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Ley cero de la Termodinámica

A lo largo de la historia y el desarrollo de la termodinámica se observa que aún en el siglo XVII no se tiene un concepto bien definido de lo que es la temperatura. La noción de temperatura, o mas bien de lo que es frio o caliente, era subjetiva -- muy a pesar de la suma importancia en diferentes aspectos de la vida cotidiana (la temperatura corporal humana, la dependencia de la temperatura de varios procesos en la producción de alimentos, como los lácteos, etc.). Los aparatos termométricos de esta epoca se llaman termoscopios. Un termoscopio es capaz de registrar cambios de temperatura en una sustancia a corto plazo, pero a diferencia de un termometro, no tiene una escala estandardizada para comparar mediciones realizadas con diferentes aparatos, o despues de mucho tiempo. El problema en este tiempo no era simplemente la falta de instrumentos para medir la temperatura, sino mas severo, el hecho que no se sabia que era realmente.

Ultimamente, la temperatura es un fenomeno estadistico, y así lo define la mecánica estadística. La termodinámica clásica, sin embargo, acepta este planteamiento solo como una posibilidad entre varias. En lugar de definir que es la temperatura se definen las propiedades necesarias para que algo se puede llamar temperatura (ver el paragrafo correspondiente en la Introducción). Esto significa que utilizaremos un desarollo axiomático. El camino hasta llegar a la definición de temperatura, o mas bien temperatura empírica, se puede repartir en tres etápas:

• 1 Definición del concepto equilibrio térmico.
• 2 Enunciar el principio cero (la ley cero) de la termodinámica.
• 3 Definir los requisitos para algo se puede llamar temperatura y comprobar que hay cuantidades que los cumplen.

Definiciónes

• x.x Pared diatérmica (contacto térmico):
• x.x Equilibrio térmico:

Si tenemos dos sistemas $S_{1}$ y $S_{2}$ que interactúan sólo térmicamente hasta igualar su temperatura; entonces se dice que $S_{1}$ y $S_{2}$ están en equilibrio térmico. Entonces llamamos equilibrio térmico si y sólo si dos sistemas tienen la misma temperatura.

Ley cero de la termodinámica: Sean $S_{1},S_{2}$ y $S_{3}$ tres sistemas termodinámicos distintos, si $S_{1}$ y $S_{2}$ se encuentran en equilibrio térmico y a su vez $S_{1}$ y $S_{3}$ también estan en equilibrio térmico entonces concluimos que $S_{2}$ y $S_{3}$ se encuentran en equilibrio térmico.

Si " $\sim \,$ " significa que los sistemas están en equilibrio térmico entonces tenemos: Si $S_{1}\sim S_{2}\,$ y $S_{1}\sim S_{3}\,$ entonces $S_{2}\sim S_{3}\,$. Dicho resultado se le llama la ley cero de la termodinámica. Archivo:Equil-term.png

La relación equilibrio térmico definido para sistemas termodinámicos es una relación de equivalencia. Esto significa que se cumplen los siguientes condiciones:

• identidad
• commutatividad
• transitividad (debido a la ley cero)

Temperatura empírica

Entonces a los sistemas que están en equilibrio térmico con otros sistemas, tienen una propiedad intensiva en común, la cual llamamos temperatura. Si dichos sistemas no se encuentran en equilibrio térmico con otros sistemas tienen diferentes temperaturas.

Definición

• x.x Temperatura Empírica

Para cualquier sistema termodinámico existe una función $\Phi _{n}(P,V)$ de sus coordenadas independientes, la cual tiene la propiedad que el valor numérico de $\Phi$ es el mismo, para todo sistema en equilibrio térmico. A dicho valor se le llama temperatura empírica:

$\Phi _{n}(P,V)=\theta$

Entonces, la temperatura empírica es aquella variable cuyo valor numérico $\theta$ establece cuándo dos o más sistemas se encuentran o no en equilibrio.

Comprobar La ley cero implica la existencia de una temperatura empírica!

Ciclo de Carnot

Este Ciclo fue presentado por Carnot en 1824, el proceso se desarrolla con la ecuación del gas ideal. El ciclo se realiza en cuatro pasos reversibles y seguidos como se muestra en la figura.

PASO I

De $V_{1}$ a $V_{2}$ existe una isoterma $T_{1}$ entonces sabemos que para $T_{1}$ constante la ecuación del gas ideal es: ${\frac {V_{2}}{V_{1}}}={\frac {P_{1}}{P_{2}}}$

De igual manera sabemos que para un gas ideal la energía cinética no cambia con $T_{1}$ constante, entonces: $\Delta U_{1}=\Delta W_{1}+\Delta Q_{1}=0;$

Entonces tenemos $\Delta Q_{1}=-\Delta W_{1}$

como $P={\frac {NkT_{1}}{V}}$ integrando

$\Delta Q_{1}=-\Delta W_{1}=NkT_{1}\int _{V_{1}}^{V_{2}}{\frac {dV}{V}}=NkT_{1}\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)\ ;$

PASO II

Para este paso el volumen cambia de $V_{2}$ a $V_{3}$ al igual que la temperatura de $T_{1}$ a $T_{2}$ donde $T_{1}>T_{2}$ entonces sabemos que para el gas ideal:

${\frac {V_{3}}{V_{2}}}=+\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}$

Y para procesos adiabáticos $\Delta Q_{2}=0$ entonces el trabajo realizado se toma de la energía cinética: $\Delta W_{2}=\Delta U_{2}={\frac {3}{2}}Nk\left(T_{1}-T_{2}\right)$

PASO III

Ahora se comprime el sistema isotermicamente de $V_{3}$ a $V_{4}$ con la temperatura $T_{2}$ constante, análogamente que en el paso 1 tenemos: ${\frac {V_{4}}{V_{3}}}={\frac {P_{3}}{P_{4}}}$ y conociendo que la energía cinética no cambia con $T_{2}$ constante entonces:

$\Delta U_{3}=\Delta W_{3}+\Delta Q_{3}=0$ entonces el calor es el negativo del trabajo e integrando: $\Delta Q_{3}=-\Delta W_{3}=NkT_{2}\int _{V_{4}}^{V_{3}}{\frac {dV}{V}}=NkT_{2}\ln \left({\frac {V_{4}}{V_{3}}}\right)$

Ya que $V_{4}<V_{3}$se sigue entonces que $\Delta Q_{3}<0$ en otras palabras el gas pierde esta cantidad de calor.

PASO IV

Finalmente, y siendo análogo al paso II, es un proceso adiabático por medio de la compresión de $V_{4}$ a $V_{1}$ y la temperatura incrementa de $T_{2}$ a $T_{1}$, entonces tenemos del gas ideal: ${\frac {V_{1}}{V_{4}}}=\left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {3}{2}}$ a su vez como $\Delta Q_{4}=0$ Entonces tenemos $\Delta W_{4}=\Delta U_{4}={\frac {3}{2}}Nk\left(T_{2}-T_{1}\right);$

EFECTIVIDAD DEL CICLO DE CARNOT

Para calcula el trabajo total del ciclo se suman los respectivos trabajos de los cuatro pasos,

$\Delta W_{Total}=\Delta W_{1}+\Delta W_{2}+\Delta W_{3}+\Delta W_{4},$ entonces

sustituyendo queda $\Delta W_{Total}=-NkT_{1}\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)\ +{\frac {3}{2}}Nk\left(T_{1}-T_{2}\right)-NkT_{2}\ln \left({\frac {V_{4}}{V_{3}}}\right)+{\frac {3}{2}}Nk\left(T_{2}-T_{1}\right),$ donde el trabajo de $\Delta W_{1}+\Delta W_{3}=0$ por tanto sólo nos queda, $\Delta W_{Total}=-NkT_{1}\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)\ -NkT_{2}\ln \left({\frac {V_{4}}{V_{3}}}\right),$ y utilizando la igualación de las ecuaciones ${\frac {V_{3}}{V_{2}}}=\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}$ y ${\frac {V_{1}}{V_{4}}}=\left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {3}{2}}$ entonces tenemos ${\frac {V_{3}}{V_{2}}}={\frac {V_{4}}{V_{1}}}$ sustituyendo entonces en el trabajo total $\Delta W_{Total}=-Nk(T_{2}-T_{1})\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)=-\left(\Delta Q_{1}+\Delta Q_{3}\right),$ ya que la $T_{2}>T_{1}$ y $V_{2}>V_{1}$ es una cantidad negativa y por tanto el trabajo se realiza por el gas.

El trabajo realizado en el ciclo de Carnot es tomado del calor, y por tanto de la diferencia de temperaturas y de la compresión de volumenes. Para calcular la eficiencia del ciclo se define como el cociente entre el calor transformado en trabajo y el calor absorbido,

$\eta ={\frac {\vert \Delta W\vert }{\Delta Q_{1}}}={\frac {\Delta Q_{1}+\Delta Q_{3}}{\Delta Q_{1}}}=1+{\frac {\Delta Q_{3}}{\Delta Q_{1}}},$ o bien en terminos de temperatura $\eta ={\frac {T_{1}-T_{2}}{T_{1}}}=1-{\frac {T_{2}}{T_{1}}}.$