Variable compleja/Los números complejos/El conjunto de los números complejos/El cuerpo de los números complejos

Ha llegado el momento de introducir la única diferencia entre las estructuras habituales de $\mathbb {R} ^{2}$ y de $\mathbb {C}$. Hasta ahora, todo lo dicho sobre $\mathbb {C}$ era exactamente lo mismo que se puede encontrar sobre $\mathbb {R} ^{2}$ en cualquier libro de Álgebra Lineal, de Geometría o de Topología. Pero en este momento vamos a introducir en $\mathbb {C}$ una nueva operación interna, algo que no exigimos habitualmente a $\mathbb {R} ^{2}$. Esta simple introducción será lo que permita las enormes diferencias que luego irán apareciendo.

Producto de números complejos.

Definimos la operación interna en $\mathbb {C}$:

$\cdot :\mathbb {C} \times \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C}$ definida por $(a+ib)\cdot (c+id):=ac-bd+i(ad+bc)$.

Es evidente que la aplicación anterior está correctamente definida. Se denomina producto de números complejos. Se acostumbra a prescindir del signo "$\cdot$". Veamos sus propiedades:

El producto es conmutativo.

El producto de números complejos verifica la propiedad conmutativa.

Demostración:

Sean $a+ib,c+id\in \mathbb {C}$. Entonces:

• $(a+ib)(c+id)=ac-bd+i(ad+bc)$;
• $(c+id)(a+ib)=ca-db+i(da+cb)$.

Como el producto de números reales verifica la propiedad conmutativa, los segundos miembros de las igualdades anteriores son iguales. Luego, por la propiedad transitiva de la relación de igualdad, lo son también los primeros miembros.

En particular $ib=bi$. Así, es indiferente escribir $a+ib$ que $a+bi$, ya que ambos resultados son el mismo número complejo.

El producto es asociativo.

El producto de números complejos verifica la propiedad asociativa.

Demostración:

Sean $a+ib,c+id,e+if\in \mathbb {C}$. Recordamos que el producto de números reales cumple las propiedades asociativa y conmutativa, que es distributivo respecto de la suma y que la suma de números reales también es conmutativa. Así:

• $(a+ib)((c+id)(e+if))=(a+ib)(ce-df+i(cf+de))=(a(ce-df)-b(cf+de))+i(a(cf+de)+b(ce-df))=ace-adf-bcf-bde+i(acf+ade+bce-bdf)$
• $((a+ib)(c+id))(e+if)=(ac-bd+i(ad+bc))(e+if)=(ac-bd)e-(ad+bc)f+i((ac-bd)f+(ad+bc)e)=ace-bde-adf-bcf+i(acf-bdf+ade+bce)$

El producto tiene elemento neutro.

El número complejo 1 es elemento neutro para el producto de números complejos.

Demostración:

Consideremos el número complejo $1=1+i0$. Si $a+ib$ es un número complejo, entonces:

$1(a+ib)=(1+i0)(a+ib)=(1a-0b)+i(1b-0a)=a+ib$.

La conmutatividad del producto concluye la prueba.

El producto tiene elemento simétrico.

Dado cualquier número complejo $z\neq 0$, existe un número complejo $z^{-1}\neq 0$ de manera que $zz^{-1}=z^{-1}z=1$.

Demostración:

Sea $z=a+ib\in \mathbb {C} \backslash \{0\}$. Consideramos el número complejo ${\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-i{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}$.

Veamos que es un número complejo no nulo. En efecto, como $z\neq 0$, o bien $a\neq 0$ y entonces es $0<a^{2}\leq a^{2}+b^{2}$, o bien es $b\neq 0$ y entonces es $0<b^{2}\leq a^{2}+b^{2}$. En ambos casos es $a^{2}+b^{2}\neq 0$, y ${\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\in \mathbb {R}$. Además, de nuevo, si es $a\neq 0$, será ${\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}\neq 0$, y si es $b\neq 0$, será ${\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\neq 0$. Como $\{1,i\}$ forman una base de $\mathbb {C}$ como $\mathbb {R}$-espacio vectorial, entonces es ${\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-i{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\neq 0$.

Ahora:

$zz^{-1}=(a+ib)({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}+i{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}})=(a{\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-b{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}})+i(b{\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}+a{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}})={\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}+i{\frac {0}{a^{2}+b^{2}}}=1$.

La conmutatividad del producto de números complejos nos permite afirmar que $z^{-1}z=zz^{-1}=1$.

Grupo abeliano del producto.

Según las propiedades que hemos probado hasta ahora, el producto de números complejos dota al conjunto $\mathbb {C} \backslash \{0\}$ de estructura de grupo abeliano. Denotaremos por $\mathbb {C} ^{*}:=\mathbb {C} \backslash \{0\}$. Al grupo abeliano $(\mathbb {C} ^{*},\cdot )$ se lo denomina a veces como grupo multiplicativo complejo. Al elemento neutro $1$ se lo suele denominar elemento unidad, o sencillamente unidad. Dado $z\in \mathbb {C} ^{*}$, al elemento simétrico $z^{-1}$ se le suele denominar elemento inverso de $z$, o sencillamente inverso de $z$.

La Teoría de Grupos nos permite afirmar que el elemento unidad es único (es decir, existe un único elemento unidad), y que fijado $z\in \mathbb {C}$, existe un único inverso $z^{-1}$ de $z$.