraussetzungen heraus, die zudem nicht wie bei Euklid geometrische, sondern algebraische Voraussetzungen waren. Die Geometrie mußte bei dieser Methode irgendwie und irgendwann als reife Frucht „herausfallen“, wie man heute gerne sagt.

Wir betonen, daß diese Hoffnung, soweit sie universelle Vollständigkeit betraf, übertrieben war. Zum Großteil aber stimmte sie, und es ist uns heute selbstverständlich, jede algebraische Form als Kurve und jede Kurve wieder als algebraische Form deuten zu können.

( Kurve ist hier weitesten Sinne gemeint. Formen mit mehr als zwei Variablen smd selbstverständlich Flächen, Korper oder noch höhere Mannigfaltigkeiten.)

Allerdings ist der Beweis vollster Berechtigung dieser Identität erst seit neuester Zeit, insbesondere seit Hilbert, lückenlos begründet.