Variable Compleja/Operaciones de números complejos/División

División

La división en forma rectangular se compone de una racionalización:

{\frac {(a+bi)}{(c+di)}}={((ac+bd)+(bc-ad)i) \over c^{2}+d^{2}}=\left({(ac+bd)+(bc-ad)i \over c^{2}+d^{2}}\right)

Dada la división de dos números complejos:

{\cfrac {(a+bi)}{(c+di)}}

Si multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del divisor la división no varia:

{\cfrac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}

Realizando las multiplicaciones:

{\begin{array}{rrrr}&a&+&bi\\*&c&-&di\\\hline &-bdi^{2}&+&-adi\\&ac&+&cbi\\\hline &(ac+bd)&+&(-ad+cb)i\end{array}}\quad {\begin{array}{rrrr}&c&+&di\\*&c&-&di\\\hline &-ddi^{2}&+&-cdi\\&cc&+&cdi\\\hline &(d^{2}+c^{2})&+&0\end{array}}

Con lo que tenemos:

{\cfrac {(ac+bd)+(-ad+cb)i}{(d^{2}+c^{2})}}={\cfrac {ac+bd}{d^{2}+c^{2}}}+{\cfrac {-ad+cb}{d^{2}+c^{2}}}\,i

La división de números complejos es recomendable con la notación polar:

{\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r}{s}}e^{\mathrm {i} (\phi -\psi )}