Aritmética/Pre-Algebra/Potenciación y Radicación

Potencias

Definición

Sea $a$ un número real y $n$ un entero positivo. Se define la potencia $n$-ésima de $a$ de la forma

$a^{n}=a\cdot a\cdot a\cdots a$

Es decir, la potencia $n$-ésima de $a$ es el resultado de multiplicar $a$ consigo mismo $n$ veces.

En la expresión $a^{n}$, $a$ se llama base y $n$ se llama exponente.

Ejemplos

Calcular las siguientes potencias

1. $4^{2}=4\cdot 4=16$
2. $(-2)^{4}=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=16$
3. $(-7)^{3}=(-7)\cdot (-7)\cdot (-7)=-343$
4. $(8+6)^{2}=(14)^{2}=196$
5. $8^{2}+6^{2}=64+36=100$

Notas: por los ejemplos vistos, podemos ver que

a) Si la base está elevada a exponente par, la potencia es siempre positiva.

b) Si el exponente es impar, la potencia conserva el signo de la base.

c) La potenciación no es una operación distributiva sobre la suma o la resta; es decir, en la potenciación se tiene que

$(a\pm b)^{n}\neq a^{b}\pm b^{n}$

Propiedades de las potencias

1. Potencia de exponente cero: $a^{0}=1$
2. Potencia de exponente entero negativo: $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$
3. Multiplicación de potencias de igual base: $a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$
4. División de potencias de igual base: $a^{n}:a^{m}=a^{n-m}$
5. Potencia de una potencia: $(a^{m})^{n}=a^{nm}$
6. Multiplicación de potencias de igual exponente: $a^{n}\cdot b^{n}=(ab)^{n}$
7. División de potencias de igual exponente: $a^{n}:b^{n}=(a:b)^{n}$

Ejemplos

Resolver los siguientes problemas de potencias

1) Para $x=-2$, hallar el valor de $x^{5}-3x^{2}+5x-7$.

Sol:

Reemplazar un número negativo en un polinomio

2) $\left({\frac {1}{3}}\right)^{2}\cdot \left({\frac {4}{3}}\right)^{-2}$

Sol: tenemos que

$\left({\frac {1}{3}}\right)^{2}\cdot \left({\frac {4}{3}}\right)^{-2}={\frac {1}{3^{2}}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{2}={\frac {1}{3^{2}}}\cdot {\frac {3^{2}}{4^{2}}}={\frac {1}{4^{2}}}={\frac {1}{16}}$

3) $\left({\frac {27}{20}}\right)^{4}:\left({\frac {9}{4}}\right)^{4}$

Sol:

Reemplazar un número negativo en un polinomio

4) $\left(2^{\frac {1}{2}}\cdot 7^{\frac {1}{3}}\right)^{6}$

Sol: tenemos que

$\left(2^{\frac {1}{2}}\cdot 7^{\frac {1}{3}}\right)^{6}=\left(2^{\frac {1}{2}}\right)^{6}\left(7^{\frac {1}{2}}\right)^{6}=2^{3}\cdot 7^{3}=8\cdot 343=2.744$

Raíces

Definición

Para $n$ natural, $a,b$ reales, diremos que la raíz $n$-ésima de $a$ es $b$ siempre que

${\sqrt[{n}]{a}}=b\leftrightarrow a=b^{n}$

donde $n$ es el índice, $a$ la cantidad subradical, y $b$ la raíz.

Ejemplos

1. Calcular ${\sqrt {81}}$

Sol: Acá, como el índice es 2, buscamos un número que elevado a 2 de como resultado 81. Claramente, tal número es 9. Luego, ${\sqrt {81}}=9$

1. ${\sqrt[{3}]{27}}$

Sol: En esta ocasión el índice es 3; luego, buscamos un número que elevado a 3 de como resultado 27. Tal número es 3. Luego, ${\sqrt[{3}]{27}}=3$

1. ${\sqrt {64+36}}$

Sol: ${\sqrt {64+36}}={\sqrt {100}}=10$

1. ${\sqrt {64}}+{\sqrt {36}}$

Sol: ${\sqrt {64}}+{\sqrt {36}}=6+8=14$

1. ${\sqrt[{3}]{-8}}$

Sol: buscamos un número que multiplicado 3 veces de como resultado $-8$. Ese número debe ser negativo, pues la potencia impar de una base negativa, es negativa. Luego, el número buscado es $-2$. Así, tenemos que ${\sqrt[{3}]{-8}}=-2$

Nota: por los ejemplos vistos, podemos ver que, en general, ${\sqrt[{n}]{a+b}}\neq {\sqrt[{n}]{a}}+{\sqrt[{n}]{b}}$.

Propiedades de las raíces

1. $\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}=a$
2. ${\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}$
3. ${\sqrt[{n}]{a:b}}={\sqrt[{n}]{a}}:{\sqrt[{n}]{b}}$
4. $\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{p}={\sqrt[{n}]{a^{p}}}$
5. $a{\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a^{n}b}}$
6. ${\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{nm}]{a}}$
7. ${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}$
8. ${\sqrt[{-n}]{a}}={\sqrt[{n}]{\frac {1}{a}}}$

Ejemplos

Resolver las siguientes expresiones con raíces

1) $(5{\sqrt {2}}-2{\sqrt {3}})(3{\sqrt {2}}+4{\sqrt {3}})$

Sol: tenemos que

$(5{\sqrt {2}}-2{\sqrt {3}})(3{\sqrt {2}}+4{\sqrt {3}})=15{\sqrt {4}}+20{\sqrt {6}}-6{\sqrt {6}}-8{\sqrt {9}}=15\cdot 2+14{\sqrt {6}}-8\cdot 3=6+14{\sqrt {6}}$

2) $3{\sqrt {80}}-6{\sqrt {98}}-2{\sqrt {45}}+4{\sqrt {72}}$

Sol: Vemos que las raíces no son exactas. Luego, tenemos que descomponer éstas en números que tengan raíz exacta, para después separar y al final reducir términos semejantes. Tenemos

$3{\sqrt {80}}-6{\sqrt {98}}-2{\sqrt {45}}+4{\sqrt {72}}=3{\sqrt {16\cdot 5}}-6{\sqrt {49\cdot 2}}-2{\sqrt {9\cdot 5}}+4{\sqrt {36\cdot 2}}=12{\sqrt {5}}-42{\sqrt {2}}-6{\sqrt {5}}+24{\sqrt {2}}=6{\sqrt {5}}-18{\sqrt {2}}$

3) ${\sqrt {x{\sqrt {x{\sqrt {x}}}}}}$

Sol: Usando la propiedad 5) dos veces, empezando por la raíz interior, tenemos que

${\sqrt {x{\sqrt {x{\sqrt {x}}}}}}={\sqrt {x{\sqrt {\sqrt {x^{3}}}}}}={\sqrt {x{\sqrt[{4}]{x^{3}}}}}={\sqrt {\sqrt[{4}]{x^{7}}}}={\sqrt[{8}]{x^{7}}}$

Racionalización

Racionalizar una fracción es convertir una fracción cuyo denominador es irracional en una fracción equivalente cuyo denominador es racional.

Caso i: cuando el denominador es un monomio

Se sigue la siguiente relación:

${\frac {a}{\sqrt[{n}]{b^{m}}}}={\frac {a}{\sqrt[{n}]{b^{m}}}}\cdot {\frac {\sqrt[{n}]{b^{n-m}}}{\sqrt[{n}]{b^{n-m}}}}={\frac {a{\sqrt[{n}]{b^{n-m}}}}{\sqrt[{n}]{b^{n}}}}={\frac {a{\sqrt[{n}]{b^{n-m}}}}{b}}$

Ejemplos

1. ${\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}$

1. ${\frac {3}{\sqrt[{4}]{9a}}}={\frac {3}{\sqrt[{4}]{9a}}}\cdot {\frac {\sqrt[{4}]{(9a)^{3}}}{\sqrt[{4}]{(9a)^{3}}}}={\frac {3{\sqrt[{4}]{(9a)^{3}}}}{9a}}={\frac {\sqrt[{4}]{(9a)^{3}}}{3a}}$

Caso ii: cuando el denominador es un binomio que contiene radicales de segundo orden

Se sigue la siguiente relación:

${\frac {a}{{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}}}={\frac {a}{{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {b}}-{\sqrt {c}}}{{\sqrt {b}}-{\sqrt {c}}}}={\frac {a\left({\sqrt {b}}-{\sqrt {c}}\right)}{b-c}}$

Ejemplo

1. ${\frac {3-{\sqrt {2}}}{1+{\sqrt {2}}}}$

Sol:

Racionalización

Ejercicios Propuestos

Revisar y desarrollar la siguiente lista de Ejercicios Propuestos de Potencias y Raíces.