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Por qué estudiar ecuaciones diferenciales parciales?

Las ecuaciones diferenciales parciales, o EDP, resuelven ecuaciones diferenciales que involucran mas de una variable independiente. Esto es muy común en la física, como por ejemplo mediante EDP se pueden describir relaciones de las derivadas del espacio y el tiempo. Las EDP son muy útiles porque las derivadas que se resuelven describen magnitudes de la naturaleza como la velocidad, la aceleración, la fuerza, el flujo, etc.

El propósito de este libro será formular EDP de un problema físico, es decir modelar un fenómeno físico y tratar de resolver EDP para estos modelos. Algunos ejemplos de las ecuaciones que vamos a resolver son:

• Ecuación de Laplace, muy común en fenómenos electromagnéticos, hidrodinámica, flujo de calor, gravitación, etc.

$\nabla ^{2}u=0$,

• Ecuación de Poisson

$\nabla ^{2}u=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

• Ecuación de Onda

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}$ unidimensional

$\nabla ^{2}\psi ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}$ tridimensional

• Ecuación de difusión

$\nabla ^{2}\psi ={\frac {1}{k}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$

• Ecuación de Helmholtz, es una ecuación de difusión independiente del tiempo muy utilizados en ondas estáticas en sólidos, sonido o acústica, ondas electromagnéticas, vectores nucleares, etc.

$\nabla ^{2}\psi =k^{2}\psi =0$

• Ecuación de Schrodinger

$-{\frac {{\hat {h}}^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi =i{\hat {h}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$