Variable compleja/Los números complejos/El conjunto de los números complejos

Existen al menos dos maneras distintas (aunque equivalentes) de definir el conjunto de los números complejos. Comenzaremos por la manera más extendida y usual, dejando para un apéndice la construcción del cuerpo de números complejos como extensión algebraica del cuerpo de los números reales.

El conjunto de números complejos (denotado por $\mathbb {C}$) no es otra cosa que el producto cartesiano $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$, es decir, el conjunto $\mathbb {R} ^{2}$. Es importante que desde el primer momento se tenga en cuenta esta igualdad. Como conjunto, sin ningún tipo de estructura algebraica o topológica añadida, no existe pues ninguna diferencia entre el conjunto de números complejos y el conjunto $\mathbb {R} ^{2}$. En particular esto quiere decir que no vamos a quitar elementos de $\mathbb {R} ^{2}$ para obtener $\mathbb {C}$, ni a identificar elementos mediante relación de equivalencia alguna, ni a añadir a $\mathbb {R} ^{2}$ ningún nuevo elemento.

La distinción entre $\mathbb {R} ^{2}$ y $\mathbb {C}$ aparecerá cuando definamos en $\mathbb {C}$ una operación que no es ninguna de las usuales en $\mathbb {R} ^{2}$. Es decir, introduciremos en $\mathbb {R} ^{2}$ una nueva operación que hará variar la estructura algebrica usual de ese sistema (aquella con la que trabajamos generalmente con ese conjunto, es decir, la de espacio vectorial real con la suma y producto por escalares usuales), de manera que se denotará por $\mathbb {C}$ al sistema algerbaico resultante. En seguida veremo esto, pero antes quisiéramos resaltar de nuevo que, como conjuntos, no hay ninguna diferencia entre $\mathbb {R} ^{2}$ y $\mathbb {C}$.

El conjunto de los números complejos como espacio vectorial real.

Según lo anterior, el conjuto $\mathbb {C}$ es el conjunto $\mathbb {R} ^{2}$. Sabemos por el Ágebra Lineal que este conjunto está dotado de una estructura de espacio vectorial real de manera natural. Esa estructura de espacio vectorial real, recordemos, es la que deviene de las siguientes operaciones:

$+:\mathbb {C} \times \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C}$ definida de la siguiente manera $(a,b)+(c,d)\mapsto (a+c,b+d)$. Es decir, la suma es componente a componente (de ahí que se diga que aparece de manera natural). Se comprueba sin dificultad que $(\mathbb {R} ,+)$ es un grupo abeliano.

$\cdot :\mathbb {C} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {C}$ definida por $(a,b)\cdot \lambda =(a\cdot \lambda ,b\cdot \lambda )$, esto es, el producto componente a componente (de ahí lo de natural). De nuevo sin dificultad se demuestra que con esta operación externa obtenemos un espacio vectorial real $(\mathbb {C} ,+,\cdot \mathbb {R} )$, de dimensión 2. El conjunto $\{(1,0),(0,1)\}$ es una base de dicho espacio vectorial, denominada base canónica. De hecho se suele dar esa base ordenada, es decir, consideraremos el par $((1,0),(0,1))$ como base ordenada. En consecuencia, todo elemento $(a,b)\in \mathbb {C}$ puede expresarse mediante la siguiente combinación lineal: $(a,b):=(1,0)\cdot a+(0,1)\cdot b$.

Ahora consideraremos el siguiente cambio de notación: denotaremos por $i$ al elemento $(0,1)$, y eliminaremos cualquier referencia al elemento $(1,0)$. En general, eliminaremos los signos del producto, es decir, el producto $a\cdot b$ lo denotaremos por $ab$. De esta manera, la combinación lineal anterior se representará por $a+ib$.

Existen dos aplicaciones lineales muy especiales y que usaremos con mucha frecuencia. Se trata de las proyecciones primera y segunda. Denominaremos parte real a la primera proyección, es decir, a la aplicación lineal $\operatorname {Re} :\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {R}$ definida como $\operatorname {Re} (a+ib):=a$. De la misma manera, definimos la parte imaginaria como la segunda proyección, esto es, la aplicación lineal $\operatorname {Im} :\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {R}$ definida como $\operatorname {Im} (a+ib):=b$. Es evidente que dado cualquier $z\in \mathbb {C}$ se tiene que $z=\operatorname {Re} (z)+i\operatorname {Im} (z)$. Denominaremos eje real al conjunto $\operatorname {Re} (\mathbb {C} )=\{x+0i:x\in \mathbb {R} \}$, y eje imaginario al conjunto $i\operatorname {Im} (C)=\{iy:y\in \mathbb {R} \}$. Tanto el eje real como el eje imaginario son subespacios vectoriales de $\mathbb {C}$ de dimensión 1.

El plano afín.

Se denomina plano afín (real) al espacio afín en el que el espacio vectorial asociado es $(\mathbb {C} ,+,\cdot \mathbb {R} )$, y la familia de traslacines se define de la siguiente manera: dado $a+ib\in \mathbb {C}$, definimos la traslación por el vector $a+ib\in \mathbb {C}$ como la aplicación $T_{a+ib}:\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C}$ que actúa de la siguiente manera $x+iy\mapsto x+a+i(y+b)=(x+iy)+(a+ib)$.

Exigiremos que exista una traslación por cada número complejo.

El plano euclídeo.

Se denomina plano euclídeo al espacio euclídeo formado por el espacio vectorial real $(\mathbb {C} ,+,\cdot \mathbb {R} )$ y el producto escalar (forma bilineal definida positiva) $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {C} \times \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {R}$ definida por $\langle a+ib,c+id\rangle :=ac+bd$.

El producto escalar determina sobre $\mathbb {C}$ una norma, denominada módulo, $|\cdot |:\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {R} ^{+}$ que actúa de la siguiente manera: $|a+ib|:={\sqrt {\langle a+ib,a+ib\rangle }}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$. Con esta norma, el espacio normado $(\mathbb {C} ,|\cdot |)$ es completo, es decir, es un espacio de Banach.

La topología del conjunto de los números complejos.

El módulo, como toda norma, define una distancia en el conjunto donde se halla definida, es decir, en el conjunto de los números complejos. Tenemos pues la siguiente distancia (denominada distancia usual o euclídea): $d:\mathbb {C} \times \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {R}$ definida de la siguiente manera: $d(a+ib,c+id):=|(a+ib)-(c+id)|=|a-c+i(b-d)|$.

Toda distancia determina una topología en el cunjunto en el que está definida. En nuestro caso viene definida por la base (de topología) siguiente: $\{\Delta (a+ib,\varepsilon ):a+ib\in \mathbb {C} ,\epsilon \in \mathbb {R} ^{+}\}$, donde se define el disco abierto de centro $a+ib\in \mathbb {C}$ y radio $\varepsilon >0$ como el conjunto $\Delta (a+ib,\varepsilon ):=\{x+iy\in \mathbb {C} :|x-a+i(y-b)|<\varepsilon \}$.