Aritmética/Propiedades de la División/Razón y Proporción/Introducción

Razón

Definición

Definimos como razón entre dos números, en cierto orden, al cociente entre ellos.

Es decir, dados los números reales $a$ y $b$, con $b\neq 0$, la razón entre $a$ y $b$ es el cociente

${\frac {a}{b}}$

En tal razón, el término $a$ recibe el nombre de antecedente, y el término $b$ recibe el nombre de consecuente

Ejemplos

1. La razón entre $2$ y $4$ es ${\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}=0,5$, y se lee $2$ y $4$ están en una razón 1 es a 2 (es decir, en este caso, el antecedente es la mitad del consecuente).
2. Si la edad de María es $18$ y la edad de Andrea es $45$, entonces sus edades están en la razón ${\frac {18}{45}}={\frac {2}{5}}$. Es decir, por cada dos años que tiene María, Andrea tiene cinco.
3. Se define densidad poblacional (DP) a la razón entre la población (P) y la superficie en kilómetros cuadrados (S), dada por el cociente $DP={\frac {P}{S}}$.

Por ejemplo, la ciudad de Valparaíso al año 2010 contaba con una población estimada en $1.869.327$ habitantes, y cuenta con una superficie de $16.396$ km$^{2}$. De esta manera, su densidad poblacional es $DP={\frac {1.869.327}{16.396}}\approx 114.01$. Es decir, hay aproximadamente 114 habitantes por km$^{2}$.

Proporción

Definición

Una proporción es una igualdad formada por dos razones que tienen el mismo valor; es decir,

$\mathrm {Si} \ {\frac {a}{b}}=k\ \mathrm {y} \ {\frac {c}{d}}=k\ \rightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

Tal proporción se lee $a$ es a $b$ como $c$ es a $d$.

Los términos $a$ y $d$ se llaman extremos, mientras que los términos $b$ y $c$ se llaman medios.

Ejemplos

a) A usted le ofrecen un trabajo diario, donde le pagan $\$21$ por tres horas de trabajo. Se pregunta cuánto le pagarían por trabajar dos horas.

Sol: Lo que hacemos en este tipo de problemas es generar dos razones que deben tener el mismo valor, lo que forma una proposición.

La primera razón es que por cada tres horas de trabajo, pagan $\$21$. La razón asociada es ${\frac {3}{21}}$.

La segunda razón es que por cada dos horas de trabajo, pagan $x$, que es la cantidad por determinar.

Luego, igualando las razones, tenemos que

${\frac {3}{21}}={\frac {2}{x}}\rightarrow x=14$

Así, por dos horas de trabajo, el pago es de $\$14$.

b) Dos socios juntan un capital de $\$36.000$, con aportes que están en razón $5:7$. Queremos determinar el aporte de cada socio.

Sol: En este caso tenemos dos cantidades desconocidas por encontrar, a las cuales llamaremos por $x$ y $y$.

El primer dato es que los aportes deben sumar $\$36.000$. Luego, tenemos que $x+y=36.000$.

El segundo dato es que ${\frac {x}{y}}={\frac {5}{7}}$.

Del segundo dato, despejando $x$ en función de $y$, tenemos que $x={\frac {5y}{7}}$.

Reemplazando en la primera ecuación, tenemos que

$x+y=36.000\rightarrow {\frac {5y}{7}}+y=36.000\rightarrow y=\$21.000$

Reemplazando, tenemos que $x=\$15.000$.

Ejercicios Propuestos

Revisar y desarrollar la siguiente lista de Ejercicios Propuestos de Razón y Proporción.