Trigonometría/Teorema de Pitagoras

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa y ademas es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida, entre otras, de las que tienen nombre propio de la matemática.

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes $a\,$ y $b\,$, y la medida de la hipotenusa es $c\,$, se formula que:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

De la ecuación se deducen fácilmente tres corolarios de verificación algebraica y aplicación práctica:

$a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}$

$b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}$

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Historia

El Teorema de Pitágoras puede haberse conocido mucho antes del nacimiento de Pitágoras, pero fue comprobado en el siglo VI antes de cristo (a.c) por el matemático Pitágoras.

Respecto de los babilonios hay esta nota:

Desde el punto de vista matemático, las novedades más importantes que registran los textos babilónicos se refieren a la solución algebraica de ecuaciones lineales y cuadráticas, y el conocimiento del llamado "teorema de Pitágoras" y de sus consecuencias numéricas.

El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su demostración, sobre todo, es esfuerzo de la mística escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

Designaciones convencionales

Triángulos — Resumen de convenciones de designación

Vértices	${\text{A}}$	${\text{B}}$	${\text{C}}$
Lados (como segmento)	${\text{BC}}$	${\text{AC}}$	${\text{AB}}$
Lados (como longitud)	$a$	$b$	$c$
Ángulos	${\widehat {\alpha }}={\widehat {a}}={\widehat {A}}={\widehat {BAC}}$	${\widehat {\beta }}={\widehat {b}}={\widehat {B}}={\widehat {ABC}}$	${\widehat {\gamma }}={\widehat {c}}={\widehat {C}}={\widehat {ACB}}$

Ejemplos de uso

• Para calcular la longitud e de una escalera; se conoce la altura h del muro a alcanzar; la distancia p desde la línea suelo muro al pie de la escalera. Se cumple la ecuación $e^{2}=h^{2}+p^{2}$; se despeja el valor de e, mediante $e={\sqrt {h^{2}+p^{2}}}.$

• En la geometría analítica plana, para hallar la distancia entre los puntos $C(x_{1},y_{1}),D(x_{2},y_{2})$ con la igualdad $CD^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}.$

• En trigonometría para demostrar la identidad fundamental $\operatorname {sen} ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$entre el seno y coseno.

Demostraciones

China: El Zhou Bi Suan Jing, y el Jiu Zhang Suan Shu

Prueba visual para un triángulo de a = 3, b = 4 y c = 5 como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.

El Zhou Bi es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el Plantilla:AC Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al Jiu Zhang parece que es posterior, está fechado en torno al año Plantilla:AC

El Zhou Bi demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.

Demostración

Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,$

Ya que $(b-a)^{2}=(a-b)^{2}\,$ .

Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor:

$c^{2}=4\cdot \left({\frac {a\cdot b}{2}}\right)+a^{2}-2ab+b^{2}=a^{2}+b^{2}$

Con lo cual queda demostrado el teorema.

Demostraciones supuestas de Pitágoras

Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.

Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

• De la semejanza entre ABC y AHC:

y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

${\frac {b}{b'}}={\frac {c}{b}}$

$b^{2}\ =\ b'c$

• De la semejanza entre ABC y BHC:

${\frac {a}{a'}}={\frac {c}{a}}$

$a^{2}\ =\ a'c$

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

$a^{2}\ +\ b^{2}=a'c\ +\ b'c\ =\ c\left(a'+b'\right)$

Pero $\left(a'+b'\right)=\ c$, por lo que finalmente resulta:

$a^{2}\ +\ b^{2}=c^{2}$

La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

${\frac {r}{u}}={\frac {s}{v}}=r$

siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

$S_{PQR}\ =\ {\frac {1}{2}}\left(rs\right)$

$S_{PST}\ =\ {\frac {1}{2}}\left(uv\right)$

obtenemos después de simplificar que:

${\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}}={\frac {rs}{uv}}={\frac {r}{u}}\cdot {\frac {s}{v}}$

pero siendo ${\frac {r}{u}}={\frac {s}{v}}=r$ la razón de semejanza, está claro que:

${\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}}=\left({\frac {r}{u}}\right)^{2}=\left({\frac {s}{v}}\right)^{2}$

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

${\frac {S_{ACH}}{S_{BCH}}}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}$

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones da:

${\frac {S_{ACH}}{b^{2}}}={\frac {S_{BCH}}{a^{2}}}={\frac {S_{ACH}+S_{BCH}}{b^{2}+a^{2}}}$ (I)

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

${\frac {S_{ACH}}{S_{ABC}}}=\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}$

${\frac {S_{ACH}}{b^{2}}}={\frac {S_{ABC}}{c^{2}}}$

pero según (I) ${\frac {S_{ACH}}{b^{2}}}={\frac {S_{ACH}+S_{BCH}}{b^{2}+a^{2}}}$, así que:

${\frac {S_{ACH}+S_{BCH}}{b^{2}+a^{2}}}={\frac {S_{ABC}}{c^{2}}}$

y por lo tanto:

$b^{2}\ +\ a^{2}\ =\ c^{2}$

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda demostrado.

Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:

• Uno de ellos –centro– está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
• El otro cuadrado –derecha– lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris ($c^{2}$) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul ($b^{2}+a^{2}$), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.