Usuario:JULIAN.D.OR/ejercicio20

Utilice las leyes de la tabla 2.4 y la logica de proposiciones para

a) demostrar que $\forall _{x}$P( x ) $\land$ $\forall _{y}$( P( y ) $\vee$ Q( y ) ) $\equiv$ $\lnot$$\exists _{x}$$\lnot$P( x )

b) demostrar la validez de $\lnot$$\exists _{x}$( $\exists _{y}$( P( y )$\land$ Q( y ) ) $\Rightarrow$ R( x ) ) $\Rightarrow$ $\forall _{x}$$\forall _{y}$( $\lnot$P( y ) $\vee$ $\lnot$Q( y ) $\vee$ R( x ) ).

a) $\forall _{x}$P( x ) $\land$ $\forall _{y}$( P( y ) $\vee$ Q( y ) ) $\equiv$ $\forall _{x}$P( x ) $\land$ $\forall _{y}$( P( y ) $\vee$ Q( y ) ) Principio universal de identidad

                          $\equiv$ $\forall _{x}$P( x ) Ley de simplificacion

                          $\equiv$ $\lnot$( $\lnot$$\forall _{x}$P( x ) ) doble negacion

                          $\equiv$  $\lnot$$\exists _{x}$$\lnot$P( x ) negacion del universal

b) $\lnot$$\exists _{x}$( $\exists _{y}$( P( y )$\land$ Q( y ) ) $\Rightarrow$ R( x ) ) $\Rightarrow$ $\forall _{x}$$\lnot$( $\exists _{y}$( P( y )$\land$ Q( y ) ) $\Rightarrow$ R( x ) ) Negacion del existencial

                              $\Rightarrow$ $\forall _{x}$$\lnot$( $\lnot$$\exists _{y}$( P( y )$\land$ Q( y ) ) $\vee$ R( x ) )  Eliminacion de la implicacion

                              $\Rightarrow$ $\forall _{x}$$\lnot$( $\forall _{y}$$\lnot$( P( y )$\land$ Q( y ) ) $\vee$ R( x ) ) negaciion del existencial

                              $\Rightarrow$ $\forall _{x}$$\forall _{y}$( $\lnot$P( y ) $\vee$ $\lnot$Q( y ) $\vee$ R( x ) ) leyes de De morgan