Variable Compleja/Integral de Riemann/Definicion Formal

Integrabilidad de Riemann

Una función $f$ acotada definida en un intervalo $[a,b]$ se dice que es Riemann integrable en $[a,b]$ si existe un número $I$ en los reales tal que, para todo número real positivo $\varepsilon$ existe una $\delta$ positiva tal que si $P$ es una partición de $[a,b]$ con $\|P\|<\delta$ y $S(P,f)$ es cualquier suma de Riemann entonces $|S(P,f)-I|<\varepsilon$.

Usualmente para funciones conocidas que sabemos integrables se toma una partición regular del intervalo y se toman los $t_{k}$ como alguno de los puntos extremos de cada intervalo. Notar que si no supiéramos que la función es integrable entonces no podríamos tomar cualquier punto del intervalo arbitrariamente, es decir, no podríamos tomar los valores extremos. En este caso en que no sabemos que es integrable, tendríamos que revisar que para cualquier valor $t_{k}$ que tomáramos en cada intervalo $[x_{k-1},x_{k}]$ la suma de Riemann menos algún número real $I$ es menor en valor absoluto que cualquier $\varepsilon$ que hubiéramos tomado. En caso de cumplirse habríamos demostrado que la función f es integrable según Riemann en $[a,b]$ y habríamos hallado su valor; en caso de no cumplirse no habríamos probado nada en absoluto. Cuando llevamos al límite esta partición, se puede demostrar que obtenemos el valor de la integral:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {(b-a)}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(a+k{\frac {(b-a)}{n}})$

Esta última expresión es sobre todo útil para funciones que sabemos que son integrables como, por ejemplo, las continuas. Podemos demostrar que toda función que es continua en un intervalo $[a,b]$, es integrable, en cuyo caso lo único que restaría sería encontrar el valor de la integral. Por supuesto, si ya estamos familiarizados con el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo entonces basta hallar una función $F(x)$ (denominada primitiva de $f(x)$) cuya derivada nos dé nuestra función original $f(x)$ y entonces el valor de la integral es $F(b)-F(a)$. No siempre podemos hallar una función primitiva de la que estamos integrando. En esos casos, se recurre a una expresión como la anterior o a métodos de aproximación.

Condición necesaria y suficiente para la integrabilidad de Riemann

En este apartado nos referiremos a funciones acotadas en un intervalo cerrado $[a,b]$ (igual que en los apartados anteriores).

Una función no ha de ser continua para ser integrable de Riemann (no obstante esta es una condición suficiente); de hecho una función continua en todo el intervalo salvo en un punto es integrable de Riemann, incluso una función con un número numerable de discontinuidades es integrable y en el caso extremo ciertas funciones con un número no numerable de discontinuidades pueden ser integrables. El siguiente teorema establece que una función es integrable si y solo si su conjunto de discontinuidades se puede recubrir por conjuntos abiertos tales que la suma de sus anchuras puede hacerse arbitrariamente pequeña.

Sea $f$ una función definida y acotada en $[a,b]$ y sea $D$ el conjunto de las discontinuidades de $f$ en $[a,b]$. Entonces $f\in R$ (con $R$ el conjunto de las funciones Riemann integrables) en $[a,b]$ si, y solo si, $D$ tiene medida cero.|título= Criterio de Lebesgue para la integrabilidad de Riemann

De este modo, cualquier función continua o con un conjunto numerable de discontinuidades es integrable. Como ejemplo de función con un conjunto no numerable de discontinuidades e integrable tenemos por ejemplo:

$f(x)={\begin{cases}1,&{\mbox{si }}x\in C\\0,&{\mbox{si }}x\notin C\end{cases}}$

siendo C el conjunto de Cantor.

Fuente

En base a su artículo de Wikipedia