Aritmética/Propiedades de la División/Razón y Proporción

Introducción a Razón y Proporción

Razón

Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción.

${\frac {a}{b}}$

Los términos de una razón se llaman: antecedente y consecuente. El antecedente es el dividendo y el consecuente es el divisor.

Diferencia entre razón y fracción:

La razón en los lados de un rectángulo de 5 cm de altura y 10 cm de base es: razón

No hay que confundir razón con fracción.

Si razón es una fracción, entonces a y b son números enteros con b≠0, mientras que en la razón razón los números a y b pueden ser decimales.

Proporciónes

Proporción es una igualdad entre dos razones.

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}=k$

Donde k es la constante de proporcionalidad de los dos números

Propiedades de las proporciones

En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los extremos.

$a\cdot d=b\cdot c$

En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones.

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}={\frac {e}{f}}={\frac {a+c+ce}{b+d+f}}$

Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no varía.

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

${\frac {d}{c}}={\frac {b}{a}}$

Tipos de Proporcionalidad

Las proporciones se pueden clasificar en cuarto, medio y tercero proporcional dependiendo de la cantidad de números que tenga

Cuarto proporcional

Es cuando se requiere un cuarto númer en los términos de una proporción.

Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos términos.

${\frac {x}{3}}={\frac {8}{6}}$

$x={\frac {8\cdot 3}{6}}=4$

${\frac {7}{x}}={\frac {2}{4}}$

$x={\frac {7\cdot 4}{2}}=14$

Medio proporcional

Es cuando se repite una mísma incognita en una proporción

Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales. Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos.

${\frac {x}{3}}={\frac {12}{x}}$

$x^{2}=12\cdot 3=36$

$x={\sqrt {36}}=\pm 6$

Tercero proporcional

Es cuando se repite una mísma cantidad en una proporción

En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales.

Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales, dividido por el término desigual.

${\frac {6}{4}}={\frac {x}{6}}$

$x={\frac {6\cdot 6}{4}}={\frac {36}{4}}=9$