Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 074c

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Mathematik von A bis Z (Teil 11)

11

Elftes Kapitel

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Algebraische Operationen

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Nun wissen wir aber schon so viel von der Algebra, daß wir uns mit ihren Rechenregeln befassen müssen. Vor allem leuchtet es uns ein, daß wir den Algorithmus der Ziffernsysteme nicht ohne weiteres auf unsere Buchstaben übertragen können. Wir können weder wirkliche Stellenwertsysteme bilden, da ja alles all gemein und unbestimmt bleiben soll, noch können wir etwa in der Art des Ziffernrechnens addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Dies auch deshalb nicht, weil ja dieser Algorithmus direkt mit dem Stellenwertprinzip zusammenhängt. Wenn man sagte: a+b=c, bleibt eins — würde auch ein Nichtmathematiker mit Recht lachen.

Wir wollen uns jetzt also, stets unsere Äpfel, Birnen usw. vor dem inneren Auge, zuerst die Grundrechnungsarten zusammensuchen und dann etwas kühner werden.

a+b heißt, daß ich zwei zwar konstante aber beliebige, voneinander verschiedene Größen addieren soll. Verschieden sind sie, weil ich sie verschieden benannt habe. Was soll ich damit anfangen? a+b bleibt a+b, wenn ich bloß „ausrechnen“ will. Höchstens kann ich sagen, es sei auch b+a, da bei der Addition das Gesetz der Kommutativität, der Vertauschbarkeit der Summanden, gilt. Weiter ist a+b+c+d natürlich auch nur a+b+c+d oder a+b+d+c oder b+c+a+d usw., a+a=2a, das wissen wir schon. Folglich ist etwa

a+ a + a + b + b + c + c + c + c + d = 3a + 2b + 4c + d.

Den Koeffizienten 1 schreibt man nicht, d heißt soviel wie 1d oder 1 mal d. Indiziert geschrieben, wobei ich besser die verpönten Buchstaben vermeiden kann, hätte ich für das vorherige Gestaltbild:

$a_{1}+a_{1}+a_{1}+a_{2}+a_{2}+a_{3}+a_{3}+a_{3}+a_{3}+a_{4}=$

$3a_{1}+2a_{2}+4a_{3}+a_{4}$.

Nun hätte ich zwei additive Ausdrücke vor mir, die ich addieren soll. Etwa:

        3a + 27b + 10c +   d + 15e +   8f und 
        7a +  0b +  9c + 13d +  6e + 101f 
-----------------------------------------
Summe: 10a + 27b + 19c + 14d + 21c + 109f. 

Wie man sieht, addiert man einfach die Koeffizienten und hat (natürlich ohne Stellenwert) eine Art von Additionsschema aufgestellt. Ich hätte die beiden Ausdrücke, durch ein Pluszeichen verbunden, mit oder ohne Klammern, einfach in eine lange Reihe schreiben können. Etwa so:

(3a + 27b + 10e + d + 15e + 8f) + (7a + 0b + 9c + 13d + 6e + 101f) =

3a + 27b + 10c + d + 15e + 8f + 7a + 0b + 9c + 13d + 6c +101f =

10a + 27b + 19c + 14d + 21c+109f.

Natürlich kann man verschieden indizierte oder mit verschiedenen Potenzanzeigern versehene, daher nur scheinbar gleiche Größen nicht addieren, d. h. nicht durch neue Koeffizienten verschmelzen. $a_{1}+a_{2}=a_{1}+a_{2}=a_{2}+a_{1}$, was ich auch immer treibe. Ebenso ist $a^{2}+a^{0}+a^{3}$ nie etwas anderes als $a^{2}+a^{0}+a^{3}$ oder steigend geordnet $a^{0}+a^{2}+a^{3}$ oder fallend geordnet $a^{3}+a^{2}+a^{0}$ oder ungeordnet $a^{2}+a^{3}+a^{0}$ oder $a^{3}+a^{0}+a^{2}$ oder $a^{0}+a^{3}+a^{2}$. Kurz, es sind im zweiten Beispiel zwar sechs Permutationen der Reihenfolge möglich, da drei Elemente vorliegen (Zahl der Permutationen also 3!=1•2•3=6), aber ansonsten ändert sich das Gestaltbild durchaus nicht. Die Subtraktion, so sagten wir, sei einseitig gerichtet, a-b ist also nichts als a-b.

Und 2a-6b+7c-a+4b-2c ist soviel wie 2a-a+4b-6b+7c-2c oder a ..: hier stocken wir. Denn plötzlich steht ein neuer Begriff vor uns. Wir können zwar die a und die c behandeln, nicht aber die b. Denn wie soll ich von 4 Birnen 6 Birnen abziehen? Wir wollen uns simpel aus der Schlinge befreien. Ebenso, sagen wir, wie ein Kaufmann, der 100 Zechinen besitzt und 120 schuldet, diese Tatsache verbucht. Er bleibt eben 20 Zechinen schuldig, besitzt minus 20 Zechinen, wenn das Paradoxon gestattet ist. In der Mathematik ist es sicherlich gestattet. Unsere Rechnung ergibt als Abschluß a, 5c und minus 2b, oder angeschrieben a-2b+5c oder a+5c-2b oder 5c-2b+a usw. Wenn wir aber nur 4b-6b zu berechnen hätten, müßten wir schreiben 4b-6b= -2b. Damit sind wir zum Begriff der negativen Zahlen vorgestoßen, die wir als negative konkrete und negative allgemeine (algebraische) Zahlen betrachten wollen. Wir können sie uns als Abschnitte auf einer Linie aufgetragen denken.

Fig. 4

Die Null ist an sich keine Zahl. Sie wird nur oft behandelt, als ob sie eine Zahl wäre. Sie ist das Nichts. Und ist deshalb weder allgemein noch konkret oder beides. Wie man will. Es ist unüblich, bei positiven (Plus-) Zahlen das Pluszeichen zu schreiben. Bei negativen Zahlen oder Minuszahlen muß man das Minuszeichen schreiben. Dies ist eine Analogie zur Schreibung der nächsthöheren zusammensetzenden und auflösenden Operation. Dreimal a schreibt man 3•a oder 3×a oder 3a. Gewöhnlich 3a. Die Operation 3:a kann man nur 3:a oder ${\frac {3}{a}}$ schreiben.

Nun müssen wir aber noch die Klammern einführen, um zu höherer Betrachtungsweise aufsteigen zu können. Die Klammern, die wir schon einige Male kommentarlos verwendeten, etwa beim Binomial-Koeffizienten, bedeuten, daß alles, was innerhalb der Klammern steht, gleichsam als eigenes Reich, zusammengehört. Wenn man den Inhalt der Klammern herausnimmt, kann man die Klammern weiter nicht beachten und mit dem Inhalt so verfahren, als ob es ein selbständiger Ausdruck wäre. Etwa

10.000 - (5020 + 23 - 448) = ?

Zuerst nehme ich den Inhalt der Klammern, rechne ihn aus, erhalte 4595 und kann jetzt ohne Klammern 10.000-4595=5405 schreiben. Wenn ich jedoch gedacht hätte, die Klammer sei überflüssig, und sie vor der Berechnung ihres Inhaltes fortgelassen und geschrieben hätte: 10.000-5020+23-448, würde ich 4555, also etwas durchaus Falsches erhalten haben. Versuchen wir noch ein anderes Beispiel

15.375 - 320 + (8220 - 26 + 400) = 
   15.055    +       8594        = 23.649. 

Schreibe ich nun in unerlaubter Art:

15.375 - 320 + 8220 - 26 + 400, so erhalle ich merkwürdigerweise auch 23.649, also die richtige Zahl. Wie ist das zugegangen ? Darf man also Klammern einfach fortlassen? Um es gleich zu verraten: Man darf sie fortlassen, wenn ein Pluszeichen unmittelbar vor der Klammer steht, und man darf sie nicht oder erst nach Ausrechnung oder nach bestimmten Veränderungen fortlassen, wenn ein Minuszeichen unmittelbar vor der Klammer steht. Um dies aber zu erklären, müssen wir tiefer in das Wesen der negativen Zahlen eindringen. Hiezu wollen wir sämtliche Zahlen mit „Vorzeichen“ (+ oder -) versehen und in Klammern setzen, um die „Vorzeichen“ von den „Operationsbefehlen“ zu unterscheiden, die mit den gleichen Zeichen (+ oder -) geschrieben werden. 5+7 heißt nämlich, sobald wir einmal nicht mehr nur mit natürlichen, sondern mit positiven und negativen Zahlen zu rechnen haben, eigentlich soviel wie (+5) + (+7), was (+12) ergibt. Eine Subtraktion wie 12-7=5 heißt aber soviel wie (+12)-(+7)=(+5).

Nun wollen wir uns den Sinn der beiden Rechnungsoperationen, Addition und Subtraktion, einmal auf der Zahlenlinie ansehen, bevor wir uns mit den Operationen mit negativen Zahlen befassen.

Fig. 5

Es ist ohne viel Nachdenken einleuchtend, daß der „Additionsbefehl“ auf dieser Zahlenlinie in verschiedener Art befolgt werden kann. Addieren wir von Null nach rechts, also lauter positive Zahlen, dann muß ich durch Addition stets weiter nach rechts rücken. Etwa: (+l)+(+2)=(+3) und hierauf (+3)+(+l)=(+4) usw. Addiere ich nun gleichsam das Spiegelbild, also links der Null (-1)+(-2), so erhalte ich (-3). Und weiter (-3)+(-1)=(-4). Denn ich habe gleichsam Schulden aufeinander gehäuft. Bei Subtraktionen, die entweder nur rechts oder nur links von der Null bleiben, muß die Richtung umgekehrt sein. Ich rücke von außen gegen die Null vor. Also etwa (+4)-(+3)=(+1) oder im Spiegelbild: (-4)-(-3)=(-1), in welchem Fall ich gleichsam von der Schuldsumme 4 die Schuldsumme 3 weggenommen, mich also entschuldet, d. h. näher an die Null (die Schuldenfreiheit) herangepürscht habe. Anders müssen die Verhältnisse liegen, wenn ich bei meinen Rechnungen die Null überschreite. Ich hätte etwa (+3) und (-2) zu addieren. Hier muß ich sozusagen die Zahlenlinie bei der Null zerschneiden und die Teile entsprechend aneinanderlegen.

Fig. 6

Und zwar so weit, daß jede Minusgröße oberhalb der entsprechenden Plusgröße steht. Sind Schulden und Guthaben in dieser Art gleichgemacht, dann sehe ich zu, ob sich bei einer dieser beiden Kategorien ein Uberschuß ergibt. Da ich aber weiters durch die gegenseitige Aufhebung der Schulden und der Guthaben einen neuen Nullpunkt erzeugt habe, schreibe ich ihn in Klammern zu dem Teil der Zahlenlinie, auf dem sich der Überschuß ergab. Hier also zu dem „Plus“-Teil. Und numeriere von dieser neuen Null weiter. Die untere Zahl (hier +3) zeigt an, wieweit ich vorrücke, die obere, eingeklammerte, zeigt das Ergebnis, hier also (+1) an. Daher: (+3)+(-2)=(+1). Hiezu wieder das Spiegelbild:

Fig. 7

Hier überragt der Minusteil den Plusteil. Plus 2 und Minus 2 heben sich zur neuen Null. Daher Ergebnis: die neue Zahl oberhalb der Minusdrei, also

(-3) + (+2) = (-l).

Nun hätten wir noch die Subtraktion mit Überschreitung der Nullgrenze. Hier müssen wir besonders aufmerksam vorgehen. Wir wählen etwa (+2)-(-1). Was mag das ergeben? Wir haben von einem Guthaben von 2, Schulden im Betrage von 1 wegzunehmen. Wir haben also nicht nur das Guthaben behalten, sondern noch Schulden weggenommen. Folglich ergibt unsere Rechnung: Guthaben 2, weggenommene Schuld 1, also Guthaben 3. Oder (+2)-(-1)=(+3).

Nun wollen wir alle bisher behandelten und dazu noch andere mögliche Fälle untereinanderschreiben, um daraus Regeln ableiten zu können.

 (+l) + (+2) = (+3) 
 (-3) + (-l) = (-4)  
 (+4) - (+3) = (+l)  
 (-4) - {-3) = (-1) 

 (+3) + (_2) = (+l) 
 (-3) + (+2) = (-l)
 (+2) - (-1) = (+3)
 (-2) - (+l) = (-3) 

Wenn wir die Aufstellung sorgfältig betrachten und uns auszudenken versuchen, wie wir die Klammern vermeiden könnten, kommen wir zu folgendem Ergebnis:

 +1+2 = +3 
 -3-1 = -4 
 +4-3 = +1 
 -4+3 = -1

 +3-2 = +1
 -3+2 = -1
 +2+1 = +3
 -2-1 = -3 

Was bedeutet das nun? Wohl nichts anderes, als daß der „Befehl“ sich mit dem „Vorzeichen“ in einer merkwürdigen Art verbinden kann. Die erste Reihe, vor der kein Befehl stand, habe ich unverändert gelassen und einfach die Klammer fortgenommen, da sich durch dieses Fortnehmen durchaus nichts ändern kann, was auch ein Blick auf die Zahlenlinie bestätigt. Wo aber der Befehl vor der Klammer stand, sind nach Fortlassen der Klammer teils Veränderungen eingetreten, teils ist alles beim alten geblieben.

Und zwar hat

+ mit + wieder +,

+ mit - ein -,

- mit + ein -,

- mit - ein + ergeben.

Noch zusammengefaßter: Sind Vorzeichen und Befehl gleich, dann resultiert Plus. Sind sie ungleich, dann resultiert Minus. Diese Regel gilt aber nicht nur für eine Zahl in einer Klammer, sondern auch für mehrere. Eine genaue Ableitung dieser Beziehungen würde sehr langwierig sein. Daher wollen wir uns mit dem Erkannten begnügen und es anzuwenden versuchen. Etwa:

20 - (3 + 5 - 7 + 6 - 9) = 20 - 3 - 5 + 7 - 6 + 9 = 22,

was auch das Resultat wäre, wenn ich den Klammerausdruck ausgerechnet, also 20-(-2), somit 20+2=22 geschrieben hätte. Nun ist uns ein Rätsel klar, das uns vorhin undurchsichtig blieb. Warum wir nämlich bei einem Plus vor der Klammer, die Klammer einfach weglassen können. Trifft nämlich Plus auf Plus, so bleibt das Plus. Trifft es dagegen auf Minus, dann bleibt das Minus. Etwa:

25 + (6 - 8 + 4 + 12 - 3) = 25 + 6 - 8 + 4 + 12 - 3 = 36

oder mit vorheriger Ausrechnung der Klammer 25+11=36. Wir können aber nun auch Zahlen, die größer sind als andere, von diesen subtrahieren. Etwa:

13-20=(+13)-(+20)=(-7) oder 13-20= -7, da ich hier gleichsam mit 13 Zechinen eine Schuld von 20 zahlen soll, also um 7 zu wenig oder 7 Zechinen Schulden habe. Es wird ausdrücklich bemerkt, daß dies alles ein wenig beiläufig vorgetragen wurde. Weit eleganter könnte man auch das Vorzeichen als „Befehl“ auffassen, nämlich als Befehl, auf der Zahlenlinie soweit vorzurücken, als die Zahl anzeigt. Und zwar in der Richtung, die das „Vorzeichen“ befiehlt. Dann heißt (+3) soviel als: „Rücke nach rechts bis 3 vor!“ Und (-7) hieße: „Rücke von der Null nach links bis 7 vor!“ Nun kann dieser Vorrückungsbefehl mit einein Verknüpfungsbefehl (Addition oder SubLraktion) zusammentreffen. Man soll, wie wir es schon versuchten, auf der Zahlculinie umherrücken und dabei verknüpfen. Wenn wir nun von den konkreten Zahlen ganz absehen, und nicht einmal allgemeine Zahlen anschreiben, sondern bloß untersuchen, wie sich ein Zusammentreffen von „Befehlen“ auswirkt, haben wir eine Operation nur mit Befehlen oder ein sogenanntes „Symbolkalkül“ vor uns. Wir dürfen in diesen höchsten Zweig der Kabbala noch nicht näher eindringen. Aber wir wollen feststellen, daß wir einen simplen Fall der „Befehlsverbindung“ oder des „Symbolkalküls“ ausführen, wenn wir sagen, daß sich gleiche Plus- und Minusbefehle zu Plus, ungleiche dagegen zu Minus verknüpfen.

Nun wollen wir zu mehrfachen Klammern vorstoßen. Wir haben sie schon einmal ohne nähere Erklärung angeschrieben. Jetzt wollen wir uns einen Fall solcher ineinandergeschachtelter Klammern ansehen. Es wäre etwa gefordert, daß das Resultat von (3+4-7+2) von 6 abzuziehen sei. Was hiebei herauskomme, sei von 15 abzuziehen und dazu noch 5 zu addieren. Das Ganze aber sei von 23-7+6 zu subtrahieren. Und zwar all dies, ohne eine vorherige Ausrechnung vorzunehmen. Wir setzen an:

(23 - 7 + 6) — {15 - [6 - (3 + 4 - 7 + 2) ] + 5} = ?

Die Regel lautet, daß Klammern, die ich äußerlich als sogenannte runde, eckige und geschwungene voneinander unterschied, am sichersten von innen nach außen aufgelöst werden. Ich könnte auch von außen nach innen auflösen, dies ist jedoch erfahrungsgemäß unsicherer in der Handhabung. Also zuerst die Auflösung der runden Klammern:

23 - 7 + 6 - {15 - [6 - 3 - 4 + 7 - 2] + 5) =?

Dann werde die eckige Klammer aufgelöst:

23 - 7 + 6 - {15 - 6 + 3 + 4 - 7 + 2 + 5} = ?

Und endlich die geschwungene:

23 - 7 + 6 - 15 + 6 - 3 - 4 + 7 - 2 - 5 = 6,

ein Ergebnis, das ich natürlich auch durch Einzelausrechnung der Klammern erhalten hätte. Alles vor den Klammern ist nämlich 22, alles in den Klammern ergibt 16, die Differenz ist also 6. Wenn wir den Vorgang verfolgen, so sehen wir, daß bei der Klammerauflösung manche Ziffer mehr als einmal das Vorzeichen wechselt, bis sie schließlich, nachdem sie in dieser Rechenmaschine durch eine Vielzahl einander kreuzender Befehle hin und her gerissen wurde, im klammerlosen Ausdruck ihr endgültiges Vorzeichen erhält. Es sei nur angedeutet, daß dieser Wechsel eine Multiplikation der Befehle bedeutet, was wir später näher ausführen werden.

Es ist nämlich höchste Zeit, zur Algebra zurückzukehren, die wir bei der Erörterung der Subtraktion verwirrt verließen. Jetzt wird sie uns bei dieser Rcchnungsoperation keine Rätsel mehr aufgeben. Denn wenn ich etwa zwei Äpfel besitze und zwei hergeben muß, habe ich 0 Äpfel oder nichts. Besitze ich aber 6 Äpfel und muß 4 hergeben, dann bleiben mir 2 Äpfel. Besäße ich aber 3 Äpfel und müßte 7 abgeben, so wäre ich 4 Äpfel schuldig. Und hätte ich endlich eine Schuld von 5 Äpfeln und dazu noch eine von 3 Äpfeln, so wäre die Gesamtschuld 8 Äpfel usw.

(+5a) sind 5 Äpfel Besitz, (-8a) sind 8 Äpfel Schulden. Und ich denke, daß wir jetzt die Zwischenstufen nicht mehr zu durchforschen brauchen, sondern gleich zu Klammerausdrückeu übergehen dürfen. Und dies sogar mit verschieden benannten Zahlen.

15a - {6a + [3b + 5c - 2a] + [3c - (5a + b)] + c} =

15a - {6a + [3b + 5c - 2a] + [3c - 5a - b] + c} =

15a - {6a + 3b + 5c - 2a + 3c - 5a - b + c} =

15a - 6a - 3b - 5c + 2a - 3c + 5a + b - c} =

15a - 6a - 3b - 5c + 2a - 3c + 5a + b - c =

16a - 2b - 9c.

Wie man merkt, ist in der Algebra ein sogenanntes „Ausrechnen“ innerhalb der Klammern nur dann möglich, wenn innerhalb der Klammern gleichbenannte Größen stehen. Also etwa:

17a - [6b + (9a - 3b + c + 5a - 2c + b) + 2b] = ?

Hier könnte ich vor der Klammerauflösung

17a - [8b + (14a - 2b - c)] schreiben, was schließlich

17a - [8b + 14a - 2b - c] =

17a - 6b - 14a + c =

3a - 6b + c ergäbe.

Schon die ganze Zeit über hatten wir es auf der Zunge liegen, daß die Addition und auch die Subtraktion vertauschbar in den Einzel bestand teilen ist, wenn man bei jeder Zahl ihr „Vorzeichen“, ihren Befehl stehen läßt; oder auch das Ergebnis aller Befehle, die die Zahl etwa erhalten hätte. Wir gelangen auf diese Art zum Begriff der sogenannten algebraischen oder arithmetischen Summe. Es gibt nämlich, von einem gewissen Gesichtswinkel aus betrachtet, überhaupt keine Subtraktion, sondern nur eine Addition von Plus- oder Minuszahlen.

5 - 3 - 2 + 4 kann ich schreiben

+(+5)+ (-3) + (-2) + (+4).

Man könnte natürlich ebensogut behaupten, es gebe nur Subtraktionen. Und hätte dann gleichsam die algebraische oder arithmetische Differenz.

In unserem Fall -(-5) - (+3) - (+2) - (—4), was wieder dasselbe, nämlich (+4) als Ergebnis liefert. Es existiert also auch ein Gesetz der Kommutativität oder der Vcrtauschbarkeit der Befehle, wobei ich bei einer Pluszahl zudem nie weiß, ob sie ihr Plus aus Plus und Plus oder aus Minus und Minus erhalten hat. Doch dies nur nebenbei. Festgestellt soll werden, daß wir unser Beispiel als Summe, als Addition schreiben und außerdem die Summanden vertauschen dürfen.

Also etwa: +(-2) + (+5) + (+4) + (-3), was natürlich wieder (+4) ergibt.

Wir sind in der Allgemeinheit unserer Auffassungen wieder um ein gutes Stück weitergekommen und wollen daher (was nicht der Logik, aber unserer gesteigerten Waghalsigkeit entspringt) neben das Prinzip der Vcrtauschbarkeit ein der Multiplikation eigentümliches neues Prinzip, nämlich das der bezüglichen Zuteilung oder der „Distributivität“ stellen. Wir behaupten, daß

5 (7 + 4 - 3 + 9) gleich ist

5•7 + 5•4 - 5•3 + 5•9 =

35 + 20 - 15 + 45 = 85, was augenscheinlich stimmt, da nach Ausrechnung der Klammer 5•17, also ebenfalls 85 resultiert.

Allgemein geschrieben ist

a(b + c - d + e - f) = ab + ac - ad + ac - af,

was wir in diesem Beispiel natürlich nicht weiter prüfen können. Wir könnten es höchstens durch Einsetzen konkreter Ziffern verifizieren. Um das grundlegende Prinzip jedoch anschaulicher zu machen, bedienen wir uns in euklidischer Art eines geometrischen Beweises. Und zwar wollen wir vorläufig lauter Additionen in die Klammern stellen. Etwa:

a( b + c + d + e + f) = ab + ac + ad + ac + af.

Fig. 8

Die Flächen der fünf Rechtecke, die wir aneinandergereiht haben, sind nach der uns schon bekannten „Spannteppich“-formel: ab, ac, ad, ac und af. Die Summe aller Rechtecke also ab+ac+ad+ac+af. Diese Summe ist aber nichts anderes als das große dickgeränderte Rechteck. Wollen wir nämlich das große Rechteck unmittelbar in seiner Fläche ausdrücken, dann müssen wir die „Länge“, die sich als (b+c+d+e+f) angeben läßt, mit der „Breite“ a multiplizieren. Also a(b+c+d+e+f). Da beide Berechnungsarten dasselbe Ergebnis liefern müssen, ist a(b+c+d+e+f) = ab+ac+ad+ae+af, womit unsere obige Behauptung auch allgemein verifiziert ist.

Wir überlassen es der Laune des Lesers, sich die einzelnen Teil-Rechtecke auszuschneiden und unser Prinzip auch für den Fall zu verifizieren, als innerhalb der Klammern Minuszeichen auftreten. Er wird dann die „positiven“ Rechtecke nebeneinanderlegen und die „negativen“ durch Darüberlegen abziehen. Und wird weiter beweisen, daß er als Ergebnis wieder dasselbe erhält, wie wenn er bei gleichbleibendem a die untere Linie, die aus b, c, d usw. besteht, unabhängig davon durch Addition und Subtraktion bestimmt hätte.

Nun können wir dieses „Prinzip der bezüglichen Zuteilung“ oder „Distributivität“ auch auf „Polynome“, d. h. auf Ausdrücke ausdehnen, die nicht bloß aus einer, sondern aus zwei oder mehreren Zahlen bestehen. Wir wollen diesmal euklidisch-geometrisch beginnen:

Fig. 9

Hier erhallen wir acht Rechtecke. Und zwar, gleich als Flächen ausgedrückt, ac, ad, ae, af und oben bc, bd, be, bf. Die Gesamtfläche ist aber

(a + b) • (c + d + e + f).

Also ist, verwechselt (kommutativ) geschrieben,

(c + d + e + f ) • (a + b ) =

ac + ad + ae + af + bc + bd + be + bf.

Damit haben wir das Grundgesetz oder die Grundrechnungsregel der algebraischen Multiplikation festgestellt. Sie lautet: Ist ein mehrgliedriger Ausdruck mit einem anderen mehrgliedrigen Ausdruck zu multiplizieren, dann multipliziere man (unter Vorzeichenberücksichtigung)

(Dafür wieder gilt unser Gesetz der Befehlsverknüpfung: Gleiche Vorzeichen geben Plus, ungleiche Minus.)

zuerst mit dem ersten Glied des zweiten Polynoms alle Glieder des ersten Polynoms und hierauf mit dem zweiten Glied des zweiten Polynoms alle Glieder des ersten Polynoms usw. oder umgekehrt. Denn hier gelten Vertauschbarkeit und Zuteilung nebeneinander. Die Regel sieht sehr kompliziert aus, ist aber nichts anderes, als das, was wir in der Elementarschule als Multiplikation lernten. Sogar noch etwas Einfacheres, da die Multiplikation der Elementarschule neben Distribulivität und Vertauschbarkeit der Faktoren noch den Stellenwert und die Größenfolge zu berücksichtigen hat. Auch das wollen wir später zeigen. Vorerst jedoch eine einfache Multiplikation algebraischer Polynome (Viel-Glieder-Ausdrücke).

(7a + 5b + 8c4 - 9d + e) • (2f + 4g + 6h) =

14af + l0bf + 16cf + 18df + 2ef + 28ag + 20bg + 32cg + 36dg + 4eg + 42ah + 30bh + 48ch + 54dh + 6eh.

An diesem Ergebnis ist nichts weiter zu vereinfachen. Man könnte gewisse Umformungen vornehmen, das wollen wir jedoch jetzt nicht erörtern. Wie man sieht, haben wir die konkreten Zahlen, die Koeffizienten, einfach miteinander multipliziert. Es ist das natürlich im Wesen nichts anderes als die Multiplikation der allgemeinen Zahlen a, b, c usw. Nur konnten wir infolge eines eigenen Algorithmus die konkreten Zahlen miteinander zu neuen Zahlen verschmelzen. Wir hätten ja eigentlich zuerst anschreiben sollen:

7a•2f oder 7•2•a•f, dann 5b•2f oder 5•2•b•f usw.

Nun kann es auch vorkommen, daß infolge eines anderweitigen Algorithmus auch die allgemeinen Zahlen verschmelzbar sind.

Haben wir etwa (2a+3b)•(5a+7ab) miteinander zu multiplizieren, so müßten wir anschreiben:

(2a+3b)•(5a+7ab) =

5a•2a + 5a•3b + 7ab•2a + 7ab•3b =

10aa + 15ab + 14aab + 21abb.

Nun wissen wir aber schon, was a•a und b•b bedeutet. Also Schlußergebnis:

10a² + 15ab + 14a²b + 21 ab².

Wir wollen auf Grund des letzten Beispiels einen neuen Begriff gewinnen. Nämlich das sogenannte „Herausheben“ von Faktoren. Dieses „Herausheben“ ist eine Folge des Gesetzes der bezüglichen Zuteilung (Distributivität) oder auch seine Uinkehrung. Äußerlich können wir dadurch einen ungeklammerten Ausdruck in Klammergruppen oder in einen Faktor, der mit einer Klammergruppe zu multiplizieren ist, verwandeln. Wir verwenden unser letztes Resultat:

10a² + 15ab + 14a²b + 21 ab².

Wenn wir fragen, welche Zahl überall enthalten ist, so sehen wir auf den ersten Blick, daß a dieser Bedingung genügt. Wir wollen also jetzt a als „Faktor“ herausheben.

10aa + 15ab + 14aab + 21abb.

Was ist der andere Faktor? Natürlich

10a + 15b + 14ab + 21bb.

Also dürfen wir jetzt für das obige Resultat auch schreiben:

a(10a + 15b + 14ab + 21bb), da die Multiplikation ja wieder zum ersten Ausdruck zurückführen würde. Wir können aber auch in anderer Art „herausheben“. Etwa:

2(5a² + 7a²b) + 3(5ab +7 ab²) oder

10a² + b(15a + l4a² + 21ab) oder

10a² + 15ab + 7ab(2a + 3b) oder

10a² +ab[15 +7 (2a+3b)] oder

a{10a + b[15 + 7(2a + 3b)]} usw.

Das „Herausheben“ bei verwickelteren Ausdrücken ist eine Kunst, die geübt sein will. Das Herausheben ist oft von ungeheurer Bedeutung, da durch Umformungen besonders bei Brüchen, deren Zähler und Nenner algebraische Ausdrücke sind, das Kürzen ermöglicht werden kann. Doch wir wollen nicht vorgreifen. Wir wollen uns vielmehr das Gesetz der Zuteilung noch bei negativen Zahlen ansehen. Schreiben wir, vorläufig als „algebraische Summe“, die Aufgabe

[(+a) + (-2b)] [(+c) + (-3d)], dann erhalten wir als Ergebnis:

(+c)(+a) + (+c)(-2b) + (-3d)(+a) + (-3d)(-2b)=

ac - 2bc - 3ad + 6bd,

was wir auch erhalten hätten, wenn wir simpel

(a - 2b) (c - 3d) = ac - 2bc - 3ad + 6bd gerechnet hätten.

Wieder gilt die Regel, daß die Multiplikation ungleicher Vorzeichen Minus, die Multiplikation gleicher Plus ergibt. Nun wird man fragen: Wo sind im zweiten Fall die Vorzeichen? Wir antworten: Sie sind als „Befehlsverschmelzung“ vor den Zahlen zu suchen. Das (a—2b) heißt eben algebraisch [+(+a)+(-2b)] oder [-(-a)-(+2b)] oder [+(+a)-(+2b)].

Bei der distributiven Multiplikation treffen neue Vorzeichen auf diese Vorzeichen, so daß etwa die erste Zahl des Resultats so entstanden sein kann: +(+a)•+(+c) oder (-a)•-(+c), was stets ac ergibt. Das zweite Glied könnte dagegen in folgender Art zustandegekommen sein:

+(-2 b) • +(+c) oder

-(+2b) • +(+c) oder

+(-2b) • -(cc), was stets -2bc liefert.

Wir erweitern jetzt unsere Vorzeichen- oder Befehlsverknüpfungsregel und sagen: Treffen multiplikativ eine Anzahl von Vorzeichen zusammen, d. h. sind sie zu verknüpfen, dann gibt jede Anzahl von Plus stets wieder Plus. Bei Minus nur eine gerade Anzahl, da sich die Minuszeichen paarweise zu Plus verbinden. Eine ungerade Anzahl von Minus ergibt Minus. Treffen dagegen Plus und Minus in beliebiger Anzahl zusammen, dann erhalten wir ohne Rücksicht auf die Anzahl der Plusfaktoren ein positives Resultat, wenn die Minus in gerader Anzahl vorkommen. Sonst ein negatives Resultat. Also etwa:

(+a)•(+b)•(+c) = (+abc) (ungerade Anzahl)

(+a)•(+b)•(+c)-(+d) = (+abcd) (gerade Anzahl)

(-a)•(-b)•(-c)•(-d) = (+abcd) (gerade Anzahl)

(-a)•(-b)•(-c) = (-abc) (ungerade Anzahl)

(+a)•(+b)•(+c)•(-d)•(-c)= (+abcde) (gerade Anzahl der Minus)

(+a)•(+b)•(-c)•(-d)•(-e)=(-abcde) (ungerade Anzahl der Minus).

Wir sind nunmehr imstande, bei genügender Aufmerksamkeit jede ganzzahlige algebraische Multiplikation zu bewältigen. Wir wollen ein etwas verwickelteres Beispiel rechnen:

(5ab+3ad+9bc)(abc—6de) =

5a²b²c +3a²bcd + 9ab²c² - 30abde - 18ad²e - 54bcde.

Ein weiteres Beispiel

(a—b)(2a+3b) = 2a² - 2ab + 3ab - 3b².

Hier taucht etwas auf, das wir noch nicht antrafen. Es kommt nämlich ab zweimal vor. Einmal als (—2ab) und das zweitemal als (+3ab). Wir dürfen hier addieren bzw. subtrahieren, da das ab ebenso eine algebraische Größe ist, wie das a oder das b allein.

Also: (-2ab) + (+3ab) = lab oder ab.

Folglich das Endresultat: 2a² + ab - 3b².

Bei diesem Addieren (Subtrahieren) ist große Vorsicht und Sauberkeit der Schrift notwendig, damit kein Irrtum vorfällt. Nur wenn die ganze Gruppe der allgemeinen Zahlen gleich ist, darf addiert und subtrahiert werden.

Also etwa 7a² und 4a²

oder 5abc² - 3abc².

Dagegen wäre es unmöglich, die Zusammenziehung des Zweigliedcr-Ausdruckes

5abc² - 3ab²c auf einen Einzelausdruck durchzuführen.

Denn abc² oder abcc ist der Gruppe ab²c oder abbc so fremd wie der Apfel der Birne, obgleich sie einander ähnlich sehen. Ähnlichkeit sagt gar nichts, nur durchgängige unbedingte Gleichheit entscheidet über die Addier(Subtrahier)barkeit!

Nun wollen wir einen weiteren Algorithmus allgemein durchforschen, nämlich den der Potenzierung. Was Potenzierung ist, wissen wir schon. Es ist eine aufbauende, zusammensetzende, synthetische oder thetische Rechnungsart, der Befehl, eine Zahl (die Basis) sooft als Faktor zu setzen, als der kleine Anzeiger (Exponent) oben rechts angibt.

a² = a•a,

a³ = a•a•a,

a⁶ = a•a•a•a•a•a usw.

Wie multipliziere ich nun Potenzen miteinander? Etwa a² mit a⁷. Schreiben wir es uns an:

(a•a) × (a•a•a•a•a•a•a).

Da nur Multiplikationen vorliegen, kann ich schreiben:

a•a•a•a•a•a•a•a•a = a⁹.

Wie verhalten sich nun die Anzeiger 2 und 7 zum Anzeiger 9? Sehr einfach: 9 ist die Summe 2+7. Die Angelegenheit ist eigentlich klar. Jeder Anzeiger befiehlt, sooft mit sich selbst zu multiplizieren, als seine Anzahl angibt. Verbinde ich mehrere Potenzen derselben Basis multiplikativ miteinander, dann habe ich sooft mit sich selbst zu multiplizieren als alle Anzeiger zusammen, also ihre Summe angeben.

Also ist etwa

a¹⁵ • a⁶ = a¹⁵⁺⁶ = a²¹ und

b¹⁰ • b¹¹ • b⁷ = b^10+11+7 = b²⁸ usw.

Wenn ich als Formel ganz allgemein diese Regel ausdrücken will, kann ich schreiben:

aⁿ • a^m • a^r • a^s = a^n+m+r+s oder

b^c • b^d • b^f = b^c+d+f usw.

Nun stelle ich mir eine andere Aufgabe. Was geschieht, wenn ich eine Potenz potenzieren will?

Etwa a³ zur fünften Potenz oder (a³)⁵ oder

${(a^{3})}^{5}$.

Hier müssen wir überlegen. Was heißt das? Doch nichts anderes als

a³ • a³ • a³ • a³ • a³ =

a^3+3+3+3+3 = a^3•5.

Also wieder eine höchst einfache Regel. Erhebe ich eine Potenz zur Potenz, dann sind die Anzeiger miteinander zu multiplizieren.

Ganz allgemein (aⁿ)^m = a^nmoder ein komplizierterer Fall

[(b^a)^m]^r = b^amr usw.

Zur Vervollständigung unserer Untersuchung sei wiederholt, daß jede Zahl zur nullten Potenz die Eins als Resultat liefert. Im Besitz der allgemeinen Schreibweise können wir jetzt behaupten:

a⁰ = 1, wobei a alle Werte von eins bis zu einer beliebig großen Zahl annehmen kann.

Weiter ist a⁰ • aⁿ = a⁰⁺ⁿ =aⁿ da ja auch

1 • aⁿ = aⁿ,

aⁿ • a ist selbstverständlich aⁿ • a¹ = aⁿ⁺¹.

Wenn wir uns schließlich fragen, wie groß

[(b⁰)³]⁵ ist, so ergibt sich a^0•3•5, also a⁰ oder eins. Dies ist ebenfalls klar, da ja a⁰ an sich schon eins ist, und eins zu jeder beliebigen Potenz wieder eins ergibt. Denn man kann 1 sooft als man nur will als Faktor setzen, ohne daß etwas anderes resultiert als 1.

Der tiefer blickende Leser wird hier eine sonderbare Verknüpfung aller drei uns bisher bekannten thetischen Rechnungsarten am Werke sehen. Potenzieren heißt multiplizieren mit sich selbst. Multiplikation von Potenzen hat Addition der Anzeiger zur Folge. Potenzieren der Potenz erzeugt Multiplikation der Anzeiger. Wir wollen hierzu nur andeuten, daß dieser ganze Algorithmus nichts ist, als eine stets höher getürmte Addition mit gleichzeitiger Angabe, wie oft zu addieren ist.

Denn 3² = 3•3, ist nichts anderes als die 3 dreimal als Summand gesetzt, also 3+3+3.

Und 3²•3³ = 3⁵=3•3•3•3•3, ist wieder nichts anderes als die 3 dreimal-dreimal-dreimal-dreimal, also 81 mal als Summand gesetzt. Das aber ist 243 oder 3⁵.

Kenner von Rechenmaschinen werden das gut verstehen. Denn jede sogenannte Multiplikationsmaschine beruht darauf, daß die gleiche Zahl additiv solange aufsummiert wird, bis der Multiplikationsbefehl erfüllt ist. D. h. bis der gleiche Summand sooft aneinandergereiht ist, als der Multiplikator (der Multiplikations„anzeiger“) angibt. Um nicht zu verwirren, brechen wir unsere Betrachtung ab und stellen nur fest, daß bisher jede Lhctischc Operation aus der nächstniederen hervorging. So ist, wenn wir als Reihenfolge Addition, Multiplikation, Potenzierung annehmen, jede Multiplikation eine durch den Multiplikator befohlene Addition gleicher Summanden (die dem Multiplikanden gleich sind) und jede Potenzierung eine Multiplikation gleicher Faktoren (der Basis), wobei hier der Potenzanzeiger befiehlt, wie oft die Basis als Faktor gesetzt werden soll.

Wir dürfen nun vermuten, daß die Division in ähnlicher Art mit der Subtraktion zusammenhängt. Unsere Vermutung ist vollkommen berechtigt, wie ein einfaches Beispiel zeigt. Subtrahieren wir etwa von 120 fortlaufend 13, so erhalten wir

120 - 13 = 107 (1. Subtr.),

107 - 13 = 94 (2. Subtr.),

94 - 13 = 81 (3. Subtr.),

81 - 13 = 68 (4. Subtr.),

68 - 13 = 55 (5. Subtr.),

55 - 13 = 42 (6. Subtr.),

42 - 13 = 29 (7. Subtr.),

29 - 13 = 16 (8. Subtr.),

16 - 13 = 3 (9. Subtr.).

Jetzt geht es in positiven Zahlen nicht mehr weiter. Wir konnten neunmal subtrahieren und erhielten drei als Rest. Die „Division“ ergibt

120 : 13 = 9, also genau dasselbe.

-3

Wir haben somit die Division als fortgesetzte Subtraktion entlarvt, was ebenfalls jeder Kenner von Rechenmaschinen weiß. Die Grundfrage der Division kann also nicht nur lauten: wie oft ist der Divisor im Dividenden enthalten und was bleibt für ein Rest? Sondern ebenso berechtigt: Wie oft kann ich dieselbe Größe von einer anderen abziehen und was bleibt schließlich übrig, wenn ich nicht ins Negative vorstoßen will?

Nun sehen wir aber neuerlich an unserem Beispiel die geradezu ungeheure Überlegenheit des Divisionsalgorithmus gegenüber der fortgesetzten Subtraktion.

Dort neun Subtraktionen mit ebensoviel Fehlerquellen, hier ein einziger Griff, um zum Resultat zu kommen. Die mechanische Rechenmaschine kann sich die forlgesetzte Subtraktion erlauben. Erstens irrt sie nicht, weil ihre Zahnräder nur richtig arbeiten können. Zweitens ist die Umdrehungszahl ihrer Bestandteile fast beliebig zu steigern (heute schon durch Elektromotoren). Und drittens ist eine maschinelle Wiedergabe unseres schriftlichen Divisionsverfahrens überhaupt kaum möglich, da ja auf der Maschine die notwendige Gegenmultiplikation auch in Form fortgesetzter Addition erfolgt. Dies aber nur nebenbei.

Wir stehen jetzt, um in unseren algebraischen Forschungen zu einem vorläufigen Abschluß zu gelangen, vor dem Problem, wie man in allgemeinen Zahlen dividiert. Wir wollen vom einfachsten Fall beginnen.

Was ergibt a:b?

Antwort: Nichts anderes als a:b.

Denn die Division ist nicht verwechselbar, nicht kommutativ, da sie wie die Subtraktion nach einer Richtung hin auflöst, sie ist einseitig gerichtet. Wir könnten höchstens anders schreiben, etwa

$\textstyle a:b={\frac {a}{b}}$

Das ist aber kein Gewinn, sondern nur eine andere Schreibart, ein anders notierter Befehl. Etwa wie a-b dasselbe heißt wie a•b oder a×b. Wir könnten für die Division schließlich auch „a durch b“ oder „a dividiert durch b“ oder „a gebrochen durch b“ schreiben. Oder gar „a verhält sich zu b“ (wobei aber noch ein Nachsatz anzufügen wäre).

Wie bei der Multiplikation wollen wir drei Möglichkeiten der Division allgemeiner Zahlen untersuchen. Nämlich das Verhalten einzelner allgemeiner Größen mit und ohne Koeffizienten, das Verhalten von Potenzen und das Verhalten von „Mehrgliederausdrücken“ (Polynomen).

Bezüglich einzelner Größen wurde schon erwähnt, daß bei Ungleichnamigkeit (a:b) nichts weiter zu machen ist. Ich stehe dabei vor einem Befehl, den ich erst näher ausführen kann, sobald ich in die allgemeinen Zahlen „einsetze“. Etwa a=12, b=3. Dann ist natürlich a:b=12:3=4. Es gibt aber auch andere Konstellationen. Was etwa ist 3a:a? Wir fragen hier, wie sich die Menge von 3 Äpfeln zu einem Apfel verhält. Oder wie oft ein Apfel in einer Menge von drei Äpfeln enthalten ist. Die Antwort ist einleuchtend: 3a:a=3.

Und ganz allgemein n • a : a = n.

Ebenso ist 15a:3a=5 und ba:a=b. Da weiter jede Zahl, durch sich selbst dividiert, als Ergebnis 1 liefert, so ist a:a=1. Ich denke, wir dürften auch einsehen, daß 25abcd:5ac gleich ist mit 5bd. Man muß sich bloß bei jeder Division die „Probe“ vor Augen halten.

Im letzten Fall 5bd•5ac=?

Ausmultiplizieren ergibt sofort 25abcd und bestätigt unsere Behauptung. Das also böte weiter keinerlei Schwierigkeiten.

Nun wollen wir uns das Verhalten von PoLenzen gelegentlich der Division näher ansehen. Und zwar zuerst als multiplikative Gruppen geschrieben. Was ergibt

(a • a • a • a • a • a) : (a • a • a) = ?

Ich habe zuerst den Ausdruck in der ersten Klammer durch a, dann noch einmal durch a und schließlich noch einmal durch a zu dividieren, da es ja gleich ist, ob ich etwa 27 durch 9=3•3 oder zuerst durch 3 und dann noch einmal durch 3 dividiere. Unsere obige Division der sechsmal als Faktor gesetzten a durch die dreimal als Faktor gesetzten a ergibt als Resultat nach unseren bisherigen Erkenntnissen

a • a • a • 1 • 1 • l = a • a • a.

Oder a⁶ : a³ = a³.

Weiter ergäbe

(b•b•b•b•b•b•b): (b•b) soviel wie b•b•b•b•b•1•1 oder b•b•b•b•b=b⁵ und ich erhielte b⁷:b²=b⁵. Die Regel ist uns schon offenbar. Wir haben wieder eine Art von Spiegelbild vor uns und sehen deutlich die Verknüpfung der beiden auflösenden (lytischen) Rechnungsarten der Division und der Subtraktion. Denn a⁶:a³=a^6-3=a³ und b⁷: b²=b^7-2=b⁵. Als alte Algebraiker brauchen wir nicht mehr lange herumzureden, sondern bilden die Formel a^m:aⁿ=a^m-n, was sich auch sofort bei

a^m:a^m=a^m-m=a⁰=1 bewährt und als tauglicher Algorithmus erweist.

Natürlich ist a^m:a=a^m-1 und a^m:a⁰ oder a^m:l=a^m-0=a^m.

Allfällige Gegenproben müssen richtige Ergebnisse liefern. Z. B. a^m:a=a^m-1,

Gegenprobe a•a^m-1=a¹•a^m-1=a^1+m-1=a^m usw.

Zum Abschluß noch ein verwickelteres Beispiel, um das gleichzeitige Spiel mehrerer Algorithmen aufzuzeigen:

39a⁷b⁵c^rd^m+2 : 13a⁴c^sd³ =

3a^7-4 • b⁵ • c^r-s • d^m+2-3 =

3a³b⁵c^r-sd^m-1,

wozu bemerkt wird, daß wir uns das Nichtvorkommen einer Potenz im Divisor

(Später werden wir auch vom Nichtvorkommen im Dividenden sprechen.)

stets so vorstellen können, als ob die betreffende Basis dort in der nullten Potenz (ist gleich eins) gestanden wäre.

In unseren» Beispiel

39a⁷b⁵c^rd^m+2 : 13a⁴b⁰c^sd³,

was für die b-Potenz in der Ausrechnung b^5-0=b⁵ ergibt, also das Resultat nicht ändert. Überhaupt — wir haben es schon bei den Zahlensystemen gesehen — bewährt sich die Einführung von nullten Potenzen oft zur eleganten Abrundung gesetzmäßig verlaufender Gestaltbilder.

Nach einer kleinen Vorbemerkung werden wir uns an die vorläufig schwierigste algebraische Aufgabe, die Division von Viclgliederausdrücken, wagen. Es gibt bei derartigen Ausdrücken gewisse Ordnungsprinzipien, die in manchen Fällen unentbehrlich sind, obwohl sich durch das „Ordnen“ an der Größe des Ausdrucks nichts ändert. Jeder Soldat weiß, daß die Mannschaftsanzahl einer Kompagnie, auch ihre Kampfkraft, kaum dadurch verändert wird, daß ich die durcheinanderstehenden Soldaten für Marschformation oder Parade nach der Körpergröße antreten lasse. Ich habe dabei aber doch gewisse Vorteile. Lasse ich etwa aus entwickelter Reihe richtig in Marschformation übergehen, dann marschieren die größten Leute in den „Doppelreihen“ (Viererreihen) an der Spitze der Truppe und reißen durch raumgreifendere Schritte ihre nach hinten zunehmend kleineren Kameraden im Tempo mit. Auch hei Schwenkungen entwickelter Linien wird der kleinste Mann als Drehpunkt gewählt, während der größte „Flügelmann“ den längsten Weg zu machen hat. Kurz, fürs Marschieren bewährt sich unser Ordnungsprinzip, da es in gewisser Art klare Beziehungen schafft, die man für Sondcrzwccke bewußt ausnützen kann.

Wir trafen schon einmal ein solches Ordnungsprinzip. Es war die „Größenfolge“ in den Stellenwertsystemen. Sie ist nichts anderes als eine Entwicklung der Zahlen nach „steigenden“ oder „fallenden“ Potenzen der Grundzahl des Systems; „steigend“ oder „fallend“, je nachdem man die Zahl von vorn oder hinten ansieht. Sicherlich schreiben wir in unserem Zehnersystem fallende Zehnerpotenzen von links nach rechts an.

Denn 91.435 heißt ja

9•10⁴ + 1•10³ + 4•10² + 3•10¹ + 5•10⁰.

Dieses Anschreibeprinzip können wir nun auf algebraische Ausdrücke übertragen, sofern uns als Potenzanzeiger konkrete Zahlen gegeben sind oder wenn wir aus irgendwelchen Nebenbedingungen wissen, in welcher Größenfolge allgemeine Potenzanzeiger sich aneinanderreihen.

a³ + a⁷ + a⁴ - a² + a¹⁶ - a⁵

können wir nach fallenden Potenzen von a auch schreiben

a¹⁶ + a⁷ - a⁵ + a⁴ + a³ - a²

Hätten wir dagegen

a^m + a^r + a^s — a² - a^d + a^h

zu ordnen und wüßten wir weiter, daß der im Alphabet höherstehende Anzeiger stets irgendeine noch unbestimmte aber unzweifelhaft höhere Zahl darstelle als der im Alphabet an tieferer Stelle stehende. Buchstabe, dann dürften wir fallend ordnen:

a^s + a^r + a^m + a^h - a^d - a^b

Da wir aber gewohnt sind, uns alle algebraischen Dinge möglichst allgemein vorzustellen, treffen wir bei der Weiterführung unseres Gedankens auf gewisse Schwierigkeiten. Es können nämlich verschiedene Potenzen in multiplikativ verbundenen Gruppen vorliegen, wie 19a²bc⁷d⁴ oder 5a⁷b³c⁵d⁹ usw. Und es kann sich weiters ergeben, daß während wir nach Potenzen von a ordnen, die Potenzen von b durcheinandergeraten; wenn wir nach b ordnen, die von a; wenn wir nach c ordnen, die von a, b und d usw. Dafür gibt es natürlich keinen anderen Ausweg als den Entschluß, was wir als Ordnungsprinzip wählen wollen. Ordnen wir Bücher im Bücherkasten nach der Größe, dann können wir sie nicht gleichzeitig nach Materien ordnen, wenn Größe und Materie nicht schon von vornherein irgendwie zusammenhängen.

Nun wollen wir kühn die Division von Vielgliederausdrücken versuchen, da wir uns schon im Besitz aller Vorkenntnisse wissen. Es wäre etwa der bösartig aussehende Ausdruck

(10a⁴b + 35a⁵h + 45a⁶b²h - 4abc²h - 14a²c²h² - 18a³b²c²h²)

durch

(-2c²h + 5a³)

zu dividieren.

Erste Regel: Beide Ausdrücke sind nach fallenden Potenzen der ersten allgemeinen Zahl, also nach fallenden Potenzen von a, zu ordnen. Wir schreiben

(45a⁶b²h + 35a⁵h + 10a⁴b - 18a³b²c²h² - 14a²c²h² - 4abc²h) : (5a³ - 2c²h) = ?

Der weitere Vorgang ähnelt unserer dekadischen Division. Wir versuchen nämlich zuerst, wie oft das erste Glied des Divisors (5a³) im ersten Glied des Dividenden (45a⁶b²h) enthalten ist. Dann machen wir die Gegenmultiplikation, indem wir das erste Resultat (Quotient) mit dem Divisor multiplizieren und vom Dividenden bzw. von einer dem Divisorpolynom entsprechenden Anzahl von Dividendengliedern subtrahieren. Finden wir im Dividenden kein weiteres Glied, von dem man subtrahieren kann, dann muß man dieses nichtsubtrahierbare Glied hinunterstellen und je nachdem additiv oder subtraktiv mit dem „Rest“, der uns geblieben ist, verbinden. Nun sehen wir wieder zu, wie oft das erste Glied des Divisors in jenem Glied des Restes enthalten ist, das die höchste Potenz der ersten allgemeinen Zahl aufweist. Das Resultat kommt in den Quotienten. Hierauf Gegenmultiplikation. Und so fort. Wir rechnen also:

Fig. 9-1

Die Division ist ausgegangen (wie man sagt) und hat als Ergebnis

(9a³b²h + 7a²h + 2ab),

also einen ebenfalls nach fallenden Potenzen von a geordneten Ausdruck geliefert. Zu obigem Schema wird angemerkt, daß wir die Subtraktion symbolisch einfach durch Vorzeichenänderung vollzogen haben, da ja bekanntlich das Minus die Vorzeichen ändert. Hierauf addieren wir algebraisch, wodurch wir das Resultat erhalten. Dabei gilt bei den Doppelvorzeichen nur das untere. Um noch deutlicher zu sein, hatten wir durch die erste Gegenmultiplikation

(45a⁶b²h - 18a³b²c²h²) erhalten.

Im Dividenden finden wir diese beiden Größen ebenfalls. Wir könnten jetzt schreiben:

(45a⁶b²h - 18a³b²c²h²)

des Dividenden minus dem Ergebnis der Gegenmultiplikation, also

(45a⁶b²h - 18a³b²c²h²) - (45a⁶b²h - 18a³b²c²h²) =

45a⁶b²h - 18a³b²c²h² - 45a⁶b²h + 18a³b²c²h²,

was offensichtlich die Null ergibt. Um weiterzudividieren, suchen wir jetzt die höchste, noch nicht durch Subtraktion verschwundene a-Potenz und finden 35a⁵h. Aus Übersichtlichkeitsgründen schreiben wir sie unter den Strich, als ob es sich um einen Rest handelte und verfahren analog weiter wie oben gezeigt. Es ist nun durchaus nicht unsere Aufgabe, uns zu algebraischen Rechenkünstlern auszubilden. Beispiele zu Übungszwecken findet man in jedem Mittelschullehrbuch in sorgfältiger Auswahl. Auch die Algebra des großen Leonhard Euler ist für diesen Zweck ein ausgezeichnetes Übungsbuch.

(Leonard Euler: Vollständige Anleitung zur Algebra. (1771))

Da wir zu ganz anderen Zielen steuern und die Struktur, das Gefüge, die Gestalt der Mathematik bloßlegen wollen, um selbst der Integralrechnung gewachsen zu sein, begnügen wir uns, zum Abschluß dieses Teils der Algebra konstanter (bestimmter) allgemeiner Größen noch eine harmlose Divisionsaufgabe anzufügen:

Fig. 9-2

Weiter das Beispiel:

Fig. 9-3

Damit wären wir zu einem weiteren Rastpunkt gelangt. Wir beherrschen jetzt die vier Grundrechnungsarten Addition, Subtraktion, Division und Multiplikation sowie die Potenzierung ganzzahlig in sämtlichen konkreten Ziffernsystemen und in allgemeinen (algebraischen) Größen. Und wir sind damit gerüstet, innerhalb gewisser Schranken uns jetzt dem mathematischen Rätselraten und Rätsellösen, der Lehre vom unbekannten x, der Lehre von den Gleichungen, zuzuwenden, die uns Brücke sein wird zum Anstieg in höhere und höchste Regionen unserer Kunst.

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