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Ejercicio 4

las ciudades A, B, C son vértices de un triangulo rectangulo, cuyo vertice es B. Tambien, AB y BC son carreteras de longitudes 214 y 179, respectivamente. Un avion puede volar por la ruta AC, que no tiene carretera. cuesta $3,71 por milla enviar por camion cierto producto y $4,82 por milla, por avion. Decida si es mas barato enviar el producto de A a C por camion o por avion y encuentre el costo total por el medio mas economico.

¿Qué nos dan?

nos dan la "grafica" del ejercicio la distancia entre los puntos AB que es 214, la distancia entre los puntos BC que es 179 y nos dan los costos de cuanto vale viajar cada milla en avion ($4.82) y en camion ($3.71)

vemos que indirectamente y por pitagoras podemos hallar la distancia AC.

¿Qué nos piden?

nos piden hallar el costo total por el medio mas económico

¿Cómo relaciono lo que me dan con lo que me piden?

primero utilizo el teorema de pitagoras para hallar la distancia AC cuando ya la tengo multiplico esta por el costo en avion en millas y despues multiplico la distancia AB por el costo en camion y lo mismo con BC despues las sumo y hallo los costos ahi decido cual es el mas barato.

entonces:

$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$ $AC^{2}=214^{2}+179^{2}$ $AC={\sqrt {7}}7837$ $AC=278,9$

y ahí ya hallamos la distancia AC y la multiplicamos por el precio de una milla por avion que es 4,82

$278,9*4,82=1344,7$

y ese es un costo ahora el otro, entonces sumamos las dos distancias AB y BC

$214+179=393$

y ahora ese valor lo multiplicamos por el precio de una milla por camion que es 3,71

$393*3,71=1458,03$

y ahi tenemos el costo mas economico que es por avion el cual es $1344,7

¿cómo verifico que la relación es cierta?

porque el teorema de pitagoras ya esta comprobado y el resto de pasos son lógicos

Ejercicio 3.28 a:

Verificar la relación utilizando inducción matemática:

$\sum _{i=0}^{n}(i(i+1))={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$

¿Qué nos dan?

nos afirman que $\sum _{i=0}^{n}(i(i+1))={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$

¿Qué nos piden?

Verificar la relación utilizando inducción matemática, la cual consta de dos pasos:

1. Demostrar que $P(1)$ es cierta

2.suponer que la afirmación es cierta para cualquier numero, y a partir de esta hipótesis demostrar que la afirmación tambien es valida para el siguiente termino de ese numero cualquiera, teniendo en cuenta que $p(k)$ es cualquier número y $p(k+1)$ pues el que le sigue.

¿Cómo relaciono lo que me dan con lo que me piden?

Se relacionan mediante la demostracion, ya que lo que me piden es demostrar por inducción matemática que es valido lo que me dan.

DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN:

Sea $P(n)$ la afirmacion $\sum _{i=0}^{n}(i(i+1))={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$

PASO 1: Demostrar que P(1) es cierta, suponemos que son iguales para despues llegar a una igualdad.

$\sum _{i=0}^{1}(1(1+1)={\frac {1(1+1)((1)+2)}{3}}$ $\sum _{i=0}^{1}(1(2))={\frac {6}{3}}$ $\sum _{i=0}^{1}(1(2))=2$ $2=2$

PASO 2: Se supone $P(k)$ cierta (esta es la hipótesis de inducción).

$\sum _{i=0}^{k}(i(i+1))={\frac {k(k+1)(k+2)}{3}}$

A partir de es hipotesis se debe demostrar que $P(k+1)$ es cierta: $\sum _{i=0}^{k+1}(i(i+1))={\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{3}}$

$\sum _{i=0}^{k}(i(i+1))={\frac {k(k+1)(k+2)}{3}}$

$\sum _{i=0}^{k}(i(i+1))+((k+1)(k+2))={\frac {k(k+1)(k+2)}{3}}+((k+1)(k+2))$

$\sum _{i=0}^{k}(i(i+1))+((k+1)(k+2))={\frac {k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{3}}$

$\sum _{i=0}^{k}(i(i+1))+((k+1)(k+2))={\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{3}}$

Por propiedades de las sumatorias se da lo siguiente en el lado izquierdo de la igualdad:

$\sum _{i=0}^{k+1}(i(i+1)={\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{3}}$

Por lo tanto, $P(k+1)$ es consecuencia de $P(k)$ y esto demuestra que la afirmación $\sum _{i=0}^{n}(i(i+1))={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$ es cierta.

¿Cómo verifico que la relación es cierta?

Por que la relación se valido por medio de una demostración.