Usuario:Sergiores:heuristica

Ejercicio 16. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (2,3) que tiene abscisa y ordenada al origen iguales.

¿Qué me dan?

-Un punto P(2,3) de una recta que tiene abscisa y ordenada al origen iguales, es decir, que el valor del lugar en donde corta al eje x es igual al valor de donde corta al eje y.

¿Qué me piden?

-Me piden hallar la ecuación de dicha recta.

¿Cómo se relaciona lo que me dan con lo que me piden?

-Para hallar la ecuación de una recta cualquiera de la forma $y=mx+b$ se requiere de al menos un punto y la pendiente. Tengo el punto, pero no la pendiente. Me dicen que dicha recta tiene abscisa y ordenada al origen iguales, con lo cual, la coordenada de la abscisa debe ser Q(x,0) y la coordenada de la ordenada S(0,y) y como son iguales, y=x. Ahora bien, como para hallar la pendiente de una recta se necesitan dos puntos, entonces $m={\frac {0-y}{y-0}}=-1$. Ya tenemos la pendiente, y como nos dijeron que tenía que cruzar el punto P(2,3) simplemente se reemplaza el valor de la pendiente y dicha coordenada en la ecuación $y=mx+b$, con lo cual hallaremos b y tendremos finalmente nuestra ecuación. Entonces,

$(3)=(-1)(2)+b$ $(3)=-2+b$ $b=5$

Con $m=-1$ y $b=5$, nuestra ecuación queda $y=-x+5$.

Esquema:

Archivo:Graficaheu1.PNG

¿Cómo verifico que la relación es cierta?

-Se prueba la ecuación para cuando $x=0$ y $y=0$ y en ambos casos da 5.

-Se prueba la ecuación para cuando $x=2$ y $y=3$. En el primer caso $(x=2)$, $y=3$ y en el segundo caso $(y=3)$, $x=2$

Ejercicio 12. Experiencias pasadas indican que la producción de huevo en el municipio de Misantla crece linealmente. En 1970 fue de 700000 cajas y en 1970 fue de 820000 cajas. Escriba una ecuación para el número de cajas N producidas n años despues de 1960 y úsela para predecir la producción de huevo en el año 2000.

¿Qué me dan?

-Me dicen que la producción de huevo crece linealmente. En 1960 la producción fue de 700000 huevos y en 1970 de 820000.

¿Qué me piden?

-Me piden encontrar la ecuación que describe el crecimiento de la producción de huevos en terminos de N (cantidad de cajas producidas en n años) y n (años después de 1960) y con ésta, predecir la producción de huevo en el año 2000.

¿Cómo relaciono lo que me dan con lo que me piden?

-Como sabemos que el crecimiento en la producción es lineal, la ecuación que me piden encontrar debe tener la forma $y=mx+b$. Si ubicamos la información dada en en plano cartesiano, tomando los años en el eje x y la cantidad de cajas en el eje y, empezando con 1960 como el año cero y 1970 como el año 10. De esta forma, obtenemos dos puntos en el plano: P(0,700000) y Q(10,820000).

Esquema:

Archivo:Graficaheu2.PNG

Con estos puntos podemos obtener la pendiente de nuestra ecuación:

$m={\frac {820000-700000}{10-0}}=12000$

Con esta información, tenemos nuestro primer esbozo de la ecuación: $N=12000n+b$. Ahora sólo nos resta encontrar el valor de b para completar nuestra ecuación. Para esto vamos a reemplazar los valores de $N$ y $n$ con 820000 y 10 respectivamente:

$820000=12000(10)+b$ $820000=120000+b$ $b=700000$

Con esto completamos finalmente nuestra ecuación. Esta es: $N=12000n+700000$. Para saber cuál será la producción de huevos en el año 2000, simplemente hallamos el valor de n restándole a 2000, 1960: $n=2000-1960=40$. Ahora reemplazamos n por 40 en nuestra ecuación y obtendremos la producción de huevos en el futuresco año 2000 (magia, ¿no?):

$N=12000(40)+700000$ $N=1180000$

Listo, en el año 2000 nuestra producción será de 1'180000 cajas de huevos.

¿Cómo verifico que la relación es cierta?

-Aunque el procedimiento realizado en el punto 3 fue bastante claro, para verificar que la ecuación es válida, se reemplaza n por 0 y 10 y N debe dar 700000 y 820000 respectivamente.

$N=12000(0)+700000$ $N=700000$ $N=12000(10)+700000$ $N=820000$

Como la ecuación es válida para $n=0$ y $n=10$, lo debe ser también para $n=40$.

Ejercicio 10, sección 3.9, Cálculo de Purcell

-Un niño está volando una cometa. Si la cometa está a $90ft$ $(y)$ del nivel de la mano del niño y el viento sopla en dirección horizontal $\left({\frac {dx}{dt}}\right)$ a 5 pies por segundo, ¿con qué rapidez $\left({\frac {dz}{dt}}\right)$ suelta cordel el niño, cuando ya ha soltado 150 pies $(z=150ft)$ del cordel? (Suponga que el cordel permanece en línea recta desde la mano hasta la cometa, en verdad una suposición poco realista).

¿Qué me dan?

-Me dan la velocidad horizontal (sobre el eje x) con que se mueve la cometa $\left({\frac {dx}{dt}}\right)=5ft/s$.

-Me dan la distancia vertical (sobre el eje y) que hay entre la cometa y el niño: 90 pies.

¿Qué me piden?

-Me piden hallar la rapidez con la que el niño suelta el cordel $\left({\frac {dz}{dt}}\right)$ cuando $z=150ft$.

¿Cómo se relaciona lo que me dan con lo que me piden?

-Lo primero que debemos hacer es imaginarnos la situación como un triángulo rectángulo, cuyos catetos son: $x$-para la distancia horizontal que hay entre el niño y la cometa y $y$-para la distancia vertical que existe entre ésta y el niño. Su hipotenusa sería $z$-para la distancia en línea recta que existe entre el niño y la cometa.

Según el enunciado, $y$ es una distancia fija y por lo tanto no tiene rapidez, es decir, $\left({\frac {dy}{dt}}\right)=0$. Ahora bien, según el teorema de Pitágoras $z^{2}=y^{2}+x^{2}$. Lo que tenemos que hacer es derivar dicha ecuación con respecto al tiempo para poder obtener la velocidad deseada $\left({\frac {dz}{dt}}\right)$.

Entonces,

$2z{\frac {dz}{dt}}=2y{\frac {dy}{dt}}+2x{\frac {dx}{dt}}$

$z{\frac {dz}{dt}}=y{\frac {dy}{dt}}+x{\frac {dx}{dt}}$

$z{\frac {dz}{dt}}=y(0)+x{\frac {dx}{dt}}$

$z{\frac {dz}{dt}}=x{\frac {dx}{dt}}$

${\frac {dz}{dt}}={\frac {x{\frac {dx}{dt}}}{z}}$

Aquí tenemos a ${\frac {dx}{dt}}$ que es 5 pies/s y a $z$ que es igual a 150 pies, pero nos hace falta tener el valor de x para obtener la velocidad de z.

Entonces, para obtener x simplemente usamos pitágoras de nuevo pero esta vez reemplazando a $z$ por 150 y $y$ por 90:

$z^{2}=y^{2}+x^{2}$ $150^{2}=90^{2}+x^{2}$ $x^{2}=150^{2}-90^{2}$ $x={\sqrt {14400}}$ $x=120ft$

Teniendo x, ahora si podemos reemplazar los valores dados en el enunciado y obtenidos en el desarrollo para obtener la velocidad de z:

${\frac {dz}{dt}}={\frac {x{\frac {dx}{dt}}}{z}}$

${\frac {dz}{dt}}={\frac {(120ft)(5ft/s)}{150ft}}$

${\frac {dz}{dt}}=4ft/s$

Finalmente pudimos hallar la rapidez con la que el niño suelta el cordel cuando la cometa está a una distancia de 150 pies en línea recta, 90 pies verticalmente, 120 pies horizontalmente y moviendose horizontalmente a una velocidad de 5 pies por segundo.

¿Cómo verifico que la relación es cierta?

Por construcción y por haber seguido correctamente el algoritmo heuristico, podemos afirmar que el ejercicio queda comprobado.

Ejercicio 3.24: Demostrar por inducción que la suma de los primeros n números impares es...

Demostrar por inducción que la suma de los primeros n números impares es $n^{2}$.

Qué me dan?

-Me dicen que la suma de los primeros n números impares es $n^{2}$.

$\sum _{n=1}^{N}2n-1=n^{2}$

Qúe me piden?

-Demostrar por el método de inducción que la suma de los primeros n números impares es $n^{2}$.

Cómo se relaciona lo que me dan con lo que me piden?

-Me dicen que la suma de los n primeros números impares es $n^{2}$ y que tengo que demostrar eso por el método de inducción. El método de prueba por inducción consiste en probar la fórmula, sucesión, productoria, etc... para el primer caso, es decir, para $P_{1}$. Una vez comprobado que efectivamente se cumple para el primer caso, se procede a revisar que se cumple para cuando $n=k$, la cual será nuestra hipótesis de inducción. Finalmente, se pasa a comprobar que se cumple para cuando $n=(k+1)$. En resumen, lo que hace el método de prueba por inducción es simplemente comprobar que la relación es cierta para el primer caso, para cualquiera ($n=k$) y para el último más uno ($n=k+1$).

Procedamos entonces a demostrar nuestro ejercicio:

$P_{n}:\sum _{i=1}^{n}2i-1=n^{2}$

1)Miremos que se cumple para $n=1$:

-El primer impar natural es 1, por lo tanto vamos a probar cada lado de la igualdad para comprobar que efectivamente la igualdad se cumple.

Lado izquierdo:

$2(1)-1$ $2-1$ $1$

Lado derecho:

$1^{2}$ $1*1$ $1$

De esta forma comprobamos que efectivamente la suma del primer entero natural (1) es (1).

2)Miremos que se cumple para $n=k$:

$P_{k}:\sum _{i=1}^{k}2k-1=k^{2}$

3)Miremos que se cumple para $n=k+1$:

$P_{k+1}:\sum _{i=1}^{k}(2k-1)+(2k+1)=(k+1)^{2}$

Debemos mostrar que $P_{k}$ implica $P_{k}+1$, de modo que suponemos que $P_{k}$ es verdadera. Entonces el lado izquierdo de $P_{k}+1$ se puede escribir como sigue:

• Primero se utilizan las propiedades de las sumatorias para expresar lo siguiente:

$\left(\sum _{i=1}^{k}2k-1\right)+(2k+1)=\sum _{i=1}^{k+1}2k-1$

Ahora si se procede a la solución

$\sum _{i=1}^{k+1}2k-1=k^{2}+(2k+1)$

$\sum _{i=1}^{k+1}2k-1=k^{2}+2k+1$

$\sum _{i=1}^{k+1}2k-1=(k+1)^{2}$

¿Cómo verifico que la relación es cierta?

Esta cadena de igualdades conduce al enunciado $P_{k+1}$. Así, la verdad de $P_{k}$ realmente implica la verdad de $P_{k+1}$. Por el principio de inducción matemática, $P_{n}$ es verdadera para cada entero $n$.

EJERCICIO 3.27A: Demostrar la generalización de la ley de Morgan

DEMOSTRAR LA GENERALIZACION DE LA LEY DE MORGAN:

A)$({\cup _{i=0}^{n}A_{i}})'={\cap _{i=0}^{n}A'_{i}}$

¿Qué me dan?

Me dicen que $({\cup _{i=0}^{n}A_{i}})'={\cap _{i=0}^{n}A'_{i}}$ lo que quiere decir que el complemento de la unión de los conjuntos desde $A_{0}$ hasta $A_{n}$ es igual al complemento de la intersección de cada uno de los conjuntos.

¿Qué me piden?

Me piden demostrar la generalización de la ley de Morgan. $({\cup _{i=0}^{n}A_{i}})'={\cap _{i=0}^{n}A'_{i}}$

¿Cómo se relaciona lo que me dan con lo que me piden?

En una demostración de este tipo no hay relación entre lo que le dan y lo que le piden, pues precisamente le piden demostrar la validez de una hipótesis dada. Para esto, se tiene que recurrir a fuentes externas, en este caso, un libro de lógica. Para realizar la demostración necesitamos de las siguientes definiciones:

• Intersección:${A\cap B}=x\in A\wedge x\in B$

• Unión:${A\cup B}=x\in A\vee x\in B$

• Complemento:$A'=x\not \in A=-(x\in A)$

 ${\cup _{i=0}^{n}A_{i}}$ , SIGNIFICA: ${A_{0}UA_{1}U...UA_{n}}$

Vamos a tomar el lado izquierdo de nuestra hipótesis para llegar al lado derecho y de esta forma demostrar el ejercicio.

$({\cup _{i=0}^{n}A_{i}})'=(A_{0}UA_{1}U...UA_{n})'$

Ahora utilizamos la definición de Unión:

$(A_{0}UA_{1}U...UA_{n})'=-(x\in A_{0}\vee x\in A_{1}\vee x\in A_{2}\vee ...\vee x\in A_{n})$

$-(x\in A_{0}\vee x\in A_{1}\vee x\in A_{2}\vee ...\vee x\in A_{n})=x\not \in A_{0}\wedge x\not \in A_{1}\wedge x\not \in A_{2}\wedge ...\wedge x\not \in A_{n}$

Ahora las definiciones de Intersección y de Complemento:

$x\not \in A_{0}\wedge x\not \in A_{1}\wedge x\not \in A_{2}\wedge ...\wedge x\not \in A_{n}=A_{0}'\cap A_{1}'\cap A_{2}'\cap A_{3}'...\cap A_{n}'$

Finalmente:

$A_{0}'\cap A_{1}'\cap A_{2}'\cap A_{3}'...\cap A_{n}'={\cap _{i=0}^{n}A'_{i}}$

Con lo que queda demostrado nuestro ejercicio.

¿Cómo verifico que la relación es cierta?

Por construcción y por el uso de las definiciones sobre conjuntos se puede decir que el ejercicio queda demostrado.