Aritmética/Pre-Algebra/Potenciación y Radicación

Potencias

editar

Definición

editar

Sea   un número real y   un entero positivo. Se define la potencia  -ésima de   de la forma

 

Es decir, la potencia  -ésima de   es el resultado de multiplicar   consigo mismo   veces.

En la expresión  ,   se llama base y   se llama exponente.


Ejemplos

editar

Calcular las siguientes potencias

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  


Notas: por los ejemplos vistos, podemos ver que

a) Si la base está elevada a exponente par, la potencia es siempre positiva.

b) Si el exponente es impar, la potencia conserva el signo de la base.

c) La potenciación no es una operación distributiva sobre la suma o la resta; es decir, en la potenciación se tiene que

 

Propiedades de las potencias

editar
  1. Potencia de exponente cero:  
  2. Potencia de exponente entero negativo:  
  3. Multiplicación de potencias de igual base:  
  4. División de potencias de igual base:  
  5. Potencia de una potencia:  
  6. Multiplicación de potencias de igual exponente:  
  7. División de potencias de igual exponente:  

Ejemplos

editar

Resolver los siguientes problemas de potencias

1) Para  , hallar el valor de  .

Sol:

Reemplazar un número negativo en un polinomio

2)  

Sol: tenemos que

 

3)  

Sol:

Reemplazar un número negativo en un polinomio

4)  

Sol: tenemos que

 

Raíces

editar

Definición

editar

Para   natural,   reales, diremos que la raíz  -ésima de   es   siempre que

 

donde   es el índice,   la cantidad subradical, y   la raíz.

Ejemplos

editar
  1. Calcular  

Sol: Acá, como el índice es 2, buscamos un número que elevado a 2 de como resultado 81. Claramente, tal número es 9. Luego,  

  1.  

Sol: En esta ocasión el índice es 3; luego, buscamos un número que elevado a 3 de como resultado 27. Tal número es 3. Luego,  

  1.  

Sol:  

  1.  

Sol:  

  1.  

Sol: buscamos un número que multiplicado 3 veces de como resultado  . Ese número debe ser negativo, pues la potencia impar de una base negativa, es negativa. Luego, el número buscado es  . Así, tenemos que  


Nota: por los ejemplos vistos, podemos ver que, en general,  .


Propiedades de las raíces

editar
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  

Ejemplos

editar

Resolver las siguientes expresiones con raíces

1)  

Sol: tenemos que

 

2)  

Sol: Vemos que las raíces no son exactas. Luego, tenemos que descomponer éstas en números que tengan raíz exacta, para después separar y al final reducir términos semejantes. Tenemos

 

3)  

Sol: Usando la propiedad 5) dos veces, empezando por la raíz interior, tenemos que

 

Racionalización

editar

Racionalizar una fracción es convertir una fracción cuyo denominador es irracional en una fracción equivalente cuyo denominador es racional.

Caso i: cuando el denominador es un monomio

editar

Se sigue la siguiente relación:

 

Ejemplos

editar
  1.  
  1.  

Caso ii: cuando el denominador es un binomio que contiene radicales de segundo orden

editar

Se sigue la siguiente relación:

 

Ejemplo

editar
  1.  

Sol:

Racionalización

Ejercicios Propuestos

editar

Revisar y desarrollar la siguiente lista de Ejercicios Propuestos de Potencias y Raíces.