Variable Compleja/Operaciones de números complejos/Potenciación

Forma Rectangular

Para elevar un número complejo a un exponente entero, se aplican las identidades notables (cuadrado de la suma) . Se debe tener en cuenta la igualdad $i^{2}=-1$:

$(6-3i)^{2}=6^{2}-2\cdot 6\cdot 3i+(3i)^{2}=36-36i+9i^{2}=36-36i+9(-1)=36-36i-9=27-36i\,.$

esto es para explicar el proceso de potenciacion

Forma Polar

• Exponente natural y entero. Sea el número complejo, en notación trigonométrica, $z=r(\cos \phi +i\operatorname {sen} \phi )$, según el Teorema de Moivre:

$z^{n}=r^{n}[\cos n\phi +i\operatorname {sen} n\phi ]$.

• Entero negativo

$z^{-n}=\left({\frac {1}{z^{n}}}\right)$, donde el entero $n\geq 2$

• Exponente racional. La ecuación

$z=\alpha ^{\frac {p}{q}}$ significa $z^{q}=\alpha ^{p}$, en donde se toman en cuenta todas las soluciones z posibles. Se supone que p y q son primos entre sí.

. Se deduce

$|z|^{q}=|\alpha |^{p}$ y $q\times \arg z=p\times \arg \alpha +2k\pi$

. En consecuencia

$|z|=|\alpha |^{\frac {p}{q}}$ y $\arg z={\frac {p}{q}}\times \arg \alpha +{\frac {2k\pi }{q}}$

considerando $k=0,1,..,q-1$, se obtienen $q$ resultados.

• Exponente complejo. Si z y α son números complejos entonces $z^{\alpha }=e^{\alpha \ln z}=\exp(\alpha \times \ln z)$

Un ejemplo sencillo: $(-2)^{\sqrt {2}}=2^{\sqrt {2}}[\cos(2k+1)\pi {\sqrt {2}}+i\operatorname {sen}(2k+1)\pi {\sqrt {2}}]$