Trigonometría/Circunferencia Unitaria

La circunferencia goniométrica, trigonométrica, unitaria o «círculo unidad» es una circunferencia de radio uno, normalmente con su centro en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas, de un plano euclídeo o complejo.

Parametrización de la circunferencia goniométrica. La variable t es el ángulo y sus puntos son: (x, y) = (cost, sint).

Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas y funciones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares.

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad del primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1. Aplicando el teorema de Pitágoras, x e y satisfacen la ecuación:

$x^{2}+y^{2}=1=\mathrm {radio} =\mathrm {hipotenusa} \,$

Funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria

La circunferencia unidad y el triángulo rectángulo asociado.

El área del cuadrado y del círculo unitario es el número pi.

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad, y el radio que tiene el origen en (0, 0), forma un ángulo $\alpha \,$ con el eje X, las principales funciones trigonométricas se pueden representar como razón de segmentos asociados a triángulos rectángulos auxiliares, de la siguiente manera:

El seno es la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)

$\sin(\alpha )={\frac {a}{c}}$

y dado que la hipotenusa es igual al radio, que tiene valor = 1, se deduce:

$\sin(\alpha )=a\,$

El coseno es la razón entre el cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)

$\cos(\alpha )={\frac {b}{c}}$

y como la hipotenusa tiene valor = 1, se deduce:

$\cos(\alpha )=b\,$

La tangente es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente

$\tan(\alpha )={\frac {a}{b}}$

Principales valores de las razones trigonométricas representados como segmentos respecto de la circunferencia goniométrica.

Valores de los ángulos más comunes y las coordenadas correspondientes sobre la circunferencia goniométrica.

Por semejanza de triángulos: AE / AC = OA / OC

como OA = 1, se deduce que: AE = AC / OC

$\tan(\alpha )={\overline {AE}}\,$

Funciones trigonométricas recíprocas

La cosecante, la secante y la cotangente, son las razones trigonométricas recíprocas del seno, coseno y tangente:

$\csc(\alpha )={\frac {1}{\sin(\alpha )}}={\overline {OF}}$

$\sec(\alpha )={\frac {1}{\cos(\alpha )}}={\overline {OE}}$

$\cot(\alpha )={\frac {1}{\tan(\alpha )}}={\overline {AF}}$

Los valores de la cotangente, la secante y la cosecante se obtienen, análogamente, mediante semejanza de triángulos.

Topología

En topología, a la circunferencia unitaria (también denominado disco unidad) se la clasifica como S¹; la generalización para una dimensión más es la esfera unidad S².

Véase también

Commons

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• Medida de ángulos
• Razones trigonométricas