Álgebra Abstracta/Introducción

" Faire d'Algèbre, c'est esentiellement calculier ... " Nicolas Bourbaki.

¿Qué es el Álgebra Abstracta?

El Álgebra Abstracta, como indica su nombre, surge como una abstracción de propiedades algebraicas comunes a diferentes sistemas numéricos y a otros objetos de estudio matemático. La preocupación principal es acerca de las propiedades de las operaciones, independientemente (abstracción) de la naturaleza de los operandos. La suma de los números naturales, así como aquella de los Enteros, de los Reales, o de funciones, o de matrices etc. es asociativa. Lo que interesa aquí es estudiar las consecuencias de suponer que la suma en un conjunto cualquiera (de números o no) sea asociativa.

Hay tres fuentes clásicas para el Álgebra Abstracta: la teoría de las ecuaciones polinómicas, la teoría de los números enteros y la Geometría. Cada una de esas áreas se desarrolló inicialmente de manera independiente de las otras. Con el pasar del tiempo, se observaron muchas semejanzas entre los resultados obtenidos, con lo que se inició la abstracción de dichos resultados. Tal desarrollo se produce desde fines del siglo XVIII hasta el inicio del siglo XX, cuando las nociones adquirieron una forma semejante a lo que expondremos en este texto.

Los trabajos de abstracción contribuyeron a identificar la noción de estructura algebraica como central al estudio del Álgebra. Una estructura algebraica es, básicamente, un conjunto provisto de una o más operaciones que poseen algunas propiedades especiales. La ventaja del enfoque abstracto es que permite al estudiar una estructura, estudiar propiedades de los variados ejemplos de tales estructuras (a veces infinitos ejemplos). En segundo lugar, podemos ver de manera más transparente las relaciones y consecuencias de las propiedades de las operaciones.

Como libro texto para un primer curso, suponemos que los lectores son novatos en la materia, lo que no excluye que pueda ser de provecho para lectores con mayor experiencia en el campo. Por lo anterior, hemos enfatizado en ejemplos y colocado una gran cantidad de ejercicios---que son parte integral del texto. Hemos colocado también comentarios que expanden los contenidos o apuntan a referencias tanto a los orígenes como a las aplicaciones.

¿Por qué darle énfasis a las estructuras? Una primera respuesta es comodidad. Antes de su introducción en el álgebra, la situación parecía relativamente simple, estudiar álgebra era aprender a realizar las operaciones algebraicas con los números. Sin embargo, con la aparición de nuevos objetos matemáticos: funciones, vectores, matrices, permutaciones, etc. aparecieron, también, operaciones con ellos. Una alternativa para el estudio era crear una secuencia de cursos más o menos en el siguiente orden: el álgebra de los reales, el álgebra de los complejos, el álgebra de los polinomios, el álgebra de los vectores bidimensionales, el álgebra de los vectores tridimensionales, el álgebra de las matrices, el álgebra de los enteros--modulo, el álgebra de los cuaterniones, el álgebra de los tensores, etc. La invención de nuevos objetos y de sus operaciones, hacían del álgebra un campo en continua expansión y, adonde, era difícil seguirle el rastro a todos los nuevos objetos. Frente a dicha explosión de objetos, se inventó una clasificación que reducía esas álgebras a unas pocas estructuras que servirían para unificar los estudios. Las estructuras básicas con una operación son: semigrupos, monoides y grupos, con dos o más operaciones: anillos, dominios, cuerpos, espacios vectoriales, módulos y álgebras. Estas estructuras, con algunas subestructuras, permiten organizar los estudios por las propiedades básicas comunes, en lugar de mirar a la naturaleza de los elemento .

Por ejemplo, la estructura de cuerpo presupone un conjunto donde están definidas las cuatro operaciones aritméticas poseyendo las propiedades usuales. Ejemplos inmediatos de esa estructura son: los Racionales, los Reales y los Complejos, así como los Enteros módulo un número primo. En este curso, veremos algunos cuerpos adicionales (hay infinitos ejemplos).

Organización del libro

El libro está organizado en cuatro partes. La primera parte, que incluye esta introducción, presenta las generalidades acerca de las operaciones y de los tipos de estructuras algebraicas básicas más importantes.

La segunda parte esta dedicada a la estructura de grupo (un conjunto con una operación con una serie de propiedades). Esta estructura es fundamental tanto para las matemáticas como para muchas otras áreas del conocimiento: física, química, programación, etc. Los ejemplos básicos de grupo que veremos son: los grupos cíclicos (provenientes de la teoría de números), los grupos simétricos (provenientes de la teoría de ecuaciones), y los grupos provenientes de la geometría (grupos diedrales).

La tercera parte está dedicada a las estructuras de anillo y cuerpo, que son abstracciones de las propiedades algebraicas de los Enteros y de los Racionales respectivamente.

Los ejemplos básicos de anillos son los Enteros (usuales y algebraicos), los polinomios con coeficientes en un cuerpo. Los cuerpos más importantes serán los numéricos (Racionales, Reales, Complejos) y algunos cuerpos finitos.

Finalmente, la cuarta parte son apéndices que contienen resúmenes de las definiciones y propiedades referentes a las funciones, las relaciones, los sistemas numéricos. En estos apéndices, resumimos nociones y resultados que debería conocer un lector de este texto.

Los lectores atentos podrán darse cuenta que, a veces, hay repeticiones de material. Algunas de esas repeticiones son intencionales, a fin de permitir leer capítulos en forma más independientes.

En el texto, en varias ocasiones, mencionamos a las personas que han tenido un rol en el desarrollo de los temas tratados. Esperamos que el lector lea acerca de ellos. El primer sitio adonde buscar lo anterior es el siguiente enlace de la Universidad de San Andrés de Escocia

• «MacTutor History of Mathematics archive» (en inglés).

Aunque, a veces, no lo pueda parecer, éste es un texto elemental. Hay varios textos más avanzados o equivalentes que aparecen en la bibliografía. Otra fuente de consulta son las bibliotecas en línea.

Sugerencias para el estudio

Cada disciplina o area de estudio tiene una manera especial de adquirir conocimientos respecto a la misma. En Álgebra Abstracta, se trata de una teoría de las operaciones, lo que implica que la validez de los resultados se tienen que deducir de las propiedades básicas (axiomas). Los lectores deben adquirir el hábito (si no lo tienen con anterioridad) de preguntar por la validez de los enunciados. La intuición que tenemos de manipulaciones de expresiones algebraicas anteriores es, sin duda, muy útil; pero que puede ser perturbadora. Muchos de los resultado conocidos, son válidos en ciertas situaciones, pero no en todas; por ejemplo. hay importantes multiplicaciones que no son conmutativas. Como consecuencia de lo anterior, una relación algebraica tan simple como $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$, no siempre es válida. Precisamente, los análisis de Álgebra Abstracta nos permitirán identificar que es necesario suponer para que la relación anterior sea válida.

• Las definiciones son importantes. Es necesario memorizarlas, reconocer instancias adonde se aplica la definición y distinguirlas de aquellas adonde no se aplican. La memorización debe ser con entendimiento y cada lectora o lector puede redactarlas a su conveniencia, siempre y cuando no cambien el significado.
• Los enunciados validos pueden clasificarse como axiomas, proposiciones, corolarios y teoremas. Los axiomas son enunciados que aceptamos de partida como válidos. Usualmente en el texto están contenidos en las definiciones. Por ejemplo, cuando estudiamos grupos, suponemos que la operación es asociativa. Al contrario las proposiciones, corolarios y teoremas son enunciados que deben probarse usando los axiomas u otros enunciados probados anteriormente. Las diferencias entre esos enunciados es énfasis: corolarios son consecuencias inmediatas de una proposición, teoremas son proposiciones con resultados muy importantes (es decir que tienen muchas aplicaciones).
  
• En cada proposición (o corolario o teorema) es importante identificar claramente las hipótesis (los supuestos) y la tesis (la conclusión). Antes de leer la demostración, resulta valioso intentar pensar en alguno de los ejemplos principales y ver que significa el teorema para esos ejemplos. Igualmente, tratar de buscar una demostración. Algunas proposiciones tienen pruebas relativamente triviales y pueden probarse sin mucho esfuerzo. Aún para aquellas con mayor dificultad, vale la pena intentar la prueba, para poder apreciar mejor la ingeniosidad de la prueba, o ver claramente los puntos principales de la demostración. Al revés de las definiciones, las demostraciones no necesitan ser memorizadas tal cual se presentan. Más importante son los "trucos" usados, que pueden ser usados en otras demostraciones o ejercicios. Después de aplicar los resultados, vale la pena preguntar si no habría otra manera de hacer lo mismo.
  
• Los ejemplos se presentan para ilustrar propiedades y resultados de proposiciones y, a veces, para motivar o introducir un nuevo concepto. En el último caso, el ejemplo (o ejemplos) será seguido de una definición. Tratar de dar una definición antes de leer aquellas dada en el texto. Hay ejemplos que se repiten a través del libro, por lo que se debe trabajar con ellos.
  
• Las demostraciones constituyen, de cierta manera, el meollo del estudio, ya que las demostraciones nos permiten formar una red lógica de conceptos y resultados, que posibilitarán el entendimiento del material. Demostrar es, simplemente, explicar porque creemos que cierta afirmación es válida, la única restricción es que las explicaciones deben ser enunciados previamente conocidos como válidos. Inicialmente, en el texto, hay demostraciones de muchas de las proposiciones, especialmente explicando la razón de cada paso. Posteriormente, tales justificaciones quedarán al cuidado del lector o lectora. Cuando una demostración sea muy extensa o compleja, recomendamos que la lectora o lector trate de dividirla en partes, y examine cuidadosamente lo hecho.

Algunos convenios

Usamos los convenios siguientes de notación y nomenclatura para los principales sistemas numéricos.

$\mathbb {N}$	El conjunto de los números naturales.
$\mathbb {N} ^{+}$	El conjunto de los naturales positivos.
$\mathbb {Z}$	El conjunto de los enteros.
$\mathbb {Q}$	El conjunto de los racionales.
$\mathbb {R}$	El conjunto de los reales.
$\mathbb {C}$	El conjunto de complejos.
$\mathbb {Z} _{m}$	El conjunto de los enteros módulo $m.$

En el texto, nos referiremos al conjunto de los números naturales, $\mathbb {N}$, como los Naturales; igualmente para los otros conjuntos numéricos.

Las notaciones y nomenclatura acerca de funciones se hallan en el apéndice Las Funciones, mientras que lo referente a relaciones se halla en el apéndice Las Relaciones.

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